Formas Quadráticas e Diagonalização de Operadores

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Formas Quadra´ticas e Diagonalizac¸a˜o de operadores
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 18
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
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Formas Quadra´ticas e Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Como aplicac¸a˜o dos u´ltimos cap´ıtulos estudados no curso, iremos ver
como utilizar diagonalizaca˜o de matrizes para identificar coˆnicas que na˜o
esta˜o em sua posic¸a˜o padra˜o.
Vejam um exemplo:
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As duas equac¸o˜es abaixo sa˜o equac¸o˜es de uma elipse:
(a)
x2
4
+
y2
9
= 1 (b) 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0
Observe que quando a elipse tem seus eixos sobre os eixos xy sua equac¸a˜o
informa os pontos de intersec¸a˜o do gra´fico com esses eixos. O mesmo na˜o
acontece quando a elipse esta´ rotacionada ou transladada.
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As equac¸o˜es que tem por gra´ficos coˆnicas (elipses, c´ırculos, hipe´rboles,
para´bolas, ale´m de retas e ponto para os casos mais simples) sa˜o
chamadas de equac¸a˜o quadra´tica em x e y e dadas por
ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0
Nesta equac¸a˜o, a expressa˜o ax2 + bxy + cy2 e´ chamada forma
quadra´tica associada
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Uma forma quadra´tica pode ser representada em forma matricial por
→
x
T
A
→
x , onde
→
x e´ o vetor-coluna das varia´veis e A e´ uma matriz
sime´trica cujas entradas na diagonal aii sa˜o os coeficientes dos termos x
2
i
e as entradas aij e aji sa˜o a metade dos coeficientes dos termos xixj .
Por exemplo, 2x2 + 6xy − 7y2 = [x y] [2 3
3 −7
] [
x
y
]
Logo, a equac¸a˜o quadra´tica ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 pode
ser reescrita em forma matricial por:
[
x y
] [ a b/2
b/2 c
] [
x
y
]
+ dx+ ey + f = 0
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Se a coˆnica esta´ na posic¸a˜o padra˜o, enta˜o a matriz da equac¸a˜o matricial e´
diagonal, caso contra´rio, se a coˆnica esta´ rotacionada a matriz na˜o sera´
diagonal. Isso tambe´m pode ser identificado pela presenc¸a do termo xy na
equac¸a˜o original. Este termo e´ chamado de produto misto ou termo
cruzado.
Os casos em que a coˆnica foi apenas transladada sa˜o identificados pela
presenc¸a dos termos x2 e x (ou y2 e y).
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Em resumo:
(a) A presenc¸a do termo xy na equac¸a˜o de uma coˆnica indica
que ela esta´ girada para fora de sua posic¸a˜o padra˜o.
(b) A presenc¸a dos termos x2 e x (ou y2 e y) na equac¸a˜o de
uma coˆnica indica que ela esta´ transladada de sua posic¸a˜o
padra˜o.
(c) A presenc¸a dos termos dos itens (a) e (b) simultaneamente
indica que a coˆnica esta´ tanto girada quanto transladada.
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Coˆnica Transladada
A coˆnica pode ser colocada em sua posic¸a˜o original por uma translac¸a˜o
apropriada dos eixos coordenados. A te´cnica utilizada para isso e´ o
me´todo de completar os quadrados. Vejam como isso e´ feito no exemplo
seguinte.
Exemplo 0.1
Identifique a posic¸a˜o padra˜o da coˆnica 2x2 + y2 − 12x− 4y + 18 = 0
transladada em um novo sistema de eixos coordenados x′y′.
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Soluc¸a˜o:
Completando os quadrados da equac¸a˜o 2x2 + y2 − 12x− 4y + 18 = 0,
temos:
2x2 + y2 − 12x− 4y + 18 = 0
⇒ (2x2 − 12x) + (y2 − 4y) + 18 = 0
⇒ 2(x2 − 6x) + (y2 − 4y) = −18 (1)
⇒ 2(x2 − 6x+ 9) + (y2 − 4y + 4) = −18 + 18 + 4
⇒ 2(x− 3)2 + (y − 2)2 = 4 (2)
Para transladar os eixos xy, considere as seguintes equac¸o˜es de translac¸a˜o
(mudanc¸a de varia´veis):
x′ = x− 3, y′ = y − 2
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Continuac¸a˜o:
Substituindo as equac¸o˜es de translac¸a˜o x′ = x− 3, y′ = y − 2 na
equac¸a˜o (2), temos:
2x′2 + y′2 = 4
ou
x′2
2
+
y′2
4
= 1
Figura: Elipse na posic¸a˜o padra˜o no sistema x′y′.
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Coˆnicas Rotacionadas
Para identificar a posic¸a˜o padra˜o de uma coˆnica rotacionada em um novo
sistemas de coordenadas x′y′, faremos a mudanc¸a de varia´veis[
x
y
]
= P
[
x′
y′
]
, onde P e´ a matriz que diagonaliza ortogonalmente A.
Veja:
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0⇒→v T A →v +dx+ ey + f = 0
(Considerando
→
v=
[
x
y
]
e
→
v′=
[
x′
y′
]
e
→
v= P
→
v
′
)
⇒ (P
→
v′)TA(P
→
v′) + dx+ ey + f = 0
⇒
→
v′
T
(P TAP )
→
v′ +dx+ ey + f = 0⇒
→
v′
T
D
→
v′ +dx+ ey + f = 0, onde
D e´ uma matriz diagonal.
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Exemplo 0.2
Descreva a coˆnica C cuja equac¸a˜o e´ 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0.
Figura: Elipse de equac¸a˜o x
′2
9 +
y′2
4 = 1 no sistema x
′y′.
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Soluc¸a˜o:
A representac¸a˜o matricial da equac¸a˜o 5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0 e´:
[
x y
] [ 5 −2
−2 8
] [
x
y
]
− 36 = 0
ou
→
x
T
A
→
x −36 = 0 (3)
onde A =
[
5 −2
−2 8
]
e
→
x=
[
x
y
]
.
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Continuac¸a˜o:
Para fazermos a mudanc¸a de varia´veis
→
x= P
→
x′, encontraremos a matriz
P formada por vetores ortonormais que sa˜o as bases dos auto-espac¸os
associados aos autovalores de A.
A equac¸a˜o caracter´ıstica de A e´:
det(λI −A) = 0⇒
∣∣∣∣ λ− 5 22 λ− 8
∣∣∣∣ = 0⇒ (λ− 9)(λ− 4) = 0.
Os autovalores de A sa˜o: λ = 4 e λ = 9.
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Continuac¸a˜o:
Para λ = 4:
→
v1=
[
2/
√
5
1/
√
5
]
e´ base ortonormal do auto-espac¸o.
Para λ = 9:
→
v2=
[−1/√5
2/
√
5
]
e´ base ortonormal do auto-espac¸o.
Logo, a matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e´:
P =
[
2/
√
5 −1/√5
1/
√
5 2/
√
5
]
e
P TAP = D =
[
4 0
0 9
]
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Continuac¸a˜o:
Fazendo a mudanc¸a de varia´veis
→
x= P
→
x′ na equac¸a˜o (3), temos:
→
x
T
A
→
x −36 = 0
⇒ (P
→
x′)TA(P
→
x′)− 36 = 0
⇒ x′T (P TAP )x′ − 36 = 0
⇒ x′TDx′ − 36 = 0
⇒ [x′ y′] [4 0
0 9
] [
x′
y′
]
− 36 = 0
⇒ 4x′2 + 9y′2 − 36 = 0
⇒ x
′2
9
+
y′2
4
= 1
A equac¸a˜o acima e´ a equac¸a˜o da elipse esboc¸ada no in´ıcio do exemplo, onde os
vetores
→
v1 e
→
v2 sa˜o os vetores-coluna de P .
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O gra´fico da equac¸a˜o
x′2
9
+
y′2
4
= 1 e´ a elipse esboc¸ada nos eixos x′ e y′
gerados por
→
v1 e
→
v2 (vetores-coluna de P ).
Figura: Elipse de equac¸a˜o x
′2
9 +
y′2
4 = 1 no sistema x
′y′.
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