Listas De Calculo 1 - Liliana e Rigoberto

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Listas De Calculo 1/Lista 1- Fatoração,Módulo, geometria.pdf
UENF
LCMAT
28/04/2015
LISTA N o 1 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Nos exerc´ıcios seguintes, simplifique as expresso˜es radicais:
a)
√
9x−6y4
b)
4
√
3x8y2
8x2
c)
√
16y8z−2
d)
5
√
4x6y
9x3
e)
√
x3 −
√
4xy2
f)
3
√
4x2
y2
3
√
2x2
y
g) 2
√
175− 4√28
h)
(x9y6)
−1/3
(x6y2)−1/2
i)
5
√
9ab6.
5
√
27a2b−1
j)
√
18x2y +
√
2y3√
y
2. Fatore as expresso˜es:
a) 14x2 − 33x− 5 b) 10x2 + 23x+ 12 c) 2x(x+ 3)− 5(x+ 3) d) 9x2 − 16 f) 1− x3
h) x3−4x2+5x−20 i) 2x3−3x2+2x−3 j) x6−3x4+x2−3 k) 2x3−16x2+14x l) x3+64
3. Determine o conjunto dos reais para os quais a igualdade se verifica.
a) |x− 3| = 2
b) |5x| = 3− x
c) |x− 5| = |3x− 1|
d) |3x− 7| = x+ 2
e) |3x+ 2| = 5
f)
∣∣∣ 1
3x− 1
∣∣∣ = 1 e) |2x− 3| = x
2
f)
√
x+ 7 = −x2 + 5
e) x2 − 5 = √3x
f) x+
1
x
= 1
4. Encontrar, para cada desigualdade abaixo, o conjunto dos reais para os quais ela se verifica.
a) 10x < 18 + 4x
b) 2x ≥ 3x2 − 16
c) 2 ≥ 3x+ 1
x
>
1
x
d) 3x2 − 13x ≥ 10
e) x2 − 6x+ 5 ≤ 0
f)
x+ 2
x− 1 ≤
x
x+ 4
g) 3 < 5x ≤ 2x+ 11
h) (2x+ 3)6(x− 2) ≥ 0
i)
x− 1
2x− 5 ≤
1 + x/2
x+ 3
j) (x−pi)(x+5)(x−1) > 0
k)
1
3x− 7 ≤
4
3− 2x
l) 0 <
x− 1
2x− 1 < 2
5. Encontrar, para cada desigualdade abaixo, o conjunto dos reais para os quais ela se verifica.
a) |2x− 5| < 1
b) |5− 1/x| ≤ 2
c) |4x− 6| ≤ 3
d) |x− 2| ≥ 4x+ 1
e) |3x+ 5| ≥ 2
f) |x− 3| > 7
g) |9− 2x| ≥ |7x|
h) 0 < |x+ 2| < 1
i) 2x2 + 7x > 15
j) x3 − x ≥ 0
k) 4x2 − 1 ≤ 0
l) x3 − x2 − 30x ≤ 0
m) |3x+ 5| ≤ |2x+ 1|
n) |x− 3|+ |x+ 3| < 8
o) |x− 1|+ |x− 2| ≥ 1
p) |x−1|+|x−2|+|x−3| ≥ 2
6. Determine o coeficiente angular e a equac¸a˜o geral das retas que passam pelos pares de pontos dados.
Fac¸a os respectivos gra´ficos.
a) (1,−2) e (2, 1) b) (2, 3) e (−1, 3) c) (−2,−1) e (1,−2) d) (1, 2) e (1,−3).
7. Escreva a equac¸a˜o e desenhe no plano cartesiano as retas verticais e horizontais que passam pelos
pontos: a) P (2, 3) b) P (−1, 4/3) c) P (0,−√2) d) P (−pi, 0).
8. Escreva a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P com coeficiente angular m.
a) P (1, 1), m = 1 b) P (−1, 1), m = −1/2 c) P (0, 3), m = 2 d) P (−4, 0), m = −2.
9. Determine o coeficiente angular e linear em cada reta dada (desenhe-a no plano cartesiano).
a) 3x+ 4y = 12 b) x+ y = 2 c) y = 2x+ 4 d) x/3 + y/4 = 1.
10. Ache a distaˆncia entre os pontos: a) (−3,−4) e (−5,−7) b) (0, 0) e (−8,−6) c) (7,−1) e (7, 3)
Listas De Calculo 1/Lista 10 - Derivada das Inversas, Hospital, Implicita, Sucessiva, Hiperbólicas, logaritmicas - Cópia.pdf
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LCMAT
24/06/2015
LISTA N o 10 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Profs: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. i) Encontre o domı´nio das func¸o˜es dadas de maneira que elas sejam invert´ıveis. Determine as inversas
e calcule suas derivadas.
a) f(x) =
1
x− 1 b) f(x) = 2x+ 1 c) f(x) =
√
1− x2.
ii) Calcular f−1(x) e (f−1)′(x) para
a) f(x) = 3/(x+ 1) b) f(x) =
√
ex c) f(x) = lnx
2. Assumindo que as hipo´teses do teorema da func¸a˜o inversa se verificam, calcule o valor de (f−1)′(y)
dado o seguinte:
a) y = 2, f(1) = 2 e f ′(1) = 3
b) y = 12 , f(
pi
6 ) =
1
2 e f
′(pi6 ) =
√
3
2
3. (i) Prove que a n-e´sima derivada da func¸a˜o f(x) = 1/x e´ fn(x) =
(−1)nn!
xn+1
(ii) Calcular a segunda e terceira derivada das seguintes func¸o˜es (usando propriedades de derivada)
a) f(x) =
(
x+
1
x
)2
b) f(x) =
√
x2 + 1 c) f(x) = 5x3 + 4x+ 2
4. Calcular os seguintes limites usando a regra de L’Hoˆpital
a) lim
x→0
tanx
x
b) lim
x→1
lnx
x− 1
c) lim
x→2
x2 − 4
x2 + 2x− 8
d) lim
x→pi+
sen x
x− pi
e) lim
x→∞ x e
−x
f) lim
x→∞
x100
ex
g) lim
x→0
(
1
x
− 1
ex − 1
)
h) lim
x→∞ [x− ln(x
2 + 1)]
i) lim
x→∞ [cos(2/x)]
x2
5. Calcular os seguintes limites
a) lim
x→0+
xx b) lim
x→∞
ln(lnx)√
x
c) lim
x→0+
(sen x)3/ lnx c) lim
x→(pi/2)−
4 tanx
1 + secx
6. Usando as propriedades de logaritmo e exponencial calcule as derivadas das func¸o˜es
a) y = ln 2x
b) y = (lnx)2
c) y = ln | tanx|
d) y = cos(ln x)
e) y = (ln x)2
f) y = x3 log2(3− 2x)
g) y =
x2
1 + ln x
h) y = sen ex
i) y =
ex − e−x
ex − e−x
j) y = ln (cos ex)
k) y = (ln x)2
l) y = ex tan x
7. Ache y′ por diferenciac¸a˜o inpl´ıcita
a) y + lnxy = 0 b) y = ln(x tan y) c) xy + ey = x2
8. Calcule as derivadas das func¸o˜es Hiperbo´licas:
senhx, coshx, tanhx, cothx, sechx, cschx.
Listas De Calculo 1/Lista 10 - Derivada das Inversas, Hospital, Implicita, Sucessiva, Hiperbólicas, logaritmicas.pdf
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24/06/2015
LISTA N o 10 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Profs: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. i) Encontre o domı´nio das func¸o˜es dadas de maneira que elas sejam invert´ıveis. Determine as inversas
e calcule suas derivadas.
a) f(x) =
1
x− 1 b) f(x) = 2x+ 1 c) f(x) =
√
1− x2.
ii) Calcular f−1(x) e (f−1)′(x) para
a) f(x) = 3/(x+ 1) b) f(x) =
√
ex c) f(x) = lnx
2. Assumindo que as hipo´teses do teorema da func¸a˜o inversa se verificam, calcule o valor de (f−1)′(y)
dado o seguinte:
a) y = 2, f(1) = 2 e f ′(1) = 3
b) y = 12 , f(
pi
6 ) =
1
2 e f
′(pi6 ) =
√
3
2
3. (i) Prove que a n-e´sima derivada da func¸a˜o f(x) = 1/x e´ fn(x) =
(−1)nn!
xn+1
(ii) Calcular a segunda e terceira derivada das seguintes func¸o˜es (usando propriedades de derivada)
a) f(x) =
(
x+
1
x
)2
b) f(x) =
√
x2 + 1 c) f(x) = 5x3 + 4x+ 2
4. Calcular os seguintes limites usando a regra de L’Hoˆpital
a) lim
x→0
tanx
x
b) lim
x→1
lnx
x− 1
c) lim
x→2
x2 − 4
x2 + 2x− 8
d) lim
x→pi+
sen x
x− pi
e) lim
x→∞ x e
−x
f) lim
x→∞
x100
ex
g) lim
x→0
(
1
x
− 1
ex − 1
)
h) lim
x→∞ [x− ln(x
2 + 1)]
i) lim
x→∞ [cos(2/x)]
x2
5. Calcular os seguintes limites
a) lim
x→0+
xx b) lim
x→∞
ln(lnx)√
x
c) lim
x→0+
(sen x)3/ lnx c) lim
x→(pi/2)−
4 tanx
1 + secx
6. Usando as propriedades de logaritmo e exponencial calcule as derivadas das func¸o˜es
a) y = ln 2x
b) y = (lnx)2
c) y = ln | tanx|
d) y = cos(ln x)
e) y = (ln x)2
f) y = x3 log2(3− 2x)
g) y =
x2
1 + ln x
h) y = sen ex
i) y =
ex − e−x
ex − e−x
j) y = ln (cos ex)
k) y = (ln x)2
l) y = ex tan x
7. Ache y′ por diferenciac¸a˜o inpl´ıcita
a) y + lnxy = 0 b) y = ln(x tan y) c) xy + ey = x2
8. Calcule as derivadas das func¸o˜es Hiperbo´licas:
senhx, coshx, tanhx, cothx, sechx, cschx.
Listas De Calculo 1/Lista 11- Gráficos e otimização - Cópia.pdf
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LCMAT
03/07/2015
LISTA N o 11 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Ache os gra´ficos das seguintes func¸o˜es calculando os pontos cr´ıticos, pontos de inflexa˜o e as concavidades
nos respectivos intervalos.
a) f(x) = 2x1/2 − x
b) f(x) = 8x5 − 5x4 − 20x3
c) f(x) = 3x7 − 84x5 + 448x3
d) f(x) = 3x5 − 100x3 + 960x
e) f(x) =
x2 − x
1 + 3x2
f) f(x) = x2 + 5x−2
g) f(x) = sen2 2x, x ∈ [0, pi]
h) f(x) = (x−
1)2(x− 2)2
i) f(x) = x1/3 + x1/4
j) f(x) =
1
x2 + x
2. Superpetroleiros descarre´gam petro´leo em atracadouros a 4 mi da costa. A refinaria mais pro´xima esta´
9 mi a leste do ponto da costa mais pro´ximo do atracadouro. Uma tubulac¸a˜o precisa ser construida para
conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaqua´ticos custam $300.00 por milla e os terrestres
$200.00 por milha. Qual e´ a combinac¸a˜o dos dois tipos de dutos que vai fornecer a conexa˜o menos
dispendiosa.
3. Em medicina e´ frequentemente aceito que a reac¸a˜o R a uma dose x de uma droga e´ dada pela equac¸a˜o
da forma R = Ax2(B − x), onde A e B sa˜o certas constantes positivas. A sensibilidade de algue´m a
uma dose x e´ definida pela derivada dR/dx da reac¸a˜o com a respectiva dose. a) Para que valor de x a
reac¸a˜o e´ ma´xima? b) Para que valor de x a sensibilidade dR/dx e´ ma´xima?
4. Um muro possui 8 m de altura. Este muro e´ paralelo a` parede de um edif´ıcio e esta´ a 1 m desta.
Determine o comprimento da menor escada, apoiada no topo do muro que vai do cha˜o (no lado oposto
ao edif´ıcio) a` parede do edif´ıcio. (Sugesta˜o: Use semelhanc¸a de triaˆngulos).
5. Determine o ponto da para´bola y = 1− x2 que se encontra mais pro´xima da origem.
6. Uma centena de animais pertencendo a uma espe´cie em perigo esta˜o colocados numa reserva de
protec¸a˜o. Depois de t anos a populac¸a˜o p desses animais na reserva e´ dada por
p = 100
t2 + 5t+ 25
t2 + 25
. Apo´s quantos anos a populac¸a˜o e´ ma´xima?.
7. Encontre as dimenso˜es do cone de ma´ximo volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio 1.
8. Uma lata cil´ındrica deve ter a capacidade de 50pi cm3. O material do topo e base da lata custa R$
25,00 por m2, enquanto que o material com o cual os lados sa˜o feitos custa R$ 20,00 por m2. Encontre
o raio da base e a altura da lata que minimiza o custo da lata.
Listas De Calculo 1/Lista 11- Gráficos e otimização.pdf
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03/07/2015
LISTA N o 11 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Ache os gra´ficos das seguintes func¸o˜es calculando os pontos cr´ıticos, pontos de inflexa˜o e as concavidades
nos respectivos intervalos.
a) f(x) = 2x1/2 − x
b) f(x) = 8x5 − 5x4 − 20x3
c) f(x) = 3x7 − 84x5 + 448x3
d) f(x) = 3x5 − 100x3 + 960x
e) f(x) =
x2 − x
1 + 3x2
f) f(x) = x2 + 5x−2
g) f(x) = sen2 2x, x ∈ [0, pi]
h) f(x) = (x− 1)2(x− 2)2
i) f(x) = x1/3 + x1/4
j) f(x) =
1
x2 + x
2. Superpetroleiros descarre´gam petro´leo em atracadouros a 4 mi da costa. A refinaria mais pro´xima esta´
9 mi a leste do ponto da costa mais pro´ximo do atracadouro. Uma tubulac¸a˜o precisa ser construida para
conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaqua´ticos custam $300.00 por milla e os terrestres
$200.00 por milha. Qual e´ a combinac¸a˜o dos dois tipos de dutos que vai fornecer a conexa˜o menos
dispendiosa.
3. Em medicina e´ frequentemente aceito que a reac¸a˜o R a uma dose x de uma droga e´ dada pela equac¸a˜o
da forma R = Ax2(B − x), onde A e B sa˜o certas constantes positivas. A sensibilidade de algue´m a
uma dose x e´ definida pela derivada dR/dx da reac¸a˜o com a respectiva dose. a) Para que valor de x a
reac¸a˜o e´ ma´xima? b) Para que valor de x a sensibilidade dR/dx e´ ma´xima?
4. Um muro possui 8 m de altura. Este muro e´ paralelo a` parede de um edif´ıcio e esta´ a 1 m desta.
Determine o comprimento da menor escada, apoiada no topo do muro que vai do cha˜o (no lado oposto
ao edif´ıcio) a` parede do edif´ıcio. (Sugesta˜o: Use semelhanc¸a de triaˆngulos).
5. Determine o ponto da para´bola y = 1− x2 que se encontra mais pro´xima da origem.
6. Uma centena de animais pertencendo a uma espe´cie em perigo esta˜o colocados numa reserva de
protec¸a˜o. Depois de t anos a populac¸a˜o p desses animais na reserva e´ dada por
p = 100
t2 + 5t+ 25
t2 + 25
. Apo´s quantos anos a populac¸a˜o e´ ma´xima?.
7. Encontre as dimenso˜es do cone de ma´ximo volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio 1.
8. Uma lata cil´ındrica deve ter a capacidade de 50pi cm3. O material do topo e base da lata custa R$
25,00 por m2, enquanto que o material com o cual os lados sa˜o feitos custa R$ 20,00 por m2. Encontre
o raio da base e a altura da lata que minimiza o custo da lata.
Listas De Calculo 1/Lista 11.1 Desafio - Otimização - Cópia.pdf
 
 
 
 
 
Listas De Calculo 1/Lista 11.1 Desafio - Otimização.pdf
 
 
 
 
 
Listas De Calculo 1/Lista 11.2 Desafio 2 - Cópia.pdf
PROBLEMAS DE CA´LCULO I
11 de Julho de 2015
1. a) Ache as equac¸o˜es da reta tangente e normal da curva
(
x
a
)5
+
(
y
b
)5
= 2 no
ponto (a,b).
b) Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da para´bola y2 = 20x que forma
com o eixo x um aˆngulo de
pi
4
.
2. Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
sec(esenx
2
)(
7
√
1 + x2
)(
x+ 3
√
1 + (lnx)4
) .
3. Calcule lim
x→0
(
1
x
)tanx
4. A janela de uma igreja consiste de um retaˆngulo com semic´ırculo em cima e deve ter
um per´ımetro p. Ache o raio do semic´ırculo para que a a´rea da janela seja ma´xima.
5. Gra´fique a seguinte func¸a˜o calculando os pontos cr´ıticos, pontos de inflexa˜o e as
concavidades nos respectivos intervalos.
f(x) = 3x5 − 100x3 + 960x.
1
Listas De Calculo 1/Lista 11.2 Desafio 2.pdf
PROBLEMAS DE CA´LCULO I
11 de Julho de 2015
1. a) Ache as equac¸o˜es da reta tangente e normal da curva
(
x
a
)5
+
(
y
b
)5
= 2 no
ponto (a,b).
b) Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da para´bola y2 = 20x que forma
com o eixo x um aˆngulo de
pi
4
.
2. Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) =
sec(esenx
2
)(
7
√
1 + x2
)(
x+ 3
√
1 + (lnx)4
) .
3. Calcule lim
x→0
(
1
x
)tanx
4. A janela de uma igreja consiste de um retaˆngulo com semic´ırculo em cima e deve ter
um per´ımetro p. Ache o raio do semic´ırculo para que a a´rea da janela seja ma´xima.
5. Gra´fique a seguinte func¸a˜o calculando os pontos cr´ıticos, pontos de inflexa˜o e as
concavidades nos respectivos intervalos.
f(x) = 3x5 − 100x3 + 960x.
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Listas De Calculo 1/Lista 12 - Integrais - Cópia.pdf
LISTA N o 12 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Professores: Liliana A. L. Mescua - Rigoberto G. S. Castro
1. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
(4x+ 3) dx
(b)
∫
(9x2 − 4x+ 3) dx
(c)
∫
(4x2 − 8x+ 1) dx
(d)
∫
(2x3 − x2 + 3x− 7) dx
(e)
∫
x(2x+ 3) dx
(f)
∫
(2x− 5)(3x+ 1) dx
(g)
∫
(x2 + 3)2
x6
dx
(h)
∫
(3x− 1)2 dx
(i)
∫
(2x5/4 + 6x1/4 + 3x−4) dx
(j)
∫
(
√
x3 − 12x−2 + 5) dx
(k)
∫ (
1
x3
− 3
x2
)
dx
(l)
∫ (
4
x7
− 7
x4
+ x
)
dx
(m)
∫ (
1√
x
+ 3
√
x
)
dx
(n)
∫
8x− 5
3
√
x
dx
(o)
∫
(
√
x+ 2)2
x3
dx
(p)
∫ (
x− 1
x
)2
dx
(q)
∫
2x2 − x+ 3√
x
dx
(r)
∫
x3 + 3x2 − 9x− 2
x− 2 dx, x 6= 2
2. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
3
4
cosu du
(b)
∫
−1
5
senu du
(c)
∫
7
cscu
du
(d)
∫
1
4 secu
du
(e)
∫
tanu
cosu
du
(f)
∫
(
√
u+ cosu) du
(g)
∫
(
3
√
u2 − senu) du
(h)
∫
secu
cosu
du
(i)
∫
1
sen2u
du
(j)
∫
sec2 u
tan2 u
du
(k)
∫
cscu cotu secu du
(l)
∫
(4 + 4 tan2 u) du
(m)
∫
cscu cosu
senu
du
(n)
∫
secu senu
cosu
du
(o)
∫
(1 + cot2 u) cotu
cscu
du
3. Resolva as seguintes integrais:
(a)
∫
Dx
√
x2 + 4 dx
(b)
∫
Dx
3
√
x3 − 8 dx
(c) Dx
∫
(x4
√
x2 + 9) dx
(d) Dx
∫
(x3
√
x− 4) dx
(e)
∫
d
dx(
√
tanx) dx
(f)
∫
d
dx(sen
3
√
x) dx
(g) ddx
∫
csc
√
x2 + 1 dx
(h) ddx
∫
cotx3 dx
(i) ddx
∫
cos
√
x2 + 1 dx
4. Calcule a integral para a e b constantes.
(a)
∫
a2 dt
(b)
∫
(at+ b) dt
(c)
∫
(a+ b) dt
(d)
∫
ab dt
(e)
∫
(b− a2) dt
(f)
∫ a
b2
t dt
5. Para y = f(x) resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es:
(a) f ′(x) = 12x2 − 6x+ 1, f(1) = 5
(b) f ′(x) = 9x2 + x− 8, f(−1) = 1
(c) f ′(x) = 4
√
x, f(4) = 21
(d) f ′(x) = 5x−1/3, f(27) = 70
(e) f ′′(x) = 4x− 1, f ′(2) = −2, f(1) = 3
(f) f ′′(x) = 4x− 1, f ′(2) = −2, f(1) = 3
(g) f ′′(x) = 3 senx− 4 cosx, f ′(0) = 2, f(0) = 7
(h) f ′′(x) = 2 cosx− 5 senx, f ′(pi) = 3, f(pi) = 2 + 6pi
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Professores: Liliana A. L. Mescua - Rigoberto G. S. Castro
6. Calcule a integral por meio da substituic¸a˜o indicada, e expresse a resposta em termos de x.
(a)
∫
x(2x2 + 3)10 dx, u = 2x2 + 3
(b)
∫
x
(x2 + 5)3
dx, u = x2 + 5
(c)
∫
x2 3
√
3x3 + 7 dx, u = 3x3 + 7
(d)
∫
5x
x2 − 3 dx, u = x
2 − 3
(e)
∫
(1 +
√
x)3√
x
dx, u = 1 +
√
x
(f)
∫
1
(5x− 4)10 dx, u = 5x− 4
(g)
∫ √
x cos
√
x3 dx, u = x3/2
(h)
∫
tanx sec2 x dx, u = tanx
7. Calcule as seguintes integrais usando uma substituic¸a˜o apropriada.
(a)
∫ √
3x− 2 dx
(b)
∫
3
√
8x+ 5 dx
(c)
∫
(3x+ 1)4 dx
(d)
∫
x2
√
x2 − 1 dx
(e)
∫
x
3
√
1− 2x2 dx
(f)
∫
(
√
x+ 3)4√
x
dx
(g)
∫
4
√
2x+ 5 dx
(h)
∫
1
4− 5x dx
(i)
∫ (
1 +
1
x
)−3( 1
x2
)
dx
(j)
∫
x(2x2 − 3)5 dx
(k)
∫
x2 + x
(4− 3x2 − 2x3)4 dx
(l)
∫
3 sen 4u du
(m)
∫
4 cos
u
2
du
(n)
∫
cos(4u− 3) du
(o)
∫
sen(1 + 6u) du
(p)
∫
u senu2 du
(q)
∫
cos 3u 3
√
sen 3u du
(r)
∫
(senu+ cosu)2 du
(s)
∫
senu (1 + cosu)2 du
(t)
∫
u
cos2(u2)
du
(u)
∫
cos 3
√
u
3
√
u2
du
(v)
∫
sen 2u√
1− cos 2u du
(w)
∫
sen 4u
cos 2u
du
(x)
∫
sen 2u sec5 2u du
(y)
∫
sec2(3u− 4) du
(z)
∫
1
tan 4u sen 4u
du
8. Para y = f(x) resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es iniciais indicadas.
(a) f ′(x) = 3
√
3x+ 2, f(2) = 9
(b) f ′(x) = x
√
x2 + 5, f(2) = 12
(c) f ′′(x) = 16 cos 2x− 3 senx, f ′(0) = 4, f(0) = −2
(d) f ′′(x) = 4 sen 2x+ 16 cos 4x, f ′(0) = 1, f(0) = 6
9. Calcule a integral por meio de substituic¸a˜o (em alguns casos a substituic¸a˜o sera´ indicada).
(a)
∫
cosx√
36− sen2x dx, u = senx
(b)
∫
cscx cotx
1 + 9 csc2 x
dx, u = 3 cscx
(c)
∫
1√
a2 − b2x2 dx, b 6= 0
(d)
∫
cos(x/2)
1 + sen2(x/2)
dx, u = sen
x
2
(e)
∫
sec2 x
1 + tan2 x
dx
(f)
∫
1
7 + (3x− 1)2 dx
(g)
∫
arccosx√
1− x2 dx
(h)
∫
1
4x2 − 4x+ 5 dx
(i)
∫
x
4 + x4
dx, u = x2
(j)
∫
1
t2/3(1 + t2/3)
(k)
∫
sec2 x
1 + tan2 x
dx
(l)
∫ senx
cosx
1√
1− x2 dx, x ∈ (0, pi/2)
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10. Com o uso das identidades 1 + tan2 x = sec2 x e 1 + cot2 x = csc2 x calcule as integrais:
(a)
∫
tan2
2x
3
dx
(b)
∫
tan3
pix
2
dx
(c)
∫
tan4 2x sec2 2x dx
(d)
∫
(sec 3x+ tan 3x)2 dx
(e)
∫
cot 3x csc3 3x dx
(f)
∫
cot3 5u du
(g)
∫
csc4 3u du
(h)
∫
cot4 3u csc4 3u du
(i)
∫
tan3 7u sec4 7u du
(j)
∫
tan3 3u√
sec 3u
du
(k)
∫
cot4 4u du
(l)
∫
sec6 2u du
(m)
∫
tan3 5u sec5 5u du
(n)
∫
cot7/2 2u csc4 2u du
(o)
∫
(tan 2u+ cot 2u)2 du
(p)
∫
cot3
pix
2
csc3
pix
2
dx
(q)
∫
sec4 x√
tanx
dx
(r)
∫ (
tanx
cosx
)4
dx
11. Use a integrac¸a˜o por partes para calcular cada integral.
(a)
∫
x cos 2x dx
(b)
∫
xe−4x dx
(c)
∫
arcsin 3x dx
(d)
∫
arctanx dx
(e)
∫
xe3x dx
(f)
∫
x sen kx dx
(g)
∫
ln 5x dx
(h)
∫
x3 lnx2 dx
(i)
∫
x secx tanx dx
(j)
∫
arccosx dx
(k)
∫
x ln 2x dx
(l)
∫
x csc2 x dx
(m)
∫
x2 sen 3x dx
(n)
∫
(x5 − x3 + x)e−x dx
(o)
∫
x2 sec2 x tanx dx
(p)
∫
e−x cos 2x dx
(q)
∫
sec5 x dx
(r)
∫
e2x senx dx
(s)
∫
senx sen 2x dx
(t)
∫
eax sen bx dx
12. Use uma substituic¸a˜o apropriada para expressar a integral numa forma em que a integrac¸a˜o por partes
seja poss´ıvel
(a)
∫
x3ex
2
dx
(b)
∫
x3/2 cos
√
x dx
(c)
∫
x11 cosx4 dx
(d)
∫ √
1 + x2 dx
(e)
∫
x3 sen 2x2 dx
(f)
∫
ln
√
x dx
(g)
∫
x3√
1− x2 dx
13. Use uma substituic¸a˜o trigonome´trica apropriada e calcule
(a)
∫ √
7− 4x2
x4
dx
(b)
∫
1
x2
√
16− x2 dx
(c)
∫
x3√
4− x2 dx
(d)
∫
x3√
x2 + 4
dx
(e)
∫
1
x
√
x2 + 5
dx
(f)
∫
1√
16x2 + 9
dx
(g)
∫
1
x2(a2 + x2)3/2
dx
(h)
∫
1√
9x2 − 4 dx
(i)
∫
1
(4x2 − 9)3/2 dx
(j)
∫
x2√
4− 9x2 dx
(k)
∫
1
x2
√
1 + x2
dx
(l)
∫
1
x4
√
x2 − 4 dx
(m)
∫ √
9− x2
x2
dx
(n)
∫
1
(x2 + 9)2
dx
(o)
∫
1
x2
√
x2 − 4 dx
(p)
∫
x√
x2 − a2 dx
(q)
∫
x3
√
x2 − 1 dx
(r)
∫
7x3
(4x2 + 9)3/2
dx
(s)
∫ √
x2 − 9
x
dx
(t)
∫
1
x4
√
4− x2 dx
(u)
∫ √
9− 2x2 dx
(v)
∫
1
x4
√
4 + x2
dx
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14. Usando frac¸o˜es parciais resolva cada integral dada a seguir.
(a)
∫
x+ 1
x(x− 2) dx
(b)
∫
x
(x− 1)(x+ 1)(x+ 2) dx
(c)
∫
2x+ 1
x3 + x2 − 2x dx
(d)
∫
x+ 7
(x+ 1)(x2 − 4x+ 3) dx
(e)
∫
x2
x2 + x− 6 dx
(f)
∫
4x2 − 7x+ 10
(x+ 2)(3x− 2)2 dx
(g)
∫
x+ 3
(x+ 1)2(x+ 7)
dx
(h)
∫
x3 − 3x2 + 5x− 12
(x− 1)2(x2 − 3x− 4) dx
(i)
∫
1
(x− 1)(x2 + 4) dx
(j)
∫
x3 + 5x2 − x− 22
x2 + 3x− 10 dx
(k)
∫
x3 + 2x2 − 3x+ 1
x3 + 3x2 + 2x
dx
(l)
∫
5x2 − 7x+ 8
x3 + 3x2 − 4x dx
(m)
∫
x4 + 2x3 + 1
x3 − x2 − 2x dx
(n)
∫
x3 + 5x2 − 4x− 20
x2 + 3x− 10 dx
(o)
∫
x+ 4
(x− 1)2(x2 + 2x+ 1) dx
(p)
∫
4x2
(x− 1)2(x2 − 4x+ 3) dx
(q)
∫
x2 + 1
(x2 + 4x+ 4)(x+ 3)
dx
(r)
∫
1
x4 − 16 dx
(s)
∫
2x+ 3
x2(4x+ 1)
dx
(t)
∫
x2
x2 − x− 6 dx
(u)
∫
8x+ 7
2x2 + 3x+ 1
dx
(v)
∫
x+ 1
x2 − x− 2 dx
(w)
∫
1
x3 − x dx
(x)
∫
3x+ 1
x(x2 − 4) dx
(y)
∫
2x
(x+ 2)(x2
− 1) dx
(z)
∫
x+ 2
(x2 − 1)2(x+ 3)2 dx
15. Calcule as seguintes integrais definidas
(a)
∫ 4
0
x− 1
x2 − 4x− 5 dx
(b)
∫ 3
1
r4 lnr dx
(c)
∫ 1
0
(1 +
√
x)8 dx
(d)
∫ 2
1
1
x+ x
√
x
dx
(e)
∫ 2
−2
|x2 − 4x| dx
(f)
∫ pi/4
0
cos2 θ tan2 θ dθ
(g)
∫ 1
0
xex√
1 + ex
dx
(h)
∫ pi/4
0
1 + senx
1− senx dx
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Listas De Calculo 1/Lista 12 - Integrais.pdf
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1. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
(4x+ 3) dx
(b)
∫
(9x2 − 4x+ 3) dx
(c)
∫
(4x2 − 8x+ 1) dx
(d)
∫
(2x3 − x2 + 3x− 7) dx
(e)
∫
x(2x+ 3) dx
(f)
∫
(2x− 5)(3x+ 1) dx
(g)
∫
(x2 + 3)2
x6
dx
(h)
∫
(3x− 1)2 dx
(i)
∫
(2x5/4 + 6x1/4 + 3x−4) dx
(j)
∫
(
√
x3 − 12x−2 + 5) dx
(k)
∫ (
1
x3
− 3
x2
)
dx
(l)
∫ (
4
x7
− 7
x4
+ x
)
dx
(m)
∫ (
1√
x
+ 3
√
x
)
dx
(n)
∫
8x− 5
3
√
x
dx
(o)
∫
(
√
x+ 2)2
x3
dx
(p)
∫ (
x− 1
x
)2
dx
(q)
∫
2x2 − x+ 3√
x
dx
(r)
∫
x3 + 3x2 − 9x− 2
x− 2 dx, x 6= 2
2. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
3
4
cosu du
(b)
∫
−1
5
senu du
(c)
∫
7
cscu
du
(d)
∫
1
4 secu
du
(e)
∫
tanu
cosu
du
(f)
∫
(
√
u+ cosu) du
(g)
∫
(
3
√
u2 − senu) du
(h)
∫
secu
cosu
du
(i)
∫
1
sen2u
du
(j)
∫
sec2 u
tan2 u
du
(k)
∫
cscu cotu secu du
(l)
∫
(4 + 4 tan2 u) du
(m)
∫
cscu cosu
senu
du
(n)
∫
secu senu
cosu
du
(o)
∫
(1 + cot2 u) cotu
cscu
du
3. Resolva as seguintes integrais:
(a)
∫
Dx
√
x2 + 4 dx
(b)
∫
Dx
3
√
x3 − 8 dx
(c) Dx
∫
(x4
√
x2 + 9) dx
(d) Dx
∫
(x3
√
x− 4) dx
(e)
∫
d
dx(
√
tanx) dx
(f)
∫
d
dx(sen
3
√
x) dx
(g) ddx
∫
csc
√
x2 + 1 dx
(h) ddx
∫
cotx3 dx
(i) ddx
∫
cos
√
x2 + 1 dx
4. Calcule a integral para a e b constantes.
(a)
∫
a2 dt
(b)
∫
(at+ b) dt
(c)
∫
(a+ b) dt
(d)
∫
ab dt
(e)
∫
(b− a2) dt
(f)
∫ a
b2
t dt
5. Para y = f(x) resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es:
(a) f ′(x) = 12x2 − 6x+ 1, f(1) = 5
(b) f ′(x) = 9x2 + x− 8, f(−1) = 1
(c) f ′(x) = 4
√
x, f(4) = 21
(d) f ′(x) = 5x−1/3, f(27) = 70
(e) f ′′(x) = 4x− 1, f ′(2) = −2, f(1) = 3
(f) f ′′(x) = 4x− 1, f ′(2) = −2, f(1) = 3
(g) f ′′(x) = 3 senx− 4 cosx, f ′(0) = 2, f(0) = 7
(h) f ′′(x) = 2 cosx− 5 senx, f ′(pi) = 3, f(pi) = 2 + 6pi
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6. Calcule a integral por meio da substituic¸a˜o indicada, e expresse a resposta em termos de x.
(a)
∫
x(2x2 + 3)10 dx, u = 2x2 + 3
(b)
∫
x
(x2 + 5)3
dx, u = x2 + 5
(c)
∫
x2 3
√
3x3 + 7 dx, u = 3x3 + 7
(d)
∫
5x
x2 − 3 dx, u = x
2 − 3
(e)
∫
(1 +
√
x)3√
x
dx, u = 1 +
√
x
(f)
∫
1
(5x− 4)10 dx, u = 5x− 4
(g)
∫ √
x cos
√
x3 dx, u = x3/2
(h)
∫
tanx sec2 x dx, u = tanx
7. Calcule as seguintes integrais usando uma substituic¸a˜o apropriada.
(a)
∫ √
3x− 2 dx
(b)
∫
3
√
8x+ 5 dx
(c)
∫
(3x+ 1)4 dx
(d)
∫
x2
√
x2 − 1 dx
(e)
∫
x
3
√
1− 2x2 dx
(f)
∫
(
√
x+ 3)4√
x
dx
(g)
∫
4
√
2x+ 5 dx
(h)
∫
1
4− 5x dx
(i)
∫ (
1 +
1
x
)−3( 1
x2
)
dx
(j)
∫
x(2x2 − 3)5 dx
(k)
∫
x2 + x
(4− 3x2 − 2x3)4 dx
(l)
∫
3 sen 4u du
(m)
∫
4 cos
u
2
du
(n)
∫
cos(4u− 3) du
(o)
∫
sen(1 + 6u) du
(p)
∫
u senu2 du
(q)
∫
cos 3u 3
√
sen 3u du
(r)
∫
(senu+ cosu)2 du
(s)
∫
senu (1 + cosu)2 du
(t)
∫
u
cos2(u2)
du
(u)
∫
cos 3
√
u
3
√
u2
du
(v)
∫
sen 2u√
1− cos 2u du
(w)
∫
sen 4u
cos 2u
du
(x)
∫
sen 2u sec5 2u du
(y)
∫
sec2(3u− 4) du
(z)
∫
1
tan 4u sen 4u
du
8. Para y = f(x) resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es iniciais indicadas.
(a) f ′(x) = 3
√
3x+ 2, f(2) = 9
(b) f ′(x) = x
√
x2 + 5, f(2) = 12
(c) f ′′(x) = 16 cos 2x− 3 senx, f ′(0) = 4, f(0) = −2
(d) f ′′(x) = 4 sen 2x+ 16 cos 4x, f ′(0) = 1, f(0) = 6
9. Calcule a integral por meio de substituic¸a˜o (em alguns casos a substituic¸a˜o sera´ indicada).
(a)
∫
cosx√
36− sen2x dx, u = senx
(b)
∫
cscx cotx
1 + 9 csc2 x
dx, u = 3 cscx
(c)
∫
1√
a2 − b2x2 dx, b 6= 0
(d)
∫
cos(x/2)
1 + sen2(x/2)
dx, u = sen
x
2
(e)
∫
sec2 x
1 + tan2 x
dx
(f)
∫
1
7 + (3x− 1)2 dx
(g)
∫
arccosx√
1− x2 dx
(h)
∫
1
4x2 − 4x+ 5 dx
(i)
∫
x
4 + x4
dx, u = x2
(j)
∫
1
t2/3(1 + t2/3)
(k)
∫
sec2 x
1 + tan2 x
dx
(l)
∫ senx
cosx
1√
1− x2 dx, x ∈ (0, pi/2)
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10. Com o uso das identidades 1 + tan2 x = sec2 x e 1 + cot2 x = csc2 x calcule as integrais:
(a)
∫
tan2
2x
3
dx
(b)
∫
tan3
pix
2
dx
(c)
∫
tan4 2x sec2 2x dx
(d)
∫
(sec 3x+ tan 3x)2 dx
(e)
∫
cot 3x csc3 3x dx
(f)
∫
cot3 5u du
(g)
∫
csc4 3u du
(h)
∫
cot4 3u csc4 3u du
(i)
∫
tan3 7u sec4 7u du
(j)
∫
tan3 3u√
sec 3u
du
(k)
∫
cot4 4u du
(l)
∫
sec6 2u du
(m)
∫
tan3 5u sec5 5u du
(n)
∫
cot7/2 2u csc4 2u du
(o)
∫
(tan 2u+ cot 2u)2 du
(p)
∫
cot3
pix
2
csc3
pix
2
dx
(q)
∫
sec4 x√
tanx
dx
(r)
∫ (
tanx
cosx
)4
dx
11. Use a integrac¸a˜o por partes para calcular cada integral.
(a)
∫
x cos 2x dx
(b)
∫
xe−4x dx
(c)
∫
arcsin 3x dx
(d)
∫
arctanx dx
(e)
∫
xe3x dx
(f)
∫
x sen kx dx
(g)
∫
ln 5x dx
(h)
∫
x3 lnx2 dx
(i)
∫
x secx tanx dx
(j)
∫
arccosx dx
(k)
∫
x ln 2x dx
(l)
∫
x csc2 x dx
(m)
∫
x2 sen 3x dx
(n)
∫
(x5 − x3 + x)e−x dx
(o)
∫
x2 sec2 x tanx dx
(p)
∫
e−x cos 2x dx
(q)
∫
sec5 x dx
(r)
∫
e2x senx dx
(s)
∫
senx sen 2x dx
(t)
∫
eax sen bx dx
12. Use uma substituic¸a˜o apropriada para expressar a integral numa forma em que a integrac¸a˜o por partes
seja poss´ıvel
(a)
∫
x3ex
2
dx
(b)
∫
x3/2 cos
√
x dx
(c)
∫
x11 cosx4 dx
(d)
∫ √
1 + x2 dx
(e)
∫
x3 sen 2x2 dx
(f)
∫
ln
√
x dx
(g)
∫
x3√
1− x2 dx
13. Use uma substituic¸a˜o trigonome´trica apropriada e calcule
(a)
∫ √
7− 4x2
x4
dx
(b)
∫
1
x2
√
16− x2 dx
(c)
∫
x3√
4− x2 dx
(d)
∫
x3√
x2 + 4
dx
(e)
∫
1
x
√
x2 + 5
dx
(f)
∫
1√
16x2 + 9
dx
(g)
∫
1
x2(a2 + x2)3/2
dx
(h)
∫
1√
9x2 − 4 dx
(i)
∫
1
(4x2 − 9)3/2 dx
(j)
∫
x2√
4− 9x2 dx
(k)
∫
1
x2
√
1 + x2
dx
(l)
∫
1
x4
√
x2 − 4 dx
(m)
∫ √
9− x2
x2
dx
(n)
∫
1
(x2 + 9)2
dx
(o)
∫
1
x2
√
x2 − 4 dx
(p)
∫
x√
x2 − a2 dx
(q)
∫
x3
√
x2 − 1 dx
(r)
∫
7x3
(4x2 + 9)3/2
dx
(s)
∫ √
x2 − 9
x
dx
(t)
∫
1
x4
√
4− x2 dx
(u)
∫ √
9− 2x2 dx
(v)
∫
1
x4
√
4 + x2
dx
Page 3
LISTA N o 12 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Professores: Liliana A. L. Mescua - Rigoberto G. S. Castro
14. Usando frac¸o˜es parciais resolva cada integral dada a seguir.
(a)
∫
x+ 1
x(x− 2) dx
(b)
∫
x
(x− 1)(x+ 1)(x+ 2) dx
(c)
∫
2x+ 1
x3 + x2 − 2x dx
(d)
∫
x+ 7
(x+ 1)(x2 − 4x+ 3) dx
(e)
∫
x2
x2 + x− 6 dx
(f)
∫
4x2 − 7x+ 10
(x+ 2)(3x− 2)2 dx
(g)
∫
x+ 3
(x+ 1)2(x+ 7)
dx
(h)
∫
x3 − 3x2 + 5x− 12
(x− 1)2(x2 − 3x− 4) dx
(i)
∫
1
(x− 1)(x2 + 4) dx
(j)
∫
x3 + 5x2 − x− 22
x2 + 3x− 10 dx
(k)
∫
x3 + 2x2 − 3x+ 1
x3 + 3x2 + 2x
dx
(l)
∫
5x2 − 7x+ 8
x3 + 3x2 − 4x dx
(m)
∫
x4 + 2x3 + 1
x3 − x2 − 2x dx
(n)
∫
x3 + 5x2 − 4x− 20
x2 + 3x− 10 dx
(o)
∫
x+ 4
(x− 1)2(x2 + 2x+ 1) dx
(p)
∫
4x2
(x− 1)2(x2 − 4x+ 3) dx
(q)
∫
x2 + 1
(x2 + 4x+ 4)(x+ 3)
dx
(r)
∫
1
x4 − 16 dx
(s)
∫
2x+ 3
x2(4x+ 1)
dx
(t)
∫
x2
x2 − x− 6 dx
(u)
∫
8x+ 7
2x2 + 3x+ 1
dx
(v)
∫
x+ 1
x2 − x− 2 dx
(w)
∫
1
x3 − x dx
(x)
∫
3x+ 1
x(x2 − 4) dx
(y)
∫
2x
(x+ 2)(x2 − 1) dx
(z)
∫
x+ 2
(x2 − 1)2(x+ 3)2 dx
15. Calcule as seguintes integrais definidas
(a)
∫ 4
0
x− 1
x2 − 4x− 5 dx
(b)
∫ 3
1
r4 lnr dx
(c)
∫ 1
0
(1 +
√
x)8 dx
(d)
∫ 2
1
1
x+ x
√
x
dx
(e)
∫ 2
−2
|x2 − 4x| dx
(f)
∫ pi/4
0
cos2 θ tan2 θ dθ
(g)
∫ 1
0
xex√
1 + ex
dx
(h)
∫ pi/4
0
1 + senx
1− senx dx
Page 4
Listas De Calculo 1/Lista 13- Aplicações de Integrais - Cópia.pdf
LISTA N o 13 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Professores: Liliana A. L. Mescua - Rigoberto G. S. Castro
1. Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
(a) y = 5x− 2, −2 ≤ x ≤ 2
(b) y = x2/3 − 1, 1 ≤ x ≤ 2
(c) y =
1
3
(2 + x3)3/2 , 0 ≤ x ≤ 3 ,
(d) y = ex , 0 ≤ x ≤ 1
(e) y = lnx ,
√
3 ≤ x ≤ √8
(f) y = ln(cosx) , 0 ≤ x ≤ pi
3
2. Calcular a a´rea sob o gra´fico de cada func¸a˜o entre x = a e x = b.
(a) f(x) = 1− x2; a = −1, b = 1
(b) f(x) = x2 − 9; a = −3, b = 3
(c) f(x) = x3 − x; a = −1, b = 1
(d) f(x) = 13(x− x3); a = −1, b = 2
(e) f(x) = x3 − 4x2 + 3x; a = 0, b = 2
(f) f(x) = xn; a = 0, b = 1, onde n ≥ 1
3. Calcular as a´reas das regio˜es delimitadas pelas gra´ficos das equac¸o˜es (determine o ponto de intersec¸a˜o dos
dois gra´ficos e esboce estes).
(a) y = x2 e y = 2x
(b) x = 4y2 − 1 e 8x− 6y + 3
(c) y = −x2 − 4 e y = −8
(d) y = x2 + 3 e y = 2x+ 3
(e) y =
√
x e y = x
(f) x = y2 − 2 e x = 6− y2
(g) y = |x| e y = x4
(h) y = x3 e y = 3
√
x
(i) y = x|x| e y = x3
4. Calcular as a´reas das regio˜es limitadas e que sa˜o delimitadas por:
(a) eixo x e y = x2 − x3
(b) y = x+ 6, y =
x2
2
, x = 1 e x = 4
(c) y = 2− x, y = x2, e acima de y = 3√x
(d) eixo y e x = 2y − y2
(e) y2 = 2x− 2 e y = x− 5
(f) y = x3, y = 12− x2, e x = 0
5. Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo dos x, da regia˜o R
delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas.
(a) y = x+ 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0
(b) y = x2 e y = x3
(c) y = x3 , x = −1 , x = 1 e y = 0
(d) y = x2 + 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0
(e) y = cosx , y = senx , x = 0 e x =
pi
4
(f) y = 2x− 1 , y = 0 , x = 0 , x = 4
6. Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo dos y, da regia˜o R
delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas.
(a) y = lnx, y = 2 e x = 0
(b) x = y2 + 1, x =
1
2
, y = −2 e y = 2
(c) x = 3 + sen y , x = 0 , y =
−5pi
2
e y =
5pi
2
(d) y = x3 e y = x2
(e) y =
1
x
, x = 0 , y =
1
4
e y = 4
(f) y2 = 2x , x = 0 , y = 2
Listas De Calculo 1/Lista 13- Aplicações de Integrais.pdf
LISTA N o 13 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Professores: Liliana A. L. Mescua - Rigoberto G. S. Castro
1. Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
(a) y = 5x− 2, −2 ≤ x ≤ 2
(b) y = x2/3 − 1, 1 ≤ x ≤ 2
(c) y =
1
3
(2 + x3)3/2 , 0 ≤ x ≤ 3 ,
(d) y = ex , 0 ≤ x ≤ 1
(e) y = lnx ,
√
3 ≤ x ≤ √8
(f) y = ln(cosx) , 0 ≤ x ≤ pi
3
2. Calcular a a´rea sob o gra´fico de cada func¸a˜o entre x = a e x = b.
(a) f(x) = 1− x2; a = −1, b = 1
(b) f(x) = x2 − 9; a = −3, b = 3
(c) f(x) = x3 − x; a = −1, b = 1
(d) f(x) = 13(x− x3); a = −1, b = 2
(e) f(x) = x3 − 4x2 + 3x; a = 0, b = 2
(f) f(x) = xn; a = 0, b = 1, onde n ≥ 1
3. Calcular as a´reas das regio˜es delimitadas pelas gra´ficos das equac¸o˜es (determine o ponto de intersec¸a˜o dos
dois gra´ficos e esboce estes).
(a) y = x2 e y = 2x
(b) x = 4y2 − 1 e 8x− 6y + 3
(c) y = −x2 − 4 e y = −8
(d) y = x2 + 3 e y = 2x+ 3
(e) y =
√
x e y = x
(f) x = y2 − 2 e x = 6− y2
(g) y = |x| e y = x4
(h) y = x3 e y = 3
√
x
(i) y = x|x| e y = x3
4. Calcular as a´reas das regio˜es limitadas e que sa˜o delimitadas por:
(a) eixo x e y = x2 − x3
(b) y = x+ 6, y =
x2
2
, x = 1 e x = 4
(c) y = 2− x, y = x2, e acima de y = 3√x
(d) eixo y e x = 2y − y2
(e) y2 = 2x− 2 e y = x− 5
(f) y = x3, y = 12− x2, e x = 0
5. Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo dos x, da regia˜o R
delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas.
(a) y = x+ 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0
(b) y = x2 e y = x3
(c) y = x3 , x = −1 , x = 1 e y = 0
(d) y = x2 + 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0
(e) y = cosx , y = senx , x = 0 e x =
pi
4
(f) y = 2x− 1 , y = 0 , x = 0 , x = 4
6. Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo dos y, da regia˜o R
delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas.
(a) y = lnx, y = 2 e x = 0
(b) x = y2 + 1, x =
1
2
, y = −2 e y = 2
(c) x = 3 + sen y , x = 0 , y =
−5pi
2
e y =
5pi
2
(d) y = x3 e y = x2
(e) y =
1
x
, x = 0 , y =
1
4
e y = 4
(f) y2 = 2x , x = 0 , y = 2
Listas De Calculo 1/Lista 2- Geometria Analítica.pdf
UENF
LCMAT
30/04/2015
LISTA N o 2 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Calcular o ponto de intersec¸a˜o onde as retas seguintes se encontram. Ilustre graficamente
a)
3x− 2y = 1,2x + y = 0. b)
y = 16x− 2/3,y = −16x + 2/3. c)
y = x,y = 5761x. d)
x + y − 1 = 0,x− y + 1 = 0.
2. Prove que a distaˆncia do ponto P0 = (x0, y0) a` reta ax + by + c = 0 (medida perpendicularmente) e´:
D =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
3. Determine a distaˆncia entre o ponto A = (−4, 1) e a reta: a) y = −x + 1 b) y = x.
4. Determine m de forma que as retas (m+1)x+my+1 = 0 e mx+(m+1)y+1 = 0 sejam paralelas.
Fac¸a seus gra´ficos.
5. Determine m de forma que as retas (m + 1)x − 2y + 1 = 0 e 2x + (5 − m)y − 1 = 0 sejam
perpendiculares. Fac¸a seus gra´ficos.
6. A pressa˜o p experimentada por um mergulhador debaixo
d’a´gua esta relacionada com sua profundidade
d por meio da fo´rmula p = kd+1 (k e´ uma constante). Quando d = 0 metros, a pressa˜o e´ 1 atmosferas.
A 100 metros a pressa˜o e´ 10, 94 atmosferas. Determine a pressa˜o a 50 metros.
7. Um raio de luz sai do segundo quadrante, passando ao longo da reta x+ y = 1, sendo refletido no eixo
x. O aˆngulo de incideˆncia e´ igual ao aˆngulo de reflexa˜o quando medidos em relac¸a˜o a` perpendicular ao
eixo x. Escreva uma equac¸a˜o para a reta ao longo da qual a luz refletida se propaga.
8. Nos seguintes exerc´ıcios, determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia (r = raio e C = centro) .
a) r = 3, C = (3, 1)
b) r = 4, C = (−1, 1)
c) r = 1, C = (
√
3, 1)
d) r =
√
9, C = (0, 1)
e) r = 2, contendo os pontos (3, 2) e (1, 4)
f) C = (−1,−1) contendo o ponto (−1/2, 1)
g) Os pontos (3, 7) e (−3,−1) sa˜o pontos extremos de seu diaˆmetro.
9. Determine o raio e as coordenadas do centro das seguintes circunfereˆncias
a) 4x2 + 4y2 + +8x− 4y + 1 = 0, b) x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0 c) x2 + y2 − 2y = 0.
10. Determine a equac¸a˜o das seguintes circunfereˆncias
a) Tangente ao eixo x, e com centro no ponto (1,−7)
b) Centro na reta x + 4 = 0, raio 5, e tangente ao eixo x. (Existem dois circunfereˆncias neste caso)
11. Determine as intersec¸o˜es da reta x−√3y + 4 = 0 com a circunfereˆncia x2 + y2 = 16. Fac¸a o gra´fico.
12. Determine as retas de coefieciente angular m = 2 que sa˜o tangentes a` circunfereˆncia x2 + y2 = 5. Fac¸a
o gra´fico.
Listas De Calculo 1/Lista 3 - Elipse, Hipérbole e Parábola.pdf
UENF
LCMAT
05/05/2015
LISTA N o 3 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Determine o raio r e as coordenadas (h, k) do centro da circunfereˆncia para cada equac¸a˜o dada. Esboce
o gra´fico.
a) x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0
b) x2 + y2 − 6x = 1
c) 3x2 + 3y2 − 6x + 9y = 27
d) 4x2 + 4y2 + 4x− 4y + 1 = 0
e) x2 + y2 = 2x− 2y
f) x2 + y2 − 2
3
x− 1
9
= 0
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente e a reta normal para cada circunfereˆncia nos pontos indicados.
a) (x− 3)2 + (y + 5)2 = 5 em (2,−3) b) x2 + y2 − 6x + 8y − 11 = 0 em (3, 2) c) x2 + y2 = 4 em (√3, 1)
3. Determine as coordenadas do centro, dos ve´rtices e dos focos de cada elipse e esboce o gra´fico.
a) x2 + 2y2 + 6x + 7 = 0
b) 9x2 + 4y2 − 18x + 8y − 23 = 0
c) 25(x + 1)2 + 16(y − 2)2 = 400
d) 7(x− 3)2 + 11(y − 5)2 = 77
e) 4x2 + y2 − 32x + 16y + 124 = 0
f) 2x2 + 5y2 + 20x− 30y + 75 = 0
4. O segmento limitado por uma elipse de uma reta contendo um foco e perpendicular ao eixo maior e´
chamado de latus rectum da elipse.
a) Mostre que 2b2/a e´ o comprimento do latus rectum da elipse cuja equac¸a˜o e´ b2x2 + a2y2 = a2b2.
b) Determine o comprimento do latus rectum da elipse cuja equac¸a˜o e´ 9x2 + 16y2 = 144.
5. Determine o ve´rtice da para´bola y = Ax2 + Bx + C, onde A, B e C sa˜o constantes e A 6= 0.
6. Determine as coordenadas do ve´rtice e do foco da para´bola e tambe´m a equac¸a˜o da diretriz e o
comprimento do latus rectum.
a) x2 − 6x− 8y + 1 = 0
b) 2x2 + 8x− 3y + 4 = 0
c) y2 − 8y − 6x− 2 = 0
d) (y + 1)2 = −4(x− 1)
e) y2 − 4y − 8x + 20 = 0
f) 6(y − 3) = (x + 1)2
g) y2 = −4x
h) x2 = 8y
7. Exceto por pequenas perturbac¸o˜es, um sate´lite se move ao redor da Terra em uma o´rbita el´ıptica, com
um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu, rp (o ponto da o´rbita mais pro´ximo do
centro da Terra) o sate´lite esta´ a 400 km da superf´ıcie da Terra e que no apogeu, ra (o ponto da o´rbita
mais afastado do centro da Terra) o sate´lite esta´ a 600 km da superf´ıcie da Terra. Sabendo que a Terra
e´ um esfera de 6371 km de raio. Calcule a medida do eixo maior e o eixo menor da o´rbita el´ıptica deste
sate´lite.
8. Determine as coordenadas dos ve´rtices e dos focos de cada hipe´rbole. Encontre tambe´m a equac¸a˜o de
cada ass´ıntota e esboce o gra´fico.
a) 4x2 − 16y2 = 64
b) 49x2 − 16y2 = 196
c) x2 − 4y2 − 4x− 8y − 4 = 0
d) 2(x− 1)2 − (y + 3)2 = 4
e) 9x2−25y2+72x−100y+269 = 0
f) 25y2− 9x2− 50y− 54x− 281 = 0
9. Um ponto P = (x, y) move-se de modo que ele esta´ sempre duas vezes mais afastado do ponto (6, 0)
do que do ponto (0, 3). Determine a equac¸a˜o e esboce o gra´fico da curva descrita por P .
10. O ponto P = (x, y) se move de modo que a soma de suas distaˆncias para os dois pontos (3, 0) e (−3, 0)
e´ 8. Defina e escreva uma equac¸a˜o para a curva percorrida pelo ponto.
Listas De Calculo 1/Lista 4 - Funções inversas, impar, par e dominio.pdf
UENF
LCMAT
19/05/2015
LISTA N o 4 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Ache o domı´nio e a imagem da func¸a˜o dada pela equac¸a˜o e esboce o seu gra´fico.
a) y =
6x+ 7 se x ≤ −2,4− x se x > 2.
b) y = |2x− 3|
c) y =
√
x2 − 4x+ 3
d) y =
−1 se x ≤ 2,1 se x > 2.
e) y = x|x|
f) y =
√
1− x2
g) y =
x2 − 4 se x < 3,2x− 1 se x ≥ 3.
h) y =
(x2 − 4x+ 3)(x2 − 4)
(x2 − 5x+ 6)(x+ 2)
2. Ache o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x) =
√
x+ 3 + 4
√
7− x e g(x) =
√
x
x+ 1
. Logo, calcule:
a)f(7) + g(−2) b) (f(−2))2 c) f(2) · g(4) d) f(0)− g(3), e) f(g(0)), e) f(−1)/g(1)
3. Nas seguintes func¸o˜es, verifique se a func¸a˜o e´ par, ı´mpar ou nem par ou ı´mpar.
a) f(x) = x4 + 3
b) f(x) = x4 + x
c) g(t) =
2t
4 + 3t2
d) h(x) =
f(x) + f(−x)
2
, f quaisquer func¸a˜o.
e) g(x) =
f(x)− f(−x)
2
, f quaisquer func¸a˜o.
f) f(x) = φ(|x|), para quaisquer func¸a˜o φ.
g) f(x) = 5x3 + 7x
h) h(y) =
√
y2 + 1
|y|
4. Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) = 5x+ 3 e seja g uma func¸a˜o definida por g(x) = 3x+ k, onde k
e´ uma constante real. Determine o valor de k de tal modo que f ◦ g = g ◦ f .
5. Seja f definida por f(x) = x− 3 e g definida por g(x) = x2 + 4. Determine
a) (f ◦ g)(4) b) (g ◦ f)(3) c) (f ◦ g)(x) d) (g ◦ f)(x).
6. Seja f(x) =
√
x− 4 e g(x) = 1/2x+ 1. Ache o domı´nio e a imagem de f ◦ g.
7. Ache as inversas das seguintes func¸o˜es.
a) f(x) = 7x− 19, b)f(x) = (2x+ 2)1/2, c) f(x) = 1
x
, x 6= 0, d) f(x) =
√
4− x2
8. Dada a func¸a˜o f(x) =
√
1− x2, mostre que (f ◦ f)(x) = |x|.
9. Determine a func¸a˜o f (inclusive o seu domı´nio) que satisfac¸a a propriedade:
f(x)− 3
f(x) + 3
= x.
10. Seja a func¸a˜o f(x) =

x, se x < 1
x2, se 1 ≤ x ≤ 9
27
√
x, se x > 9.
.
Verifique que f tem uma func¸a˜o inversa e encontre f−1
11. Se f(x) = 2x, mostrar que
f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2
f(x)
Listas De Calculo 1/Lista 5 - Trig. e trig. inversas, esboce, log.pdf
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22/05/2015
LISTA N o 5 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das seguintes func¸o˜es, usando as propriedades de deslocamento, reflexa˜o e
expansa˜o,
a) f(x) = 3
b) f(x) = 2x− 4
c) f(x) = x3 − 8
d) f(x) =
√
x+ 4
e) g(x) = |2x− 1|
f) f(x) = |x|/2
g) f(x) = 1− ex
h) f(x) = e−x + 2
i) f(x) = x2 + 6x+ 10
j) f(x) = 2x2 − 3
k) f(x) =
1
x+ 4
2. Ache o domı´nio e a imagem da func¸a˜o dada e esboce o seu gra´fico.
a) f(x) = x− [[ x ]].
b) f(x) =
√
x− [[ x ]].
c) f(x) = [[ x ]] +
√
x− [[ x ]].
d) f(x) =
[[ 1
x
]]
.
e) f(x) = [[ x2 + 1 ]].
f) f(x) = [[ sinx ]].
3. Determine o intervalo onde f e f−1 existam. Calcule f−1
a) f(x) = 6− x
b) f(x) =
1
x2
, x > 0
c) f(x) = 4− x2
d) f(x) = 2 +
√
1 + x
e) f(x) = x3 − 1
f) f(x) =
√
1− x2
g) f(x) = 2− 3x
h) f(x) =
x+ 1
x− 1
4. Calcule o domı´nio, a imagem e a inversa de f . A seguir, esboce o gra´fico de f .
(i) f(x) = lg10(x+ 3), (ii) f(x) = lg5(8− 2x), (iii) f(x) = ln(x2 − 1), (iv) f(x) = e(x+3)
5. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es trigonome´tricas (identifique o domı´nio e diga o per´ıodo)
a) f(x) = sen 2x
b) f(x) = 2| cosx|
c) f(x) = 1 + cos 3x
d) f(x) = sen(x+
pi
4
)
e) f(x) = cot(x+ pi/4)
f) f(x) = tan(x− 3pi/2)
g) f(x) = cos(x+ pi/2)
h) f(x) = pi + cos(x)
i) f(x) = csc(
x
2
)
j) f(x) =
1
2
secx
k) f(x) = sec(x/2)
6. Prove a lei dos cossenos que estabelece que c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ, onde a, b, c sa˜o os comprimentos
dos lados de um triaˆngulo e θ e´ o aˆngulo formado pelos lados a e b.
7. Verifique as seguintes identidades trigonome´tricas.
(i) senθ(cot θ + tan θ) = secx (ii) 1 + tan2 θ =
1
1− sen2θ (iii) tan θ =
sen2θ
1 + cos 2θ
8. Encontre o valor exato da expressa˜o:
a) f(x) = arcsin 12
b) f(x) = arccos 12
c) f(x) = arctan
√
3
d) f(x) = arccos 1
e) f(x) = arcsin
√
3
2
f) f(x) = arctan 1
9. Escreva a expressa˜o como uma equac¸a˜o alge´brica:
a) f(x) = cos(arcsinx)
b) f(x) = sen(arccosx)
c) f(x) = sec(arctanx)
d) f(x) = tan(arcsec x)
e) f(x) = sen(2 arcsinx)
f) f(x) = csc(arccot x)
Listas De Calculo 1/Lista 6 - Propriedades dos Limites.pdf
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26/05/2015
LISTA N o 6 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Use as propriedades de limites para calcular cada limite, dado que lim
x→3
f(x) = 5 e
lim
x→3
g(x) = 2.
a) lim
x→3
[f(x) + g(x)]
b) lim
x→3
√
f(x)
g(x)
c) lim
x→3
[f(x)− g(x) + 1]
d) lim
x→3
[f(x)− g(x)]3/2
e) lim
x→3
√
f(x).g(x)
f) lim
x→3
f(x) + g(x)
f(x)− g(x)
2. Determine os seguintes limites
a) lim
x→2
x2 − 5x + 6
x− 2
b) lim
x→0
x2 + 2x + 1
x + 5
c) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
d) lim
x→1
x2 + x− 6
x2 − x− 2
e) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
f) lim
x→0
√
4 + x− 2
x
g) lim
h→0
2−√4− h
h
h) lim
x→0
(3 + x)2 − 9
x
i) lim
x→0
√
x + 2−√2
x
j) lim
x→1
(1/
√
x)− 1
1− x
k) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
l) lim
x→0
√
1 + 2x−√1− x
x
3. Determine o limite.
a) lim
x→0
sen 2x
x
b) lim
x→0
senx2
x
c) lim
x→0
tanx
x
d) lim
x→0
senx2
2x2
e) lim
x→0
1− cosx
x2
f) lim
x→0
sen 3x
x cos 4x
g) lim
x→0
x sen(1/x)
h) lim
x→0
x
1 + sen2 x
i) lim
x→0
sen(x + a)− sen a
x
4. Determine o limite da func¸a˜o no ponto indicado
a) f(x) =
x3 − 27 se x 6= 320 se x = 3, em x = 3.
b) f(x) =
[√
1 +
1
|x| −
√
1
|x|
]
em x = 0.
c) f(x) = (x− 2)50 quando x→ 1.
d) f(x) =
x + 2
x3 + 8
quando x→ −2.
e) lim
x→0
1
x
√
x + 1
− 1
x
f) lim
x→0
√
x + 3−√3
x
g) lim
x→−2
2− |x|
2 + x
h) lim
x→2
√
6− x− 2√
3− x− 1
5. Determine os seguintes limites.
a) lim
x→2
x3 − 8
x− 2
b) lim
x→a
xn − an
x− a
c) lim
h→0
√
a + h−√a
h
d) lim
t→0
√
6 + t−√6
t
e) lim
x→1
1− x
2−√x2 + 3
f) lim
t→0
3
√
5 + t− 3√5
t
h) lim
t→9
9− t
3−√t
i) lim
x→7
√
x + 2− 3
x− 7
j) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
Listas De Calculo 1/Lista 7 - Limites Laterais e No Infinito.pdf
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22/05/2015
LISTA N o 7 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Para cada func¸a˜o f determine os limites lim
x→a−
f(x), lim
x→a+
f(x), lim
x→af(x).
a) f(x) =
{
x2 se x ≤ 0,
x sin 1x se x > 0.
}
, a = 0
b) f(x) =

2 se x < 1,
−1 se x = 1,
−3 se x > 1.
}
, a = 1
c) f(x) =
{
x + 3 se x ≤ −2,
3− x se x > −2.
}
, a = −2
d) f(x) =

|x− 1| se x < −1,
0 se x = −1,
|1− x| se x > −1.
}
, a = −1
e) f(x) =

3 + x2 se x < −2,
0 se x = −2,
11− x2 se x > −2.
}
, a = −2
f) f(x) =

2 se x < −2,√
4− x2 se −2 ≤ x ≤ 2,
−2 se x > 2.
}
, a = 2
g) f(x) =

2x + 3 se x < 1,
2 se x = 1,
7− 2x se x > 1.
}
, a = 1
h) f(x) =
{
2x− 3 se x ≥ 3/2,
6− 4x se x < 3/2.
}
, a = 3/2
i) f(x) =
1 + x
2 se x ≤ 0,
sinx
x
se x > 0.
}
, a = 0
j) f(x) =

1− cosx
x
se x < 0,
x2 se x ≥ 0.
}
, a = 0
2. No problema anterior diga quais das func¸o˜es sa˜o cont´ınuas e quais sa˜o descont´ınuas. Diga ale´m disso
que tipo de descontinuidades ela tem.
3. Diga se a func¸a˜o e´ cont´ınua em a.
a) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3
}
; a = 3
b) f(x) =
{
|x− 5| se x 6= 5
2 se x = 5
}
; a = 5
c) f(x) =

3 + x2 se x < −2
0 se x = −2
11− x2 se x > −2
}
; a = −2
d) f(x) =

x− 2
|x− 2| se x 6= 2
1 se x = 2
}
; a = 2
e) f(x) =

1
x− 2 se x 6= 2
0 se x = 2
}
; a = 2
4. Dada a func¸a˜o f(x) =

x3 − 1
x− 1 se x 6= 1,
b se x = 1.
determine o valor de b para que f seja cont´ınua.
5. Determine os seguintes limites se existem e suas respectivas ass´ıntotas.
a) lim
x→2+
x2
x− 2
b) lim
x→4−
2x2 + 3x− 2
x2 − 3x− 4
c) lim
x→−2−
x2 + 1
x− 2
d) lim
x→1−
x2 − 1
|x2 − 1|
e) lim
x→5−
√
25− x2
x− 5
f) lim
x→+∞
7x3 − 15x2
13x
g) lim
x→−∞
1 + 6x
−2 + x
h) lim
x→−∞
x100 − x99
x101 − x100
i) lim
x→+∞
8x
4
√
3x2 + 5
j) lim
x→−∞
6x2
3
√
5x6 − 1
k) lim
x→+∞
√
x2 + 1−√x
l) lim
x→+∞
√
x2 + x− x
m) lim
x→+∞
x + 4
3x2 − 5
n) lim
x→+∞
1
2x5
o) lim
x→+∞
3
√
1− x2
x2 + x
Listas De Calculo 1/Lista 7.1 Extra Limites - Trigonométricos e continuidade.pdf
Exercicios de Limites 
 
 
 
 
 
 
Exercicios de Limites Laterais 
 
 
 
 
 
Exercicios de Limites Infinitos 
 
 
Exercicios de Limites Trigonométricos 
 
Exercicios de Continuidade 
 
Listas De Calculo 1/Lista 8 - Derivada no ponto - Cópia.pdf
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LISTA N o 8 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Calcule f ′(x) diretamente da definic¸a˜o e escreva a equac¸a˜o da tangente ao gra´fico de f no ponto P .
a) f(x) =
1
x
, P (1, 1)
b) f(x) =
√
x− 1 , P (10, 3)
c) f(x) =
1√
x+ 1
, P (3, 12)
d) f(x) = ax2 + b , P (0, b)
e) f(x) = senx , P (pi/2, 1)
f) f(x) = x2 − 1 , P (0,−1)
g) f(x) = |x| , P (−1, 1)
h) f(x) = x1/3 , P (8, 2)
2. Dado que a reta tangente a y = f(x) no ponto (−1, 3) passa pelo ponto (0, 4), ache f ′(−1).
3. A reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = h(x) no ponto (-1,4) passa pelo ponto (3,6). Encontre h(−1)
e h′(−1).
4. Ache os valores de a e b tal que f ′(2) exista.
a) f(x) =

−x2 se x ≤ 2,
ax+ b se x > 2
.
b) f(x) =

1
|x| se |x| > 2,
a+ bx2 se |x| ≤ 2
.
c) f(x) =

senx se x ≤ 2,
ax+ b se x > 2
.
d) f(x) =

x senx se x ≤ 2,
ax+ b senx se x > 2
.
5. Seja f(x) = 13x
3 − 2x2 + 3x + 1. Ache os pontos do gra´fico
de f para os quais a reta tangente seja
horizontal.
6. Seja f(x) = 23x
3 + 12x
2 − x− 1. Ache os pontos do gra´fico de f para os quais o coeficiente angular e´ :
a)0 ; b) -1 ; c) 5. Ache a reta tangente passsando por estes pontos.
7. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) x3/2
b) 2x2
√
x
c) x− 1x
d) x1/2 − 8x4 + x−1
e) x5/2 + x−5/2
f) (x3/2 + x2)(x5 − 1)
g)
3x1/2 + x3/4
(x+ 1)(x− 3)
h)
(x− 1)
(x− 2)(x− 3)
i)
1 + 6x+ x3/4
7x− 2
j)
1 + cosx
senx
k)
x
x2 + 1
l)
x+ 1
x
Listas De Calculo 1/Lista 8 - Derivada no ponto.pdf
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LISTA N o 8 DE CALCULO I
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Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Calcule f ′(x) diretamente da definic¸a˜o e escreva a equac¸a˜o da tangente ao gra´fico de f no ponto P .
a) f(x) =
1
x
, P (1, 1)
b) f(x) =
√
x− 1 , P (10, 3)
c) f(x) =
1√
x+ 1
, P (3, 12)
d) f(x) = ax2 + b , P (0, b)
e) f(x) = senx , P (pi/2, 1)
f) f(x) = x2 − 1 , P (0,−1)
g) f(x) = |x| , P (−1, 1)
h) f(x) = x1/3 , P (8, 2)
2. Dado que a reta tangente a y = f(x) no ponto (−1, 3) passa pelo ponto (0, 4), ache f ′(−1).
3. A reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = h(x) no ponto (-1,4) passa pelo ponto (3,6). Encontre h(−1)
e h′(−1).
4. Ache os valores de a e b tal que f ′(2) exista.
a) f(x) =

−x2 se x ≤ 2,
ax+ b se x > 2
.
b) f(x) =

1
|x| se |x| > 2,
a+ bx2 se |x| ≤ 2
.
c) f(x) =

senx se x ≤ 2,
ax+ b se x > 2
.
d) f(x) =

x senx se x ≤ 2,
ax+ b senx se x > 2
.
5. Seja f(x) = 13x
3 − 2x2 + 3x + 1. Ache os pontos do gra´fico de f para os quais a reta tangente seja
horizontal.
6. Seja f(x) = 23x
3 + 12x
2 − x− 1. Ache os pontos do gra´fico de f para os quais o coeficiente angular e´ :
a)0 ; b) -1 ; c) 5. Ache a reta tangente passsando por estes pontos.
7. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) x3/2
b) 2x2
√
x
c) x− 1x
d) x1/2 − 8x4 + x−1
e) x5/2 + x−5/2
f) (x3/2 + x2)(x5 − 1)
g)
3x1/2 + x3/4
(x+ 1)(x− 3)
h)
(x− 1)
(x− 2)(x− 3)
i)
1 + 6x+ x3/4
7x− 2
j)
1 + cosx
senx
k)
x
x2 + 1
l)
x+ 1
x
Listas De Calculo 1/Lista 9 - Regra da cadeia, implicita, sucessiva - Cópia.pdf
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LISTA N o 9 DE CALCULO I
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1. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) senx
b) cosx
c) tanx
d) cotx
e) secx
f) cscx
2. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) sen 4x− 3 cos 4x
b) x2 sen 2x
c)
√
1− cosx
1 + cosx
d)
(
senx
1 + cosx
)2 e) sen
√
1− x2
f) cot(sen 2x)
3. Os gra´ficos de y = x2 e y = 1x se intersectam no ponto P (1, 1). Ache a equac¸a˜o da reta tangente de
cada uma de estas curvas neste ponto. Estas retas se intersectam formando um angulo reto? O mesmo
para as curvas y =
√
x e y = 1
x2
que se intersectam no ponto P (1, 1).
4. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) sen[sen(senx)]
b) senn x. cosnx
c)
(
1 + x3
1− x3
)1/3
d)
1
(
√
1 + x2)(x+
√
1 + x2)
e) (x3 + 1) cos
[
x2
4
+ x
]
f) x
(
senx2
)−2
(cosx2)
g) cos(3x3/2) sec[(x− pi)2]
h)
8 tan
√
x
x2
i) sen2
[
(x1/2 − 4)2 + cos(2x2)]
5. Ache y′ em termos de x e y nas seguintes equac¸o˜es.
a)
√
x+
√
y = 100
b) x = sen(xy)
c) 4x3 − 2y3 = x
d)
1
x
+
1
y
= 1
e) x2y2 = x2 + y2
f) (x− 3)2 + (y + 1)2 = 37
6. Ache a reta tangente das seguintes curvas no ponto indicado
a) x2y2 = 9 em P (−1, 3)
b) (y − x)2 = 2x+ 4 em P (6, 2)
c) 2x2 − y3 + 4xy − 2x = 0 em P (1,−2)
d) x2 + xy − y2 = 1 em P (2, 3)
e) x2 − y2 + 3xy + 12 = 0 em P (−4, 2)
f) x2 + y2 = 25 em P (3,−4)
7. Determine as seguintes derivadas:
a) f ′′(x) para f(x) = 7x3 − 6x5
b) d
2y
dx2
para y = x2 − 1
x2
c) d
2
dx2
(
1−x
1+x
)
d) ddx
[
x d
2
dx2
(
1
1+x
)]
e) d
ny
dxn para y = (1 + x)
n
f) d
10
dx10
(
x9 − 20x7 + x+1)
Listas De Calculo 1/Lista 9 - Regra da cadeia, implicita, sucessiva.pdf
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LISTA N o 9 DE CALCULO I
Bacharelado em Engenharias - CCT/UENF
Prof: Liliana A. L. Mescua e Rigoberto G. S. Castro
1. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) senx
b) cosx
c) tanx
d) cotx
e) secx
f) cscx
2. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) sen 4x− 3 cos 4x
b) x2 sen 2x
c)
√
1− cosx
1 + cosx
d)
(
senx
1 + cosx
)2 e) sen
√
1− x2
f) cot(sen 2x)
3. Os gra´ficos de y = x2 e y = 1x se intersectam no ponto P (1, 1). Ache a equac¸a˜o da reta tangente de
cada uma de estas curvas neste ponto. Estas retas se intersectam formando um angulo reto? O mesmo
para as curvas y =
√
x e y = 1
x2
que se intersectam no ponto P (1, 1).
4. Ache as derivadas das seguintes func¸o˜es.
a) sen[sen(senx)]
b) senn x. cosnx
c)
(
1 + x3
1− x3
)1/3
d)
1
(
√
1 + x2)(x+
√
1 + x2)
e) (x3 + 1) cos
[
x2
4
+ x
]
f) x
(
senx2
)−2
(cosx2)
g) cos(3x3/2) sec[(x− pi)2]
h)
8 tan
√
x
x2
i) sen2
[
(x1/2 − 4)2 + cos(2x2)]
5. Ache y′ em termos de x e y nas seguintes equac¸o˜es.
a)
√
x+
√
y = 100
b) x = sen(xy)
c) 4x3 − 2y3 = x
d)
1
x
+
1
y
= 1
e) x2y2 = x2 + y2
f) (x− 3)2 + (y + 1)2 = 37
6. Ache a reta tangente das seguintes curvas no ponto indicado
a) x2y2 = 9 em P (−1, 3)
b) (y − x)2 = 2x+ 4 em P (6, 2)
c) 2x2 − y3 + 4xy − 2x = 0 em P (1,−2)
d) x2 + xy − y2 = 1 em P (2, 3)
e) x2 − y2 + 3xy + 12 = 0 em P (−4, 2)
f) x2 + y2 = 25 em P (3,−4)
7. Determine as seguintes derivadas:
a) f ′′(x) para f(x) = 7x3 − 6x5
b) d
2y
dx2
para y = x2 − 1
x2
c) d
2
dx2
(
1−x
1+x
)
d) ddx
[
x d
2
dx2
(
1
1+x
)]
e) d
ny
dxn para y = (1 + x)
n
f) d
10
dx10
(
x9 − 20x7 + x+1)
Listas De Calculo 1/Thumbs.db