2.1

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Integração em várias variáveis
Apresentação
As aplicações das integrais simples são estendidas para as integrais de funções em várias variáveis, 
as integrais múltiplas. Estas facilitam o cálculo de várias grandezas, como volumes, áreas de 
superfícies, centros de massa, probabilidades e valores médios.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá estudar integrais múltiplas, seus significados e o princípio 
de seus cálculos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir integrais duplas e estender esse conceito para integrais múltiplas.•
Descrever áreas de regiões planas e volumes de sólidos por integrais múltiplas.•
Modelar matematicamente situações-problema que possam ser expressas por integrais 
múltiplas.
•
Desafio
A função de Cobb-Douglas é uma função vastamente utilizada em economia para representar a 
relação entre dois ou mais fatores de produção e o produto. Com ela, é possível, por exemplo, 
projetar o crescimento econômico esperado de um país. Trata-se de uma abordagem neoclássica 
para estimar a função de produção.
Neste Desafio, você vai encontrar uma situação aplicada que necessita do uso da função de Cobb-
Douglas para a sua resolução.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/37acba84-6222-4876-8875-009c6fecf15b/80f97fa3-b815-4f76-8439-23504fdfa9eb.png
Com base nessas informações e no conhecimento a respeito do cálculo integral, responda as 
perguntas a seguir:
1) Como a produção pode ser estimada e qual é a integral que representa adequadamente esse 
problema?
2) Calcule a produção média desse produto.
Infográfico
Existem muitas semelhanças entre as integrais duplas e as integrais simples. Podemos mencionar 
algumas delas: i) as integrais duplas são definidas como limites de somas; e ii) as integrais duplas são 
calculadas usando o teorema fundamental do cálculo, mas é necessário aplicá-lo duas vezes. No 
entanto, uma diferença importante é o fato de que o domínio de integração é potencialmente mais 
complicado no caso de várias variáveis.
Neste Infográfico, você vai conhecer o caso mais simples, em que o domínio é um retângulo.
Conteúdo do livro
Todo corpo pode ser parametrizado por suas coordenadas do sistema em que está imerso. Uma 
lâmina plana, por exemplo, pode ser parametrizada por suas coordenadas (x,y) do sistema 
cartesiano ortogonal. Um ponto (x,y) muito importante dessa lâmina é o seu centro de massa. Seu 
significado físico é que essa lâmina se comporta como se toda a sua massa estivesse concentrada 
em seu centro de massa. Dessa forma, é possível mantê-la em equilíbrio horizontal enquanto esta 
se encontra apoiada somente pelo seu centro de massa. O conceito de centro de massa estende-se 
para corpos parametrizados no espaço tridimensional, e é possível calculá-lo com o auxílio das 
integrais múltiplas.
O trecho selecionado do livro Cálculo possibilita o estudo da integração de funções em muitas 
variáveis, apresenta um método para seu cálculo e também algumas aplicações. Inicie sua leitura a 
no tópico Integração em várias variáveis.
Boa leitura.
CÁLCULO
______________________________________________________________
R721c Rogawski, Jon.
Cálculo [recurso eletrônico] / Jon Rogawski ; tradução Claus 
Ivo Doering. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-7780-411-5
1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
CDU 517
_____________________________________________________________
 Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08
INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA
A integral de uma função de várias variáveis é denomina-
da integral múltipla. Neste capítulo, defi nimos integrais 
múltiplas e desenvolvemos técnicas para calculá-las. Também 
discutimos algumas de suas aplicações. Assim como a integral 
defi nida em uma variável, as integrais múltiplas são usadas 
para calcular muitas quantidades importantes e variadas, tais 
como volumes, áreas de superfície, centros de massa, proba-
bilidades e valores médios.
16.1 Integração em várias variáveis
Nas três primeiras seções deste capítulo, estudamos integração 
de funções f (x, y) de duas variáveis. Uma integral de f (x, y) é 
denominada integral dupla.
Há muitas semelhanças entre integrais duplas e as integrais 
simples com que nos acostumamos.
Integrais duplas e simples são ambas defi nidas como li- •
mites de somas de Riemann.
Uma integral dupla representa volume com sinal, exatamente como uma integral •
simples representa área com sinal.
Calculamos integrais duplas usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), mas •
precisamos aplicá-lo duas vezes (ver a discussão de integrais iteradas adiante).
Integrais duplas podem ser aproximadas usando métodos numéricos análogos aos das •
regras de aproximação de integrais simples pela esquerda, direita e ponto médio.
Uma característica importante no caso de várias variáveis é que o domínio de inte-
gração desempenha um papel mais destacado. O domínio de integração de uma integral 
simples é um intervalo [a, b] mas, em duas variáveis, o domínio é uma região 
, do plano com uma curva de fronteira mais geral (Figura 1).
Nesta seção, restringimos nossa atenção ao caso mais simples em que é um retân-
gulo, deixando os domínios mais gerais para discutir na Seção 16.2. A notação
denota o retângulo (Figura 2) consistindo em todos os pontos (x, y) tais que
Conforme já mencionamos, a integral dupla é um limite de somas de Riemann. Para 
formar uma soma de Riemann, escolhemos inteiros positivos N e M e partições dos inter-
valos [a, b] e [c, d]:
Sejam e as larguras dos subintervalos defi nidos por 
essas partições. Então subdividimos em NM sub-retângulos , cuja área denotamos 
por [Figura 3(B)]:
No contexto de integração múltipla, 
costumamos nos referir à integral 
defi nida de uma função f (x) de uma 
variável como uma “integral simples”.
FIGURA 1 O volume de uma região 
entre o gráfi co de z = f (x, y) e seu 
domínio .
A mina de urânio Ranger, no Parque 
Nacional Kakadu, na Austrália. O volume de 
minério removido é um tipo de quantidade 
que é expressa por uma integral múltipla.
16
856 CÁLCULO
Dizemos que a partição é regular se ambos intervalos [a, b] e [c, d] estiverem subdivi-
didos em subintervalos de mesma largura. Em outras palavras, a partição é regular se 
 e , onde
O retângulo R = [a, b] × [c, d]
x
y
c
d
a b
R
Criamos uma grade N × M
de sub-retângulos
M linhas
N colunas
Δx
Δy
y
c
d
a xi − 1
yj − 1
xi
yj
b
Rij
Escolhemos um ponto amostral
Pij em cada sub-retângulo
Pij = (xij, yij)
y
c
d
a b
FIGURA 3
Em seguida, escolhemos um ponto amostral em cada sub-retângulo 
 [Figura 3(C)] e construímos uma caixa de altura acima de , como na Figura 
4(B). Essa caixa tem um volume com sinal
(A) Em uma variável, uma soma de Riemann
 aproxima a área debaixo da curva por
 uma soma de áreas de retângulos.
(C) A soma de Riemann é a
 soma dos volumes das caixas.
(B) O volume da caixa é ,
 onde
FIGURA 4
Aqui, por defi nição, o volume com sinal de uma região é positivo se fi car acima do plano 
xy e negativo se fi car abaixo do plano xy. Se , a caixa se estende abaixo do pla-
FIGURA 2
CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 857
no xy e o volume com sinal é negativo. A soma de Riemann é a soma dos volumes 
com sinal das caixas [Figura 4(C)]:
Esse somatório duplo deve ser tomado sobre todos i e j tais que e , 
num total de NM parcelas.
As somas de Riemann fornecem aproximações do volume (com sinal) da região 
entre o gráfi co de z = f (x, y) e o plano xy. Elas são uma generalização natural das apro-
ximações retangulares da área dadas pelas somas de Riemann no caso de uma variável 
[Figura 4(A)].
Sejam o conjunto de extremidades da partição e o máximo dos 
comprimentos . Quando tende a zero, as caixas fi cam mais fi nase aproxi-
mam melhor os volumes com sinal (Figura 5). Portanto, é de se esperar que, quando 
tender a zero, convirja ao volume com sinal debaixo do gráfi co. Observe que ambos 
N e M tendem a ∞ quando . A defi nição precisa do limite é como segue.
As somas de Riemann tendem a um limite L quando se, para 
cada , existir um tal que para qualquer partição 
satisfazendo e quaisquer escolhas de pontos amostrais.
CA
Nesse caso, escrevemos
Esse limite L, se existir, é denominado a integral dupla de f (x, y) ao longo de (Fi-
gura 6), e é denotado por .
DEFINIÇÃO Integral dupla num retângulo A integral dupla de f (x, y) ao longo do retângu-
lo é defi nida como o limite
Se existir esse limite, dizemos que f (x, y) é integrável em .
Lembre que uma soma de Riemann 
depende da escolha da partição e dos 
pontos amostrais. Seria mais correto 
escrever
mas escrevemos para simplifi car 
a notação.
FIGURA 5 As aproximações pelo 
ponto médio do volume debaixo de 
.
FIGURA 6 A integral dupla 
 é o volume com sinal 
entre a superfície z = f (x, y) e o plano 
xy ao longo do retângulo .
R
858 CÁLCULO
■ EXEMPLO 1 Obtendo uma estimativa de uma integral dupla Calcule para a integral 
, onde (Figura 7). Use a partição regular e as escolhas 
de pontos amostrais seguintes:
 (a) vértice inferior esquerdo; (b) ponto médio do retângulo.
Solução As Figuras 8 e 9 mostram uma grade 3 × 2 de sub-retângulos do retângulo . 
Como usamos a partição regular, cada sub-retângulo tem lados de comprimento
e área . A soma de Riemann correspondente é
 (a) Se usarmos os vértices inferiores à esquerda, mostrados na Figura 8, a soma de 
Riemann é
FIGURA 8 Os pontos amostrais são os 
vértices inferiores à esquerda de cada 
quadrado.
x
1 1,5 2 2,5
1
1,5
2
y
FIGURA 9 Os pontos amostrais são os 
centros de cada quadrado.
x
y
5
4
7
4
9
4
5
4
7
4
 (b) Usando os pontos médios dos retângulos, mostrados na Figura 9, obtemos
■ EXEMPLO 2 Calcule , onde .
Solução O gráfi co de z = 8 − 2y é o plano mostrado na Figura 10. A integral dupla repre-
senta o volume V de um sólido de comprimento cuja seção transversal vertical é um 
triângulo de altura 8 e base 4, portanto área . O volume desse sólido é 
. Portanto,
 
■
FIGURA 7 O gráfi co de z = xy.
R2,5
FIGURA 10 O gráfi co de z = 8 − 2y.
CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 859
O teorema seguinte afi rma que funções contínuas são integráveis. A demonstração é 
análoga ao caso de uma variável e a omitimos.
TEOREMA 1 Funções contínuas são integráveis Se f (x, y) é contínua num retângulo , 
então f (x, y) é integrável em .
Como no caso de uma variável, muitas vezes utilizamos as propriedades de lineari-
dade da integral dupla. Essas propriedades decorrem da defi nição da integral dupla como 
um limite de somas de Riemann.
TEOREMA 2 Linearidade da integral dupla Suponha que f (x, y) e g(x, y) sejam integrá-
veis num retângulo . Então:
 (i) ;
 (ii) para qualquer constante C, .
Se f (x, y) = C for uma função constante, então
Nesse caso, a integral dupla é o volume com sinal da caixa de base e altura |C| 
(Figura 11).
■ EXEMPLO 3 Usando a simetria Use simetria para justifi car , onde 
.
Solução A integral dupla é o volume com sinal da região entre o gráfi co de 
e o plano xy. Nossa função satisfaz
portanto a região abaixo do plano xy (em que ), cancela a região acima do 
plano xy (onde ) (Figura 12). ■
Integrais iteradas
Nossa principal técnica para calcular integrais duplas tem por base o TFC, como no caso 
de uma variável. Para usar o TFC, precisamos primeiro expressar a integral dupla como 
uma integral iterada. Uma integral iterada é uma expressão do tipo
Ela é calculada em duas etapas. Primeiro, mantemos x constante e calculamos a integral 
de dentro em relação a y:
Em seguida, integramos a função S(x) resultante em relação a x.
FIGURA 11 A integral dupla de
f (x, y) = C no retângulo é 
.
FIGURA 12
Observe que a integral de dentro 
especifi ca os limites de integração 
da variável y, enquanto que a integral 
de fora especifi ca os limites da 
variável x.
860 CÁLCULO
■ EXEMPLO 4 Calcule .
Solução Primeiro calculamos a integral de dentro, tratando x como uma constante:
Então integramos S(x) em relação a x:
 
■
Se uma integral iterada for escrita com dx precedendo dy, então integramos primeiro 
em relação a x:
Aqui, para deixar claro, incluímos as variáveis nos limites de integração da integral itera-
da do lado direito.
■ EXEMPLO 5 Calcule .
Solução Calculamos a integral de dentro, tratando y como uma constante:
 
■
■ EXEMPLO 6 Invertendo a ordem de integração Verifi que que
Solução Ambas integrais têm o valor 20:
Muitas vezes omitimos os parênteses 
na notação de uma integral iterada:
A ordem das variáveis em dydx nos diz 
para integrar primeiro em relação a y 
entre os limites y = c e y = d.
CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 861
■
O exemplo precedente ilustra um fato geral: o valor de uma integral iterada não de-
pende da ordem em que efetuamos a integração. Isso é parte do Teorema de Fubini. Mais 
importante do que isso, o Teorema de Fubini garante que uma integral dupla ao longo de 
um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Dica do professor
A integração em várias variáveis está presente em diversas situações cotidianas. É importante que, 
além de dominar a definição desse tipo de integração, você também consiga visualizar a sua 
aplicabilidade. Para tanto, é essencial retomar conceitos anteriores, como o estudo das 
coordenadas polares e da integração simples.
Nesta Dica do Professor, você vai verificar uma aplicação detalhada da integração em várias 
variáveis: o cálculo de uma massa de lâminas.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/0490bc1af694cce9faa938b580b414e0
Exercícios
1) As integrais iteradas são um método para calcular as integrais duplas de f (x , y), ou seja, é possível 
transformar o cálculo de uma integral dupla em duas integrais de uma variável.
 
A) 
B) 
 
C) 
 
D) 
E) 
2) A noção de integral definida de função de uma variável pode ser estendida para funções de várias 
variáveis. Diversas situações requerem integrar em mais de uma variável, como, por exemplo, no 
cálculo de áreas, volumes, campos de velocidades e deslocamentos.
A) 27.
B) 18.
C) 9.
D) –9.
E) –27.
A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste, na maioria dos casos, em achar um 
método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma 
diretamente solúvel. Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a 
decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples.
3) 
A) 56.
B) –236.
C) –236/5.
D) 236.
E) 236/5.
É comum fazer uso de fórmulas de redução para possibilitar a decomposição de uma integral 
múltipla como um produto de integrais simples. Estas têm de ser resolvidas da direita para a 
esquerda, considerando as outras variáveis constantes.
4) 
A) 112.
B) –16.
C) 16.
D) 112/3.
E) –112/3.
Quando trabalhamos com integrais duplas, é importante atentar à sua estrutura. Se na mais interna 
delas tivermos o intervalo de x, é necessário integrar primeiro em relação a x e depois em relação a 
y. Observe:
5) 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
Na prática
Muitas vezes estudamos os procedimentos de cálculos necessários para trabalhar com integrais 
múltiplas (duplas e triplas) sem evidenciar um aspecto muito importante, que são as aplicações 
possíveis para esses dispositivos de cálculo e análise. Entre as aplicações, estão o cálculo da massa 
de um corpo e sua respectiva densidade, o centro de massa, o momento de inércia e cargas 
elétricas. 
Neste Na Prática, vejaa aplicabilidade das integrais múltiplas em situações-problema envolvendo 
minérios como o ferro, o ouro e a prata. A mineração sempre foi uma atividade exercida pela 
humanidade. Minérios como o ferro, o ouro e a prata sempre foram alvo de interesses comerciais, 
trazendo muito lucro aos seus proprietários.
Nesta situação, as integrais múltiplas auxiliam no cálculo de várias grandezas, tais como 
probabilidade de certa região possuir ouro, o volume de minério encontrado e o valor médio da 
produção.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Cálculo
No Capítulo 14 desta obra, você vai estudar o conceito de integral definida para funções de duas e 
três variáveis. Conhecidos os métodos básicos para integrar funções de duas e três variáveis, você 
vai ver como essas integrais podem ser usadas para determinar massas e centros de gravidade de 
chapas planas e sólidos tridimensionais, além de diversas outras aplicações.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Área como integral dupla
Neste vídeo, o professor apresenta a área como integral dupla, explicando como encontrar a área 
de regiões planas usando integrais duplas. Você vai acompanhar a explicação por meio da sua 
representação gráfica, de modo que possa visualizar a região de interesse e ver como a integral é 
construída. Diversos conceitos são retomados, e são dadas dicas importantes para facilitar a 
compreensão do conteúdo em discussão.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Integrais duplas
Neste vídeo, você vai ver como resolver uma integral dupla por meio de um exemplo detalhado. 
São dadas dicas importantes, de modo que você consiga resolver o problema com os 
conhecimentos mais básicos de integração. Por meio de representações gráficas, conceitos 
fundamentais para o seu desenvolvimento são retomados, e o passo a passo de sua resolução vai 
sendo explicitado a cada etapa. A proposta é que você consiga visualizar o que deve ser feito e a 
motivação da forma de resolução.
https://www.youtube.com/embed/dZ590Nwmt_k
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/JuwflIufbOY