Roteiro - Propagação dos Erros

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UENF/LCFIS Laboratório de Física Geral I 
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MEDIDAS E ERROS -TEORIA 
 
1 - Instrumentos 
Medidas são realizadas através de instrumentos. Estes instrumentos são, de certa forma, 
extensões de nossos sentidos para percepção acurada dos fenômenos que nos cercam. 
 
2 - Medidas Diretas 
 Medidas diretas são medidas realizadas por comparação direta com um padrão. 
 
3 - Medidas Indiretas 
Certas grandezas físicas não admitem medidas diretas. Por exemplo, não é possível medir 
diretamente o número de moles em uma determinada quantidade de matéria. Às vezes não é possível 
realizar uma medida direta mesmo quando a grandeza física envolvida assim permite. A distância da 
Terra à Lua, por exemplo, é realizada de forma indireta. 
 
4 - Algarismos significativos 
Os algarismos resultantes de uma medição são chamados algarismos significativos. Na leitura de 
um instrumento deve-se incluir todos os algarismos que o instrumento permite ler diretamente, mais 
um algarismo a ser estimado pelo observador. Este último algarismo é chamado algarismo duvidoso. 
 
5 - Expressão dos resultados experimentais 
Não é possível medir exatamente o valor de uma grandeza física. O melhor que se pode fazer é 
determinar um intervalo dentro do qual o valor verdadeiro provavelmente se encontra. Assim, um 
resultado experimental deve estar sempre acompanhado do seu erro, sendo expresso da seguinte 
forma: 
x ± Δx 
 
onde Δx representa o erro estimado para o valor medido x. Isto significa que o verdadeiro valor 
de x encontra-se, com grande probabilidade, no intervalo entre x - Δx e x + Δx. Na 
determinação do erro Δx todas as fontes de erro devem ser levadas em conta: imprecisão 
instrumental, erros sistemáticos e erros aleatórios. 
 
6 - Propagação de erros 
Os resultados de medidas diretas são muitas vezes utilizados para o cálculo de outras grandezas 
físicas. Como as medidas diretas são afetadas por erros, esses erros se combinarão e incidirão sobre o 
resultado final. A forma como os erros se propagam, conforme as operações matemáticas vão sendo 
realizadas, merece uma atenção especial. Na seção seguinte temos uma breve revisão sobre este 
assunto. 
 
 
 
Mais informações e referências bibliográficas podem ser obtidas, por exemplo, no “Cadernos 
Didáticos da UFRJ: Tratamento e Análise de Dados Experimentais” – Ricardo Borges Barthem, UFRJ 
(1997). 
 
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6.1 – Propagação de erros instrumentais 
 
 Para se determinar a área de um retângulo, por exemplo, deve-se medir o comprimento x, a 
largura y e efetuar o produto (x.y). Como os valores medidos de x e y possuem erros instrumentais 
Δx e Δy, o valor calculado para a área tem também uma incerteza que depende de Δx e Δy. Os 
critérios para propagação de erros instrumentais em operações aritméticas simples são resumidos na 
tabela abaixo. 
 
OPERAÇÃO ERRO ABSOLUTO ERRO RELATIVO 
 yxw 
 
 
yxw 
 
 
yx
yx
w
w




 
 yxw 
 
 
yxw 
 
 
yx
yx
w
w




 
 yxw 
 
 
yxxyw 
 
 
y
y
x
x
w
w 




 
 
y
x
w 
 
 
2y
y
x
y
x
w




 
 
y
y
x
x
w
w 



