Aula 25 - Matrizes de Transformacoes Lineares

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares
Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 34
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
O estudo das transformac¸o˜es lineares pode ser reduzido ao estudo das
matrizes.
Ja´ foi visto que se A e´ a matriz canoˆnica, de tamanho m× n,
associada a` transformac¸a˜o linear T : Rn → Rm, enta˜o T (→x) = A →x .
Vamos generalizar o resultado acima para espac¸os vetoriais V e W
arbitra´rios e associar uma matriz a` transformac¸a˜o linear T : V →W .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Teorema 1.1
Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear. Se B = {→v1, →v2, . . . , →vn} e
B′ = {→w1, →w2, . . . , →wm} sa˜o bases de V e W , respectivamente, enta˜o
existe uma u´nica matriz A tal que
[T (
→
x)]B′ = A[
→
x ]B,
onde A e´ uma matriz m× n cuja j-e´sima coluna e´ o vetor de coordenadas
de T (
→
vj) na base B
′.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Demonstrac¸a˜o:
Sejam T : V →W uma transformac¸a˜o linear e B = {→v1, →v2, . . . , →vn} e
B′ = {→w1, →w2, . . . , →wm} bases de V e W , respectivamente. Para →x∈ V ,
temos:
→
x= k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kn
→
vn (1)
Como T (
→
v1), T (
→
v2), . . . , T (
→
vn) ∈W , escrevendo esses vetores como
combinac¸a˜o linear da base B′, temos as seguintes equac¸o˜es:
T (
→
v1) = a11
→
w1 +a21
→
w2 + . . .+ am1
→
wm
T (
→
v2) = a12
→
w1 +a22
→
w2 + . . .+ am2
→
wm
...
T (
→
vn) = a1n
→
w1 +a2n
→
w2 + . . .+ amn
→
wm
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 5 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
Como T e´ uma transformac¸a˜o linear, aplicando T na equac¸a˜o (1) e
utilizando as igualdades acima, temos:
T (
→
x) = T (k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kn
→
vn)
= k1T (
→
v1) + k2T (
→
v2) + . . .+ knT (
→
vn)
= k1(a11
→
w1 +a21
→
w2 + . . .+ am1
→
wm)
+ k2(a12
→
w1 +a22
→
w2 + . . .+ am2
→
wm) + . . .
+ kn(a1n
→
w1 +a2n
→
w2 + . . .+ amn
→
wm)
= (k1a11 + k2a12 + . . .+ kna1n)
→
w1 + . . .
+ (k1am1 + k2am2 + . . .+ knamn)
→
wm
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
Da equac¸a˜o anterior, o vetor de coordenadas de T (
→
x) em relac¸a˜o a` base
B′ e´:
[T (
→
x)]B′ =

k1a11 + k2a12 + . . .+ kna1n
k1a21 + k2a22 + . . .+ kna2n
...
k1am1 + k2am2 + . . .+ knamn

=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
am1 am2 . . . amn


k1
k2
...
kn

= A[
→
x ]B
Logo, [T (
→
x)]B′ = A[
→
x ]B, como quer´ıamos mostrar.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 7 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Utilizaremos a notac¸a˜o [T ]B′,B para representar a matriz A do teorema
anterior, isto e´:
[T ]B′,B =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
am1 am2 . . . amn
 . (2)
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 8 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1.1
Se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear e B = {→v1, →v2, . . . , →vn} e
B′ = {→w1, →w2, . . . , →wm} bases de V e W , respectivamente, enta˜o a matriz
de T em relac¸a˜o a`s bases B e B′ e´ definida por
[T ]B′,B =
[
[T (
→
v1)]B′ [T (
→
v2)]B′ . . . [T (
→
vn)]B′
]
,
cujas colunas sa˜o os vetores de coordenadas de T (
→
v1), T (
→
v2), . . . , T (
→
vn)
em relac¸a˜o a` base B′.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 9 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.1
Sejam T : R2 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por
T
([
x1
x2
])
=
 x2−5x1 + 13x2
−7x1 + 16x2
 .
Encontre a matriz da transformac¸a˜o T em relac¸a˜o a`s bases B = {→u1, →u2}
de R2 e B′ = {→v1, →v2, →v3} de R3, onde
→
u1=
[
3
1
]
,
→
u2=
[
5
2
]
,
→
v1=
 10
−1
 , →v2=
−12
2
 , →v3=
01
2
 .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 10 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Pelo Teorema 1.1, temos que [T ]B′,B =
[
[T (u1)]B′ T (u2)]B′
]
, onde
B = {u1, u2}, B′ = {v1, v2, v3}, u1 =
[
3
1
]
, u1 =
[
5
2
]
, v1 =
 10
−1
,
v2 =
−12
2
 e v3 =
01
2
.
Vamos determinar T (
→
u1)]B′ e T (
→
u2)]B′ .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 11 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
T (
→
u1)]B′
T (
→
u1) = T
([
3
1
])
=
 1−15 + 13
−21 + 16
 =
 1−2
−5

Escrever T (
→
u1) como combinac¸a˜o linear de B
′: 1−2
−5
 = k1
 10
−1
+ k2
−12
2
+ k3
01
2

⇒

k1 − k2 = 1
2k2 + k3 = −2
−k1 + 2k2 + 2k3 = −5
⇒
 1 −1 0 10 2 1 −2
−1 2 2 −5
 ∼
1 −1 0 10 1 0.5 −1
0 0 1 −2

⇒

k1 − k2 = 1
k2 + 0.5k3 = −1
k3 = −2
⇒ k1 = 1, k2 = 0, k3 = −2⇒ [T (→u1)]B′ =
 10
−2

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 12 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
T (
→
u2)]B′
T (
→
u2) = T
([
5
2
])
=
 2−25 + 26
−35 + 32
 =
 21
−3

Escrever T (
→
u2) como combinac¸a˜o linear de B
′: 21
−3
 = k1
 10
−1
+ k2
−12
2
+ k3
01
2

⇒

k1 − k2 = 2
2k2 + k3 = 1
−k1 + 2k2 + 2k3 = −3
⇒
 1 −1 0 20 2 1 1
−1 2 2 −3
 ∼
1 −1 0 20 1 0.5 0.5
0 0 1 −1

⇒

k1 − k2 = 2
k2 + 0.5k3 = 0.5
k3 = −1
⇒ k1 = 3, k2 = 1, k3 = −1⇒ [T (→u2)]B′ =
 31
−1

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 13 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
[T ]B′,B =
[
[T (
→
u1)]B′ T (
→
u2)]B′
]
=
 1 30 1
−2 −1

onde
[T (
→
x)]B′ = [T ]B′,B[
→
x ]B
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 14 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.2
Determine a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 em relac¸a˜o a`s bases
B = {→u1, →u2} de R2 e B′ = {→v1, →v2, →v3} de R3, onde
→
u1=
[
3
1
]
,
→
u2=
[
5
2
]
,
→
v1=
 10
−1
 , →v2=
−12
2
 , →v3=
01
2

e sabendo que a matriz da transformac¸a˜o e´
[T ]B′,B =
 1 30 1
−2 −1
 .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 15 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Vamos encontrar a matriz de coordenadas de T (
→
x) em relac¸a˜oa` base B′, denotada por
[T (
→
x)]B′ , utilizando a relac¸a˜o [T (
→
x)]B′ = [T ]B′,B [
→
x ]B .
Para isso, primeiramente temos que determinar a matriz de coordenadas de
→
x=
[
x1
x2
]
em relac¸a˜o a` base B, denotada por [
→
x ]B .
→
x= k1
→
u1 +k2
→
u2⇒
[
x1
x2
]
= k1
[
3
1
]
+ k2
[
5
2
]
⇒
{
3k1 + 5k2 = x1
k1 + 2k2 = x2
⇒ k1 = 2x1 − 5x2, k2 = 3x2 − x1 e [→x ]B =
[
2x1 − 5x2
3x2 − x1
]
. Logo,
[T (
→
x)]B′ = [T ]B′,B [
→
x ]B =
 1 30 1
−2 −1
[2x1 − 5x2
3x2 − x1
]
=
 −x1 + 4x23x2 − x1
−3x1 + 7x2

T (
→
x) = (−x1 + 4x2) →v1 +(3x2 − x1) →v2 +(−3x1 + 7x2) →v3=
(−x1+4x2)
 10
−1
+(3x2−x1)
−12
2
+(−3x1+7x2)
01
2
⇒ T (→x) =
 x2−5x1 + 13x2
−7x1 + 16x2

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 16 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.3
Seja T : P1 → P2 a transformac¸a˜o linear definida por
T (p(x)) = xp(x).
Encontre a matriz de T em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas
B = {→u1, →u2}, B′ = {→v1, →v2, →v3}
onde →
u1= 1,
→
u2= x,
→
v1= 1,
→
v2= x,
→
v3= x
2.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 17 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
[T ]B,B′ =
[
[T (
→
u1]B′ [T (
→
u2)]B′
]
[T (
→
u1]B′
T (
→
u1) = T (1) = x.1 = x
T (
→
u1) = k1
→
v1 +k2
→
v2 +k3
→
v3⇒ x = 0.1 + 1.x+ 0.x2 ⇒ [T (1)]B′ =
01
0

[T (
→
u2)]B′
T (
→
u2) = T (x) = x.x = x
2
T (
→
u2) = k1
→
v1 +k2
→
v2 +k3
→
v3⇒ x2 = 0.1 + 0.x+ 1.x2 ⇒ [T (1)]B′ =
00
1

Logo,
[T ]B,B′ =
[
[T (
→
u1]B′ [T (
→
u2)]B′
]
=
0 01 0
0 1
.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 18 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.4
Determine a transformac¸a˜o linear T : P1 → P2 em relac¸a˜o a`s bases
B = {→u1, →u2} de P1 e B′ = {→v1, →v2, →v3} de P2, onde
→
u1= 1,
→
u2= x,
→
v1= 1,
→
v2= x,
→
v3= x
2
e sabendo que a matriz da transformac¸a˜o e´
[T ]B′,B =
0 01 0
0 1
 .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 19 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Exerc´ıcio
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 20 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Observac¸a˜o 1.1
Se V =W , enta˜o T : V → V e´ um operador linear e a matriz de T em
relac¸a˜o a` base B de V e´ representada por [T ]B.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 21 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.5
Sejam T : R2 → R2 o operador linear definido por
T
([
x1
x2
])
=
[
x1 + x2
−2x1 + 4x2
]
e seja B = {→u1, →u2} a base de R2, onde
→
u1=
[
1
1
]
,
→
u2=
[
1
2
]
.
(a) Encontre [T ]B′,B = [T ]B.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
[T ]B′,B = [T ]B =
[
[T (
→
u1]B [T (
→
u2)]B
]
[T (
→
u1]B
T (
→
u1) = T
([
1
1
])
=
[
2
2
]
T (
→
u1) = k1
→
u1 +k2
→
u2⇒
[
2
2
]
= k1
[
1
1
]
+ k2
[
1
2
]
{
k1 + k2 = 2
k1 + 2k2 = 2
⇒ k1 = 2 e k2 = 0⇒ [T (→u1)]B =
[
2
0
]
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 23 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
[T (
→
u2)]B
T (
→
u2) = T
([
1
2
])
=
[
3
6
]
T (
→
u2) = k1
→
u1 +k2
→
u2⇒
[
3
6
]
= k1
[
1
1
]
+ k2
[
1
2
]
{
k1 + k2 = 3
k1 + 2k2 = 6
⇒ k1 = 0 e k2 = 3⇒ [T (→u1)]B =
[
0
3
]
Logo,
[T ]B,B′ =
[
[T (
→
u1)]B′ [T (
→
u2)]B′
]
=
[
2 0
0 3
]
.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 24 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.6
Sejam T : P2 → P2 o operador definido por
T (p(x)) = p(3x− 5),
isto e´, T (c0 + c1x+ c2x
2) = c0 + c1(3x− 5) + c2(3x− 5)2.
(a) Encontre [T ]B em relac¸a˜o a` base B = {1, x, x2}.
(b) Use a fo´rmula [T (
→
p )]B = [T ]B[
→
p ]B para calcular
T (1 + 2x+ 3x2).
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o: (a)
T (c0 + c1x+ c2x
2) = c0 + c1(3x− 5) + c2(3x− 5)2 e B = {1, x, x2}
[T (1)]B
T (1) = T (1 + 0.x+ 0.x2) = 1 + 0.(3x− 5) + 0.(3x− 5)2 = 1⇒ T (1) =
k1.1 + k2.x+ k3.x
2 ⇒ 1 = 1.1 + 0.x+ 0.x2 ⇒ [T (1)]B =
10
0

[T (x)]B
T (x) = T (0 + 1.x+ 0.x2) = 0 + 1.(3x− 5) + 0.(3x− 5)2 = 3x− 5⇒ T (1) =
k1.1 + k2.x+ k3.x
2 ⇒ 3x− 5 = −5.1 + 3.x+ 0.x2 ⇒ [T (1)]B =
−53
0

[T (x2)]B
T (x) = T (0 + 0.x+ 1.x2) = 0 + 0.(3x− 5) + 1.(3x− 5)2 = 9x2 − 30x+ 25⇒ T (1) =
k1.1 + k2.x+ k3.x
2 ⇒ 9x2 − 30x+ 25 = 25.1− 30.x+ 9.x2 ⇒ [T (1)]B =
 25−30
9

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 26 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Logo,
[T ]B =
1 −5 250 3 −30
0 0 9

(b) (1a maneira: Algebricamente):
T (p(x)) = p(3x− 5), isto e´, T (a0 + a1x+ a2x2) = a0 + a1(3x− 5) + a2(3x− 5)2
Para p(x) = 1 + 2x+ 3x2, temos que:
T (1 + 2x+ 3x2) = 1 + 2(3x− 5) + 3(3x− 5)2 = 1 + 6x− 10 + 3(9x2 − 30x+ 25) =
27x2 − 84x+ 66
(2a Maneira: Pela Fo´rmula [T (p)]B = [T ]B [p]B)
[T (p)]B =
1 −5 250 3 −30
0 0 9
12
3
 =
 66−84
27

Logo, T (p) = 66.1− 84.x+ 27.x2
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 27 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Em seguida, listaremos dois resultados equivalentes aos que ja´ foram vistos
para T : Rn → Rm.
Teorema 1.2
Se T1 : V →W e T2 :W → U sa˜o transformac¸o˜es lineares e se B,B′ e
B
′′
sa˜o bases de V , W e U , respectivamente, enta˜o a composta de T1
com T2 tambe´m e´ uma transformac¸a˜o linear e
[T2 ◦ T1]B′′ ,B = [T2]B′′ ,B′ [T1]B′,B.
V︸︷︷︸
base B
T1→ W︸︷︷︸
base B′
T2→ U︸︷︷︸
base B′′
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 28 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Teorema 1.3
Se T : V → V e´ um operador linear e se B e´ uma base de V , enta˜o as
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) T e´ injetor.
(b) [T ]B e´ invert´ıvel.
Se as condic¸o˜es acima sa˜o va´lidas, enta˜o [T−1]B = [T ]−1B .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 29 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.7
Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 operadores lineares definidos por
T1(x, y) = (2x, 2y) e T2(x, y) = (x+ 2y, y) e B = {(1, 0), (0, 1)} a base
canoˆnica do R2. Encontre [T2 ◦ T1]B.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 30 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Temos que B = B′ = B′′ = {(1, 0), (0, 1)} e pelo Teorema 1.3, temos que
[T2 ◦ T1]B′′ ,B = [T2]B′′ ,B′ [T1]B′,B , que e´ equivalente a` [T2 ◦ T1]B = [T2]B [T1]B .
[T1]B
T1(0, 1)= (2, 0)⇒ (2, 0) = k1(1, 0) + k2(0, 1)⇒ T1(0, 1) = 2(1, 0) + 0(0, 1)⇒
[T1(1, 0)]B =
[
2
0
]
T1(0, 1) = (2, 0)⇒ (0, 2) = k1(1, 0) + k2(0, 1)⇒ T1(0, 1) = 0(1, 0) + 2(0, 1)⇒
[T1(0, 1)]B =
[
0
2
]
⇒ [T1]B =
[
2 0
0 2
]
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 31 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
[T2]B
T2(0, 1) = (1, 0)⇒ (1, 0) = k1(1, 0) + k2(0, 1)⇒ T2(0, 1) = 1(1, 0) + 0(0, 1)⇒
[T2(1, 0)]B =
[
1
0
]
T2(0, 1) = (2, 1)⇒ (2, 1) = k1(1, 0) + k2(0, 1)⇒ T2(0, 1) = 2(1, 0) + 1(0, 1)⇒
[T2(0, 1)]B =
[
2
1
]
⇒ [T1]B =
[
1 2
0 1
]
Logo, [T2 ◦ T1]B = [T2]B [T1]B =
[
2 0
0 2
] [
1 2
0 1
]
=
[
2 4
0 2
]
.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 32 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
Para determinar a fo´rmula alge´brica de T2 ◦ T1, basta utilizar o Teorema 1.1:
[(T2 ◦ T1)(→v )]B′ = [T2 ◦ T1]B′,B [→v ]B que e´ equivalente a`
[(T2 ◦ T1)(→v )]B = [T2 ◦ T1]B [→v ]B .
Para
→
v=
[
x
y
]
e B =
{[
1
0
]
,
[
0
1
]}
base canoˆnica, temos:
→
v=
[
x
y
]
= x.
[
1
0
]
+ y.
[
0
1
]
⇒ [→v ]B =
[
x
y
]
[(T2 ◦ T1)(→v )]B = [T2 ◦ T1]B [→v ]B =
[
2 4
0 2
]
.
[
x
y
]
=
[
2x+ 4y
2y
]
(T2 ◦ T1)
([
x
y
])
= (2x+ 4y).
[
1
0
]
+ (2y).
[
0
1
]
⇒ (T2 ◦ T1)
([
x
y
])
=
[
2x+ 4y
2y
]
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 33 / 34
Aula 25 - Transformac¸o˜es Lineares Matrizes de Transformac¸a˜o Linear
Exerc´ıcios: Lista 6.1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 34 / 34
	Aula 25 - Transformações Lineares
	Matrizes de Transformação Linear