Relatório I de Lab. Física - Erros e Medidas

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Medidas Diretas, Medidas Indiretas e Propagação de erros
Ricardo Abrahão*
Engenharia Metalúrgica e De Materiais, CCT, UENF.
Arthur Sipoli
Engenharia Metalúrgica e De Materiais, CCT, UENF.
Mariah Monteiro
Engenharia Metalúrgica e De Materiais, CCT, UENF.
(Dated: 21 de novembro de 2015)
Este artigo tem por finalidade abranger a teoria de propagação de erros, tanto sistemático quanto o grosseiro, aplicado ao experimento de obtenção da densidade de esferas através de medições diretas em balanças, paquímetros e micrômetros. O experimento apresenta mínima discrepância na medição do diâmetro por ambos instrumentos, alem do erro percentual máximo de 30% acima da Densidade real do material. Seguindo o fato dos materiais poderem estar fora da faixa de densidade estipuladas pela tabela utilizada.
I. Introdução
Baseado na fundamentação da Metodologia Científica, a experimentação é considerada um dos pilares para a proposição de leis físicas consistentes. Para isso, medimos cada grandeza física em padrões chamadas unidades. Ex: S.I. [1]
 Consequentemente, a necessidade de maior precisão nestas medições de grandezas tornou-se vital, sendo assim desenvolvidos novos instrumentos e métodos matemáticos para reduzir a dispersão das fontes de erros sempre existentes.[4]
No laboratório, foram efetuadas dois tipos de medições: diretas e indiretas. Sendo a primeira citada é realizada diretamente com o padrão. Ex: Medição do diâmetro de uma esfera maciça através do paquímetro. O segundo citado é calculado através de formulas relacionando grandezas de medições diretas e indiretas. Ex: Cálculo da Densidade (eq. 5) através da massa fornecida pela balança e cálculo do volume a partir do diâmetro.
No resultado das medições estão intrínsecos erros sistemáticos, aqueles que prejudicam a exatidão por ser feitas consistentemente acima ou abaixo do valor real, e erros aleatórios, aqueles que afetam a precisão da medida fazendo que metade de suas medidas sejam desviadas para mais e outra metade para menos. Além dos erros grosseiros realizados por falhas humanas.[3]
Estes resultados devem ser expressos através de algarismos significativos, pois a quantidade deles indica a precisão da medida, sendo ainda estipulado 1 algarismo duvidoso ao final.
O foco principal deste artigo é explicar de forma clara como os erros se combinam e propagam quando realizadas operações aritméticas nos resultados experimentais com objetivo de obter novas grandezas físicas. Além de aprender o uso de instrumentos de medição. Ex: Paquímetro e Micrômetro.
A. Fundamentação Teórica
Expressão dos resultados experimentais:
 Δ (1)
Sendo Δx um intervalo do qual o valor verdadeiro realmente se encontra(erro). Normalmente calculado pela razão da menor divisão do instrumento pelo número de subdivisões.
Formas de propagação do erro nos resultados:
Estas Propriedades acima se baseiam nas propriedades Derivadas parciais, dada pela equação geral abaixo.
	Grandeza
	Erro Propagado
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 Fonte:Cadernos Didáticos da UFRJ: Tratamento e Análise de Dados Experimentais –Ricardo Borges Barthem, UFRJ (3)
 O corpo de Prova utilizado no experimento foi uma esfera, seu volume é dado como: 
Posteriormente para calcular a densidade deste corpo é utilizado, a equação geral dada:
Com a Propagação de Erros, a equação (4) se torna, em função do diâmetro:
E também com a Propagação de Erros, a equação (5) se torna: 
II. Metodologia
Os objetos de estudo foram 3 esferas maciças de diferentes tamanhos e diferentes materiais: plástico, vidro e metal com densidades a serem determinadas. Foram determinados os diâmetros das três esferas através de 2 instrumentos de precisão, sendo eles o paquímetro e micrômetro com suas respectivas resoluções.
Figura 1- Paquímetro de resolução 0,05mm
Fonte:laminar-parafusos.blogspot.com.br/
Figura 2- Micrômetro de resolução 0,005 mm
Fonte: industriahoje.com.br/
Os algarismos significativos de cada medição foi anotado e tabelado de acordo com a precisão de seu instrumento e o erro compatível com as decimais da medida representado a partir da expressão [1]. O erro do diâmetro foi aconselhado utilizar 1 ou 2 algarismos significativos.
Os dados do diâmetro serão indispensáveis para o cálculo do volume (medição indireta) através da derivada da formula [3], sendo diâmetro o dobro do raio.
Faltou-se então verificar a grandeza física restante segundo a formula [4] na balança OHAUS (resolução = 0,5g): a massa(medição direta). Assim anotado seus resultados com seus respectivos erros[1], foi realizado o cálculo da densidade [4] e tabelado separadamente para paquímetro e micrômetro, com objetivo de serem comparadas as propagações de erros posteriormente.
IV. Resultados e Discussões
Nesta seção serão apresentados os dados das medições dos diâmetros feitos pelo paquímetro e pelo micrômetro nos diferentes tipos de esfera, além de suas respectivas massas medidas na balança. Daí então, serão dispostos as densidades e volumes calculados com os dados referentes nos dois instrumentos de medição.
Na Tabela 1 estão reunidos os dados de diâmetro e massa nos 2 instrumentos das 3 esferas.
	Material
	Diâmetro Paquímetro (mm)
	Diâmetro
Micrômetro
(mm)
	Massa
(g)
	Vidro
	25,00
±0,05
	25,033
±0,005
	14,55
±0,05
	Plástico
	19,10
±0,05
	19,098
±0,005
	4,15
±0,05
	Metal
	18,00
±0,05
	17,983
±0,005
	18,35
±0,05
A Tabela 2 mostra os resultados dos volumes calculados das 3 esferas nos 2 instrumentos.
	Material
	Volume
Paquímetro
(mm³)
	Volume
Micrômetro
(mm³)
	Vidro
	8180±49
	8213±5
	Plástico
	3648±29
	3647±3
	Metal
	3053±25
	3044±3
A Tabela 3 contém as densidades calculadas das 3 esferas nos 2 instrumentos.
	Material
	Densidade
Paquímetro
(g/mm³)
	Densidade
Micrômetro
(g/mm³)
	Densidade
Real
(g/cm³)
	Vidro
	1,8.10-³
±1,7.10-5
	1,8.10-3 ±1,4.10-5
	2,6
	Plástico
	1,1.10-3 ±6,6.10-5
	1,1.10-3
± 1,5.10-5
	0,96
	Metal
	6,0.10-3 ±6,6.10-5
	6,0.10-3
± 2,2.10-5
	7,85
Fonte: http://www.euroaktion.com.br/Tabela%20de%20Densidade%20dos%20Materiais.pdf
Podemos verificar que mesmo com o aumento da precisão do paquímetro para o micrômetro as medidas de diâmetros da tabela 1 encontram-se muito próximas, podendo dizer que o operador dos instrumentos estava atento a aferição das medidas. Entretanto, houve disparidades um pouco maiores no calculo do volume pelo fato de mínimas diferenças na medida unidimensional ser elevada ao cubo.Assim, a densidade depende quase isoladamente da medição mais precisa da massa para aproximar-se do seu valor real.
Calculado o erro percentual de cada material obtivemos: Vidro Comum (30%), Plástico Polietileno (14%) e Metal Aço Inox (23,5%). Todos estão fora da faixa de erro estipulada. O mais provável a se apontar seria a negligência do operador medindo as massas ou danos na balança.
IV. Conclusões
Neste experimento comprovamos que mesmo grandezas físicas medidas diretamente possuem diversos tipos de erros que se propagam e tornam-se improváveis de atingir a medida exata. Entretanto, com a teoria de propagação de erros pode-se encontrar a faixa onde a medida exata estará de acordo com a precisão do instrumento. Além disso, o modo como os erros incidem no resultado final de medidas indiretas ficou claro através de propriedades do Cálculo Diferencial e Integral. 
V. Referências
[1] D. Halliday and R. Resnick, Fundamentos da Física, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2014. Cap 1, v.1.
[2] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica - Mecânica, 4ª ed., São Paulo: Edgard Blucher, 2002. Cap 1, v.1.
[3] Cadernos Didáticos da UFRJ: Tratamento e Análise de Dados experimentais - Ricardo Borges Barthem, UFRJ (1997).
[4]http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf :"Guia para Física Experimental, Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros. Instituto de Física, Unicamp." Prof. Dr. Carlos Henrique de Brito Cruz, 1997.
 [5]http://aquino.wdfiles.com/local--files/fisica-experimental-i/Apostila-Medidas.pdfH