Relatório Circuitos RC RL RLC

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Circuitos RC, RL e RLC
 Acadêmicos: Felipe Algazal Morelli 	78140 	
 Rafael Deisner Luz 81288
Maringá
Setembro, 2013
RESUMO
	Nesse experimento dedicamos nossos estudos á analisar circuito RC, RL, RLC. Verificamos a relação de Xc e R nos circuito RC, XL e R no circuito RL e Xc, XL, Z e R no circuito RLC, todos estes em relação a frequência de corte, ou seja, quando é igual, abaixo e acima da frequência calculada no início de cada experimento. Além disso, pudemos analisar os fasores de Vr, Vc, Vl, Vtotal e i(A) para analisarmos qual é adiantado e atrasado em relação a corrente, para conhecermos melhor essas medidas e como eles agem na natureza. Os valores e gráfico encontrados foram relativamente satisfatórios por se assemelharem com o esperado pela teoria. Nos gráficos foram relacionados Xc, XL e R na unidade de resistência (Ω) e Vr, Vl e Vc na unidade de volts (V). Por fim analisamos alguns fatores de qualidade de rádios por sabermos que muitos desses circuitos são usados, na prática, nesse meio. 
INTRODUÇÃO TEORICA:
Circuito RC:
Associando em série um capacitor e um resistor, alimentados por uma fonte AC podemos verificar como a tensão e a corrente estão defasadas, encontrar a impedância do circuito (a impedância é equivalente da resistência, mas depende também da frequência do sinal aplicado a circuito), a reatância e a capacitância e etc. Uma maneira simples para solucionar esses problemas é por diagrama de fasores.
Considere o seguinte circuito:
Sabendo que a corrente é a mesma em todos os componentes de um circuito em série
I = I max cos(wt)
A tensão da fonte num circuito em serie, é a soma das tensões em cada um dos elementos, logo:
Vfonte = Vresistor + Vcapacitor
Para obter essa soma vamos utilizar fasores, sabendo que:
A tensão do resistor é dada por
VRmax = R Imax
E a tensão do capacitor dada por:
VCmax = Xc Imax
Tal que a tensão no capacitor está atrasada 90⁰ em relação a corrente.
Podemos fazer a soma dos fasores tal que :
Vmax = VCmax + VRmax
Desta forma, aplicando Pitágoras:
Vmax2 = VCmax2 + VRmax2
Vmax2 = (Xc Imax)2 + (R Imax)2
Vmax= 
Onde , , tal que Z é a Impedância do circuito. Logo :
Vmax = Z.Imax
Assim ao calcular ϕ através de sua tangente:
Tgϕ = , tal que Tgϕ =
Podemos com os valores de Vmax e ϕ escrever a expressão algébrica para a tensão V
V = Vmax . Cos (wt – ϕ)
Lembre-se que: O sinal negativo em ϕ, indica o atraso em relação a corrente
Podemos definir também o fator potencia (F.P) como cosseno de ϕ, logo:
FP = = 
Circuito RL em série:
Este circuito é representado por uma bobina real de resistência interna r e indutância L:
Novamente temos a mesma corrente I = I max cos(wt) em todo o cicuito. Para calcularmos V = VR + VBob vamos utilizar:
VRmax = R.Imax , em fase com Imax
Vr max = r.Imax , em fase com Imax
VLmax = XL.Imax , adiantado em 90⁰ em relação a Imax.
Veja o diagrama abaixo :
Algebricamente:
Vmax2 = VLmax2 + (VRmax + Vr max)2
Desenvolvendo, chega-se que:
Vmax= 
Tal que: Z = onde Z é a impedância do circuito.
Assim:
Vmax = Z.Imax
Estando V adiantado de ϕ(graus) em relação a corrente, teremos ϕ positivo:
V = Vmax . Cos (wt + ϕ)
E como anteriormente, ϕ é obtido pela tangente, logo:
Tgϕ = , tal que Tgϕ =
Sendo assim o fasor potencia F.P = cos ϕ será:
FP = = 
Circuito RLC em serie:
Como é a mesma corrente em cada dipolo, teremos:
V = VR + Vr + VL + VC
Lembrando que:
VRmax = R.Imax , em fase com Imax
Vr max = r.Imax , em fase com Imax
VLmax = XL.Imax , adiantado em 90⁰ em relação a Imax.
VCmax = XC.Imax , atrasado em 90⁰ em relação a Imax
	
Veja no diagrama abaixo:
Consideraremos 3 casos:
1º caso: VLMax > VCMax XL > XC , desta forma teremos um circuito INDUTIVO.
Vmax2 = (VRmax + Vrmax)2 + (VLmax - VCmax)2
Vmax= 
Onde .
O termo XL – XC é chamado Reatância do circuito.
Sendo XL > XC, a tensão V será dada por:
V = Vmax . Cos (wt + ϕ)
Analogamente:
Tgϕ = , tal que Tgϕ =
e, 
FP = = 
2º Caso : VCMax > VLMax XC > XL , desta forma teremos um circuito CAPACITIVO
Vmax2 = (VRmax + Vrmax)2 + (VLmax - VCmax)2
Vmax= 
Onde .
O termo XC – XL é a nova Reatância do circuito.
Sendo XC > XL, a tensão V será dada por:
V = Vmax . Cos (wt - ϕ)
Analogamente:
Tgϕ =
e, 
FP = = 
3º caso: VLMax = VCMax XL = XC , desta forma teremos um circuito em RESSONÂNCIA.
Vmax2 = (VRmax + Vrmax)2 
Isso acontece pois VLMax e VCMax se cancelam, logo
Vmax= 
Onde .
Deste modo , na freqüência de ressonância , tensão e corrente estão em fase
Sendo XL = XC, o angulo ϕ entre eles desaparece , ea tensão V será dada por :
V = Vmax . Cos (wt)
Se XL = XC , podemos dizer que :
2πfL = 
tal que:
fress =
Outro fator que devemos levar em consideração na freqüência de ressonância é o fato de termos a menor impedância e a maior corrente no circuito.
E como nesses casos não há ângulo de defasagem, F.P =1
Materiais Utilizados para RC, RL e RLC.
- Gerador de ondas eletromagnéticas com frequencímetro;
- Resistor superior a 2000Ω e outro de aproximadamente 100 Ω;
- Capacitor da ordem de 100 nF;
- Indutor;
- Ociloscópio;	
- Placa de bornes e fios;
- Placa para montagem do circuito;
- Ponte LCR;
- Cabos e jacarés.
Procedimento RC
Figura 1: Circuito RC
- Monte o circuito da Fig.(1). Ajuste o gerador de ondas senoidais para 3 V, mantendo-a constante a cada medida. Durante o experimento a resistência do gerador irá variar a tensão imposta.
- Meça a frequência de corte e dai varie a cima e abaixo a frequência da fonte de 100 Hz a 10 kHz, incialmente a intervalos de aproximadamente 100 Hz, e depois a intervalos de 1 kHz. Anote na Tab.(1), a frequência, V, Vr e Vc. 
- Complete a Tab. (1) com o Xc e 1/f.
Procedimento RL.
- Monte o circuito da Fig.(2). Ajusto a tensão na fonte para 10 V, mantendo-a constante a cada medida.
Figura 2: Circuito RL
- Obtenha a frequência de corte e varie a cima e abaixo a frequência da fonte de 200 Hz a 5 kHz, inicialmente a intervalos de aproximadamente 200 Hz, e depois a intervalos de 1 kHz. Anote na Tabela 2 a frequência (f), V, Vr, VL.
- Complete a Tabela 2 com a reatância indutiva (XL).
Procedimento RLC.
- Com a ponte LCR, meça os valores de R, L, C e anote.
- Com o auxilio da equação f0=1/2π(LC)1/2, calculo o valor da frequência natural de ressonância.
- Ajuste o gerador para uma tensão de saída de 6 V.
- Monte o circuito RLC, em série, conforme esquematizado na figura 3 e conecte o osciloscópio aos terminais do resistor.
- Varie a frequência do gerador, até obter tensão máxima no resistor. Nessa situação, o gerador e o circuito estão em ressonância. Verifique se VL=VC e se a frequência lida no osciloscópio é aproximadamente igual a calculada no segundo item.
- Na situação de ressonância meça e anote na tabela 3 os valores de f0, Vr, VL e Vc.
- Pesquise agora 10 valores abaixo e a cima da frequência de ressonância: os 5 primeiros próximos e o outros mais afastados. Para cada frequência meça e anote e anote na Tabela 3 os valores de f, Vr, VL e Vc.
 
Figura 3 : Circuito RLC
- Terminada a tomada de dados, desligue o sistema.
Tabela 1 – Valores do experimento do circuito RC.
	fgerador (kHz)
	T (10-6s)
	f (kHz)
	Vm(V)
	Vr (V)
	Vc (V)
	Xc(Ω)
	1/F(s)
	356,6
	3
	333,3
	10
	4,6
	2,2
	47,82
	3,00x10-3
	301,2
	3,4
	294,15
	10
	4,3
	2,4
	55,81
	3,40 x10-3
	280,2
	3,5
	266,67
	10
	4,2
	2,7
	64,29
	3,75 x10-3
	262,3
	4
	250
	10
	4,2
	2,7
	64,28
	4 x10-3
	243,06
	4,1
	243,9
	10
	4,1
	2,8
	68,29
	4,1 x10-3
	221,1
	4,5
	222,21
	10
	3,9
	2,9
	74,36
	4,5 x10-3
	201,4
	5
	200
	10
	3,7
	3
	81,08
	5 x10-3
	178,7
	6
	166,67
	10
	3,6
	3,3
	91,67
	6 x10-3
	157,985
	6,5
	153,85
	10
	3,6
	3,5
	91,67
	6,50 x10-3
	136,5
	7,5
	133,310
	3,2
	3,8
	118,75
	7,5 x10-3
	110,44
	9,5
	105,26
	10
	2,9
	4
	137,93
	9,5 x10-3
	93,82
	10,5
	95,24
	10
	2,6
	4,2
	161,54
	10,5 x10-3
	73,53
	14
	71,43
	10
	2,2
	4,5
	204,54
	14 x10-3
	51,9
	20,25
	49,38
	10
	1,6
	4,7
	293,75
	20,25 x103
	32,9
	32
	31,25
	10
	1
	4,8
	480
	32 x10-3
R=99,6Ω; C=9,895 nF
Questões:
1)
2)	Na frequência de corte o Vr é aproximadamente igual a Vc onde é dado por 3,6. Além disso, Xc é também igual a aproximadamente o valor de R. Ambas as características definem a frequência de corte, onde Vm é máximo e, portanto, para um resistor constante, a corrente é máxima.
3)	O valor da impedância é dado por: Z = (R2 + Xc2)1/2; como são iguais, a impedância pode também ser: (2)1/2*R. Portanto, na frequência de corte Z = 135,36Ω.
4) 	Na frequência de corte Vr é 3,6V. Para f << fc a tensão no resistor (Vr) começa a diminuir até 1V quando fgerador = 32,9kHz. No entanto Vc passa a aumentar e assume valor de 4,8V quando Vr é 1V. 
5)	No entanto, para f >> fc a tensão no resistor passa a aumentar até o valor de 4,6V quando fgerador = 356,6 kHz. Portanto, a tensão no resistor é diretamente proporcional a frequência do resistor. Por outro lado o Vc passa a diminuir e assume o valor de 2,2V quando Vr é máximo.
6)
De acordo como gráfico temos que o coeficiente angular (b) numa reta dada por y = a + bx é 13.633.438,5. Como Xc = 1/2πC * 1/f, então o valor encontrado é igual a 1/2πC.
7)	Portanto C = 1/2π*13.633.438,5. Portanto C = 11,6674 nF. Sabendo que o valor encontrado no início do experimento foi de 9,895 nF, o desvio é dado por D% = l9,895 – 11,6674l / 9,895 * 100 = 17%.
Tabela 2 – Valores do experimento do circuito RL.
	Fgerador(kHz)
	T(s)
	F=1/T
	Vt(V)
	Vr(V)
	VL(V)
	XL(Ω)
	18,115
	5,5x10-5
	18181,8
	10
	3,4
	9,6
	370,7
	12,077
	8x10-5
	12500
	10
	3,6
	9,2
	254,86
	9,055
	1,1x10-4
	9090,9
	10
	4,8
	8,6
	185,35
	7,118
	1,2x10-4
	8333,3
	10
	5,6
	8,2
	169,91
	6,586
	1,5x10-4
	6666,6
	10
	5,8
	7,8
	135,92
	5,984
	1,7x10-4
	5882,3
	10
	6,4
	7,6
	119,93
	5,516
	1,8x10-4
	5555,5
	10
	6,6
	7,6
	113,27
	4,918
	2,0x10-4
	5000
	10
	7,2
	7,2
	101,94
	4,446
	2,4x10-4
	4166,6
	10
	7,2
	6,8
	84,95
	4,051
	2,5x10-4
	4000
	10
	7,6
	6,4
	81,55
	3,500
	2,8x10-4
	3571,4
	10
	8
	5,6
	72,82
	2,966
	3,4x10-4
	2941,2
	10
	8,4
	5,2
	59,97
	2,047
	5,0x10-4
	2000
	10
	8,8
	3,6
	40,78
	1,006
	1,0x10-3
	1000
	10
	9,6
	2,1
	20,39
	0,814
	1,2x10-3
	833,3
	10
	9,6
	1,7
	16,99
	0,099
	9,5x10-3
	105,2
	10
	9,8
	0,32
	2,145
R=2,922Ω; L=3,245 mH 
Questões:
1)
2) Na frequência de acordo, como podemos observar na Tabela 2, Vr é igual a VL que é 7,2V; sendo essa exatamente a definição de frequência de corte.
3) O valor da impedância é dado por Z = (R2 + XL2)1/2; portanto, sabendo o valor de R e XL na frequência de corte dado pela Tabela 2 temos que Z = 4,13Ω na fc.
4) Tensão no resistor aumenta. Com a diminuição da frequência do gerador abaixo da frequência de corte pode-se observar, a partir da Tabela 2 o aumento do valor da tensão no resistor e a diminuição do valor da tensão no indutor. Na frequência mais baixa, como visto Vr = 9,8V e VL=0,32V.
5) Portanto, para frequências a cima de frequência de corte temos que Vr passa a diminuir e portanto VL torna-se maior, tendo na maior frequência do gerador calculado o Vr = 3,4 V e VL = 9,6.
6) 
 
Pelo gráfico podemos calcular, por regressão linear, que o coeficiente angular da reta formada é igual a 0,0204. Sabendo que XL= f*2πL, então o valor do coeficiente angular é dado por 2πL. Portanto, por regressão linear temos que L = 3,246 mH. Sabendo que a indutância calculada no início do experimento como 3,245 temos como desvio percentual: D% = 0,03 %.
 Tabela 3 – Valores do experimento do circuito RLC.
	fgerador
	T(10-6s)
	f(kHz)
	Vt
	Vr
	Vc
	VL
	XL
	Xc 
	X
	Z
	i=Vr/R (10-2A)
	51,783
	19
	52,63
	6
	0,72
	2,1
	8
	1115,73
	294
	821,73
	828,06
	0,72
	45,661
	22
	45,45
	6
	0,9
	3
	8,6
	963,52
	341
	622,52
	630,84
	0,899
	41,013
	24
	41,67
	6
	1,25
	4,2
	10,2
	883,38
	372
	511,38
	521,48
	1,249
	37,726
	26
	38,46
	6
	1,5
	5,9
	11,6
	815,25
	403
	412,25
	424,71
	1,49
	35,146
	27
	37,04
	6
	2
	9
	14
	785,23
	418
	367,23
	381,16
	1,99
	33,206
	28
	35,71
	6
	2,4
	11
	16
	757,03
	434
	323,03
	338,80
	2,39
	31,868
	30
	33,33
	6
	2,7
	13,5
	18
	706,58
	464
	242,58
	263,20
	2,69
	29,263
	32
	31,25
	6
	4,2
	26,5
	25,5
	662,48
	495
	167,48
	196,16
	4,19
	28,705
	34
	29,41
	6
	4,6
	27,5
	27,5
	623,48
	527
	96,48
	140,49
	4,59
	27,247
	35
	28,57
	6
	5,4
	31
	31
	605,67
	542
	63,67
	120,34
	5,39
	26,254
	36
	27,78
	6
	4,8
	29
	28,5
	588,92
	557
	31,92
	106,99
	4,79
	25,528
	38
	26,32
	6
	4,5
	27,5
	25,5
	557,97
	588
	30,03
	106,45
	4,49
	23,113
	42
	23,81
	6
	2,8
	19,5
	14,5
	504,76
	650
	145,24
	177,55
	2,79
	21,043
	46
	21,74
	6
	1,9
	14,5
	9
	460,88
	713
	252,12
	272,02
	1,89
	19,071
	50
	20
	6
	1,2
	11,5
	5,5
	423,99
	774
	350,01
	364,60
	1,19
	17,146
	54
	18,52
	6
	1,02
	9,5
	3,9
	392,61
	836
	443,39
	454,99
	1,019
	13,411
	74
	13,51
	6
	0,66
	7,6
	1,75
	286,40
	1460
	1173,6
	1178,03
	0,659
	7,418
	135
	7,41
	6
	0,29
	6,4
	0,56
	157,01
	2090
	1932,99
	1935,69
	0,289
R = 100,08Ω; L = 3,374 mH; C = 10,278 nF; RL = 2,048Ω.
Questões:
Gráfico 1) e 2)
3) 	A partir do gráfico mostrados a cima podemos ver que a reatância aumenta a medida que a frequência imposta no gerador afasta-se da frequência de corte. Ou seja, na frequência de corte a reatância é mínima e na frequência máxima e mínima ela é máxima. No caso do nosso experimento a frequência mínima imposta ao gerador proporcionou a maior reatância no valor de 1993Ω. 
4)	Na frequência de ressonância XL = Xc; podemos ver que isso não ocorreu exatamente, mas teve pequena variação. Além disso, nessa frequência o i é máximo e isso pode ser observado na Tabela 3.
5)
	
 De acordo com o gráfico podemos ver que a largura da banda é dada pela distância, na corrente efetiva, das linhas do gráfico acima; temos então que variação de frequência na corrente de 5,39/(2)1/2 é aproximadamente igual a 9 kHz.
6) Para uma rádio com banda de larga de 0,05 MHz e f0 = 100,1 MHz, temos que Q = 2002. 
CONCLUSÃO:
 	Observamos que no circuito RC, a reatância capacitiva no circuito aumenta a baixas frequências, assim como a voltagem do capacitor. No Circuito RL estudado, observa-se que XL a contrario de Xc, aumenta com o aumento da freqüência no sistema, assim como a voltagem no indutor. No circuito RLC observa-se três tipos de sistemas; no começo quando trabalhamos em baixas frequências, observamos que XC > XL, portanto, trabalhamos em um circuito capacitivo. Na freqüência de ressonância, de acordo com o embasamento teórico, era de se esperar que XC = XL provando que o sistema estaria em ressonância, porem pode se observar que houve uma pequena variação tal que XL> XC. A Cima destas frequências pode-se observar o sistema começa trabalhar de forma indutiva tal que XL > XC.
	Além disso, os gráficos encontrados foram extremamente satisfatórios tanto nos que relacionava tipos de resistências, voltagens e nos fatores de qualidade, onde pudemos encontrar, no circuito RLC, banda de larga próxima de 8 kHz. Pudemos, na introdução teórica analisar a diferença de fasores para os diferentes tipos de voltagem e da corrente, e por fim, aprender a relação desses circuitos com o funcionamento das rádios e qual a verdadeira importância da frequência de corte para a natureza desses circuitos.
REFERÊNCIAS:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Henry_(unidade);
http://www.sofisica.com/a1nduxn1#;
http://www.fisicadosdoidos.com/18yasndusn&;
Halliday – Circuito RC;
Halliday– Circuito RLC.
0 1 0 2 0 3 00
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
XC 
(Oh
ms)
1 / F ( 1 0 - 3 s )
 X C
d e m o d e m o d e m o d e m o d e m o
d e m o d e m o d e m o d e m o d e m o
d e m o d e m o d e m o d e m o d e m o
d e m o d e m o d e m o d e m o d e m o
d e m o d e m o d e m o d e m o d e m o
d e m o d e m o d e m o d e m o d e m o