Métodos Numéricos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS 
PROGRAMA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
ENGENHARIA FÍSICA 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
Acadêmicos: Ana Karina Monteiro Bentes 
 Jonatha Monte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santarém – Pará 
2013 
Ana Karina Monteiro Bentes 
Jonatha Monte 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 Trabalho avaliativo para a disciplina: Cálculo Numérico 
 Ministrada pelo Prof. Dr. Rodolfo Maduro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santarém – Pará 
2013 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Os Cálculos numéricos são técnicas pelas quais os problemas matemáticos 
são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações aritméticas. 
Embora existam muitos tipos de métodos, eles têm algo em comum, geralmente 
envolvem grandes números de cálculos aritméticos que podem durar horas, dias, 
ou até mesmo meses. Tendo isso como fator limitante para cálculos numéricos, 
foram criados os métodos numéricos que são nada mais que técnicas (algoritmos) 
e tecnologias (uso do meio computacional para os cálculos). 
 
Na disciplina ministrada pelo prof. Dr. Rodolfo Maduro, o uso da 
ferramenta computacional Scilab terá grande importância para incrementos dos 
cálculos numéricos. Tendo como passo inicial os métodos intervalares (método 
gráfico, método da bisseção, método da falsa posição, método da tangente, 
método da secante, método do ponto fixo). No final será feita uma análise 
comparando os métodos, obtendo um ranking do método que teve melhor 
desempenho, ou seja, convergência mais rápida. 
 
2. MÉTODOS INTERVALARES 
 
Este primeiro momento faremos uma breve introdução a raízes de 
equações, onde se trata de métodos que exploram o fato de que uma função 
tipicamente muda de sinal na vizinhança de uma raiz. 
 
2.1. MÉTODO GRÁFICO 
 
Um método simples para obter uma estimativa da raiz da equação f(x) = 0 
é fazer um gráfico da função e observar onde ela corta o eixo x. Esse ponto, que 
representa o valor de x para qual f(x) = 0, fornece uma aproximação grosseira da 
raiz. Veremos com mais detalhe a aplicação do método no tópico Resultados e 
Discussões. 
 
3. MÉTODOS ITERATIVOS PARA SE OBTER ZEROS REAIS DE 
FUNÇÕES 
 
I. Método da Bissecção 
 
Seja a função f(x) contínua no intervalo [a.b] e tal que f(a)f(b) < 0. 
Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única 
raiz da equação f(x) = 0. 
 
O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a 
raiz até se atingir à precisão requerida: (b - a) < ε, usando para isto a sucessiva 
divisão de [a,b] ao meio. 
 
Graficamente 
 
Figura 1. 
 
Algoritmo resumido para o método da bissecção 
 
Dados de entrada: 
 
 xi, xs, tal que f(xi)f(xs) < 0 
 Tolerância para o erro relativo (critério de parada) 
 
Passo 1: 
 Verificar se f(xi)f(xs) < 0 e calcular xk = (xi + xs)/2 
 
Passo 2: 
 Se f(xi)f(xs) < 0, a raiz está entre xi e xs. Fazer xs = xk 
 Se f(xi)f(xs) > 0, a raiz está entre xk e xs. Fazer xi = xk 
 
Passo 3: verificar o critério de parada: 
 Critério usual: erro relativo < tolerância 
 Critério mais refinado: erro relativo < tolerância 1 ou f(xk) < 
tolerância 2 
 
Saída: Um intervalo contendo a raiz de f dentro da tolerância permitida. 
 
 
II. Método da Falsa Posição 
 
Seja f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0. 
Podemos esperar conseguir a raiz aproximada ẍ usando as informações 
sobre valores de f(x) disponíveis a cada iteração. 
 
Graficamente 
 
 
Figura 1.2.a 
 
As iterações são feitas assim: 
 
 
Figura 1.2.b 
 
 
Algoritmo resumido para o método da falsa posição 
 
Dados de entrada: 
 xi, xs, tal que f(xi)f(xs) < 0 
 Tolerância para o erro (critério de parada) 
 
Passo 1: 
 
 Verificar se f(xi)f(xs) < 0 e calcular xk = xs – (f(xs)( xi - xs))/f((xi) – 
f(xs)) 
 
Passo 2: 
 
 Se f(xi)f(xk) < 0, a raiz está entre xi e xk. Fazer xs = xk 
 Se f(xi)f(xk) > 0, a raiz está entre xk e xs. Fazer xi = xk 
 
Passo 3: Verificar o critério de parada 
 
 Critério usual: erro relativo < tolerância 
 Critério mais refinado: erro relativo < tolerância 1 ou f(xk) < 
tolerância 2 
Saída: Um intervalo contendo a raiz de f dentro da tolerância permitida. 
 
III. Método do Ponto Fixo (MPF) 
 
A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos 
em seu estudo que em sua eficiência computacional. 
Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da 
equação f(x) = 0. 
 
O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação 
equivalente x = φ(x) e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a sequencia 
{xk} de aproximações para ξ pela relação xk+1 = φ(x), pois a função φ(x) é tal que 
f(ξ) = 0 se e somente se φ(ξ) = ξ. Transformamos assim o problema de encontrar 
um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de φ(x). 
Uma função φ(x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de 
iteração para a equação f(x) = 0. 
 
Graficamente 
 
 
Figura 1.3 
 
Algoritmo resumido para o método do ponto fixo 
 
Dados de entrada: 
 
 x0: arbitrário 
 g(x): função iteração, tal que |g’(x)| < 1 
 Tolerância para o erro (critério de parada) 
 
 Passo 1: Calcular x(i+1) = g(x) 
 
 Passo 2: Verificar o critério de parada 
 Critério usual: erro relativo < tolerância 
 Critério mais refinado: erro relativo 1 ou f(xk) < tolerância 2 
 
Passo 3: Se atendeu os critérios de parada, interrompa. Se não, volte ao 
passo 1. 
 
IV. Método da Tangente (Newton-Raphson) 
 
No estudo do método do ponto fixo, vimos que: 
i. Uma das condições de convergência é que | φ’(x) | ≤ M < 1, para todo 
x ϵ I, onde I é um intervalo centrado na raiz; 
ii. A convergência do método será mais rápida quanto menor for | φ’(ξ) |. 
 
O que o método de Newton faz, na tentativa de garantir e acelerar a 
convergência do MPF é escolher para fincão de iteração a função φ(x) tal que 
φ’(ξ) = 0. 
Então, dada à equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para φ(x) , 
queremos obter a função A(x) tal que φ’(ξ) = 0. 
 
Graficamente 
 
 
Figura 1.4 
 
Algoritmo resumido para o método da tangente (Newton-Raphson) 
 
Dados de entrada: 
 
 x0: arbitrário 
 Tolerância para o erro (critério de parada) 
 
Passo 1: Calcular x(i+1) = xi – f(xi)/f’(xi) 
 
Passo 2: Verificar os critérios de parada: 
 
 Critério usual: erro relativo < tolerância 
 Critério mais refinado: erro relativo 1 ou f(xk) < tolerância 2 
 
Passo 3: Se atendeu os critérios de parada, interrompa. Se não, volte ao 
passo 1. 
 
 
V. Método da Secante 
 
Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se 
obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração. 
Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada de f’(xk) 
pelo quociente das diferenças: 
 
 
 
 
 
 
Onde xk e xk+1 são duas aproximações para a raiz. 
 
Graficamente 
 
 
Figura 1.5 
 
 
Algoritmo resumido para o método da secante 
 
Dados de entrada: 
 
 x0 e x1: arbitários 
 Tolerância para o erro (critério de parada) 
 
Passo 1: Se | f(x0) | < ε1, faça ẍ = x0 
 
Passo 2: Se | f(x1) | < ε1 ou se | x1 – x0 | < ε2,faça ẍ = x1 
 
Passo 3: k = 1 
 
Passo 4: x2 = x1 – f(x1)/f(x1) – f(x0) (x1 – x0) 
 
Passo 5: Se | f(x2) | < ε1 ou se | x2 – x1 | < ε2, faça ẍ = x2 
 
Passo 6: x0 = x1 e x1 = x2 
Passo 7: k = k+1 
 
Passo 8: Volte ao passo 5. 
 
 
VI. COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS EXPOSTOS 
 
Os cincos métodos podem ser comparados quanto à existência e 
velocidade de convergência e também mais adequados a cada situação. 
 
O método mais simples e robusto é o da bissecção, que apresenta como 
grande vantagem o fato de convergir sempre. É, contudo um método muito lento, 
apresentando como curiosidade o fato de convergir para a raiz sempre com a 
mesma velocidade. 
 
O método da falsa posição também converge sempre. Em certas 
circunstâncias este método é equivalente ao método da secante e convergem com 
uma velocidade apreciável, mas as circunstâncias há sempre em que é muito lento 
a convergir. 
 
Ambos os métodos (bissecção e falsa posição), pela sua robustez são 
ótimos como métodos preliminares para a definição de um intervalo de pequena 
amplitude, dentro do qual se encontra uma raiz de equação a resolver. 
 
O método de Newton-Raphson é sem dúvida o método que converge para 
a solução mais rapidamente. Este método apresenta, no entanto algumas 
desvantagens. Para este método seja convergente é, porém necessário que certas 
condições sejam satisfeitas, além disso, obriga ao cálculo, em cada iteração, não 
só da função como também da sua derivada. Este último cálculo pode consumir 
muito tempo de computação por ser difícil, ou então ser mesmo impossível (por 
exemplo, se a função é definida por pontos). Para estes casos podemos recorrer 
ao método da secante ou mesmo ao das aproximações sucessivas. 
 
Uma dificuldade característica do método de Newton-Raphson é a 
determinação de duas raízes muito próximas, dado que a derivada se anula na 
vizinhança das duas raízes. 
 
Para contornar este problema, usa-se um modelo linear que se baseia nos 
dois valores calculados, onde xn e xn+1 são duas aproximações para a raiz. 
 
O método da secante não necessita da característica que é fundamental no 
método da falsa posição. A raiz não precisa estar entre as duas aproximações 
iniciais e sua convergência é mais rápida do que no método da bissecção e da 
falsa posição, poré, pode ser mais lenta do que no método de Newton-Raphson. 
 
O método do ponto fixo é rápido no processo de convergência e seu 
desempenho é regular e previsível. Porém, um inconveniente é a necessidade da 
obtenção de uma função de iteração (g(x)). 
 
 
VII. PROCEDIMENTOS 
 
i. Escolha uma função para qual se deseja encontrar as raízes. Optar 
utilizar funções cujo cálculo analítico da raiz não seja trivial. 
ii. Utilizar o método do gráfico para selecionar uma aproximação inicial 
de uma raiz ou intervalo que contenha uma raiz. 
iii. Implementar no programa SCILAB, utilizando a função escolhida, os 
seguintes algoritmos dos métodos para encontrar zeros reais de funções reais: 
Método da Bissecção, Método da Falsa Posição, Método da Tangente ou Newton-
Raphson, Método da Secante. 
iv. Comparar o desempenho dos métodos utilizando o mesmo valor do 
número de aproximação (NMAX) e precisão (tol) e definir um hanking que os 
classifica conforme a convergência. 
 
VIII. RESULTADO E DISCUSSÃO 
A função escolhida foi um polinômio do tipo x³+1.9x²-1.3x-2.2. 
Através do método do gráfico, obteve-se: 
 
Gráfico 1. 
Através dos dados da função polinomial do tipo x³+1.9x²-1.3-2.2, sua 
dependência é caracterizada por curvas. Os pontos em redondos representam os 
dados e sua dispersão é devida aos erros cometidos durante a obtenção do gráfico. 
A partir do gráfico de intervalos [a,b] estimou-se uma aproximação grosseira da 
raiz. 
Outro método utilizado foi o método intervalares: Método da Bissecção, 
Método da Falsa Posição, Método do Ponto Fixo, Método da Secante e o Método 
da Tangente ou Newton-Raphson. 
Utilizando o programa SCILAB, comparamos o desempenho de cada um 
dos cincos métodos trabalhados obtendo um hanking classificando-os conforme 
sua convergência, ou seja, a velocidade com que se obtém a solução numérica 
desejada (número de iterações). 
Tabela 1: Hanking do método com maior rapidez de convergência. 
MÉTODO ITERAÇÕES 
RAIZ 
APROXIMADA 
 
TANGENTE 2 1.1000653 
SECANTE 3 1.080234 
BISSECÇÃO 10 1.1235352 
PONTO FIXO 11 -1.0000178 
FALSA POSIÇÃO 12 1.0998815 
Como dito na secção VI, o método da tangente ou Newton-Raphson é um 
método bastante rápido e eficaz para o cálculo das raízes de uma determinada 
função. Porém, as desvantagens deste método são a de nem sempre convergir e 
para utilizá-lo é necessário o cálculo da derivada da função, o que por vezes 
poderá se tornar difícil, ou dificilmente computável. 
 
 
IX. BIBLIOGRÁFIA 
 
RUGGIERO, M. e LOPES, V. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e 
Computacionais. McGraw-Hill, 1996. 
BARROSO, CAMPOS FILHO, CARVALHO, M. Cálculo Numérico Com 
Aplicações. Editora Harbra, 1987.