prova2.calculoB

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Departamento de Engenharia Rural
Curso: Licenciatura em Qu´ımica/ Licenciatura em F´ısica
Disciplina: Ca´lculo B
Semestre: 2010/1
Professor: Eleonesio Strey
Aluno:
Segunda Prova - 10-06-2010
Todas as respostas devem ser justificadas!
1a Questa˜o.
(a) Uma sequeˆncia e´ definida por
a1 = 1 e an+1 = 1/(1 + an)
para n ≥ 1. Assumindo que {an} e´ convergente, encontre seu limite.
(b) Mostre que a sequeˆncia
{√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
e´ convergente, encontre seu limite.
2a Questa˜o. Determine se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente con-
vergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
3−n8n+1 (b)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
√
n
(c)
∞∑
n=1
cos (npi/3)
n!
.
3a Questa˜o. Diga se cada uma das sentenc¸as abaixo e´ verdadeira ou falsa. Deˆ um
contra-exemplo para as falsas e justique as verdadeiras.
(a) Se {an} e {bn} forem divergentes, enta˜o {an + bn} tambe´m e´ divergente.
(b) Se {an} for decrescente e an > 0 para todo n, enta˜o {an} e´ convergente.
(c) Se lim an = 0, enta˜o
∑
an e´ convergente.
(d) Se an > 0 e
∑
an e´ convergente, enta˜o
∑
(−1)nan e´ convergente.
(e) 0, 9999999 . . . = 1.
Obs.: Cada item vale 1,0 ponto.
Boa Prova!