Estado de Tensão em Elementos

Prévia do material em texto

Estado de tensão causado 
por cargas combinadas 
2015/2 
Estudamos até aqui os métodos para distribuições de tensão em 
um elemento submetido: 
 
 força axial interna 
 força de cisalhamento 
 momento fletor 
 momento de torção. 
Na prática porém, os componentes estruturais 
estão submetidos a uma combinação de tipos 
diferentes de esforços. 
Nesses casos, é necessário calcular a 
distribuição de tensão RESULTANTE, obtida a 
partir da aplicação do método de superposição. 
Limitações do método da superposição: 
• Deve haver uma relação linear entre a tensão e as 
cargas. 
• A geometria do elemento não deve sofrer mudança 
significativa quando as cargas são aplicadas. 
Determinação da 
distribuição de 
tensão devido a 
cada carga 
Sobreposição 
Tensão resultante 
(Estado de 
tensão) 
Condições iniciais 
 
 Seccionar o elemento perpendicularmente a seu eixo no ponto 
onde a tensão deve ser determinada e obter as componentes 
internas resultantes da força normal, força de cisalhamento, 
momentos fletor e de torção. 
 
 As componentes da força devem agir passando pelo centróide 
da seção transversal 
 
 As componentes do momento devem ser calculadas em torno 
dos eixos do centroide, os quais representam os eixos principais 
de inércia para a seção transversal. 
Procedimentos gerais 
 
Tensão normal média 
Calcule a componente da tensão associada a cada carga interna. Para 
cada caso, represente o efeito como uma distribuição de tensão que age 
sobre toda a área da seção transversal ou mostre a tensão sobre um 
elemento do material localizado em um ponto específico na seção 
transversal. 
 
Força normal 
A força normal interna é desenvolvida por uma distribuição de tensão 
normal uniforme determinada por 𝐹 = 𝜎𝐴. 
 
Força de cisalhamento 
A força de cisalhamento interna em um elemento submetido a flexão é 
desenvolvida por uma distribuição da tensão de cisalhamento determinada 
pela fórmula do cisalhamento, 𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
, sempre lembrando de levar em 
conta as limitações do uso da equação (ver seção 7.3) 
Procedimentos Gerais 
 
Momento fletor 
Para elementos retos, o momento fletor interno é desenvolvido por uma 
distribuição de tensão normal que varia linearmente de zero no eixo neutro 
a máxima no contorno externo do elemento. A distribuição de tensão é 
determinada pela fórmula da flexão, 𝜎 = −
𝑀∙𝑦
𝐼𝑦
 
 
Momento de torção 
Para eixos e tubos circulares, o momento de torção interno é desenvolvido 
por uma distribuição da tensão de cisalhamento que varia linearmente da 
linha central do eixo até um máximo no contorno externo do eixo. A 
distribuição da tensão de cisalhamento é determinada pela fórmula da 
torção, 𝜏 =
𝑇∙𝜌
𝐽
. 
 
Superposição 
Usando o princípio da superposição, determine as componentes da tensão 
normal e da tensão de cisalhamento resultantes. Represente os resultados 
em um elemento de material no ponto ou mostre a distribuição de tensão 
que age sobre a área da seção transversal do elemento. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na Figura 
8.3a. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos 
pontos B e C. 
15000N 
20mm 
20mm 
50mm 50mm 
Cargas internas. O elemento é secionado passando por B e C. Para equilíbrio 
na seção, é preciso haver uma força axial de 15.000 N agindo no centroide e 
um momento fletor de 750.000 N · mm em torno do eixo do centroide ou 
principal. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
15000N 
15000N 
750.000N.mm 
Força normal. A distribuição da tensão normal uniforme devida à força 
normal é dada por: 
Momento fletor. A distribuição da tensão normal devida ao momento 
fletor é calculada 
Exemplo de Procedimento de Análise 
3,75MPa 
3,75MPa 
11,25MPa 11,25MPa 
Superposição. 
Caso seja necessário, a localização da linha de tensão nula pode ser 
determinada: 
Exemplo de Procedimento de Análise 
3,75MPa 
3,75MPa 
11,25MPa 11,25MPa 
7,5MPa 
15MPa 
7,5MPa 15MPa 
Força normal Momento fletor Carga combinada 
A haste maciça mostrada na Figura 8.6a tem raio de 0,75 cm. Se estiver 
sujeita à carga mostrada, determine o estado de tensão no ponto A. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Primeiramente, os esforços internos são calculados para o ponto A, a partir 
das condições de equilíbrio aplicadas ao diagrama de corpo livre. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
A força normal (500 N) e a força de 
cisalhamento (800 N) devem agir no 
centroide da seção transversal, e as 
componentes do momento fletor 
(8.000 N · cm e 7.000 N · cm) são 
aplicadas em torno dos eixos do 
centroide (principais). 
 
Para "visualizar“ melhor as 
distribuições da tensão devidas a 
cada uma dessas cargas, 
consideraremos as resultantes 
iguais, mas opostas que agem em 
AC. 
Primeiramente, os esforços internos são calculados para o ponto A, a partir 
das condições de equilíbrio aplicadas ao diagrama de corpo livre. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Força normal. 
Força de cisalhamento. 
∙1,5cm 
Primeiramente, os esforços internos são calculados para o ponto A, a partir 
das condições de equilíbrio aplicadas ao diagrama de corpo livre. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Momentos fletores 
Para a componente de 8.000 N·cm, o ponto A 
encontra-se no eixo neutro portanto, a tensão normal é 
Para o momento de 7.000 N · cm, c = 0,75 cm, 
portanto, a tensão normal no ponto A 
𝜎𝐴 = 0 
Primeiramente, os esforços internos são calculados para o ponto A, a partir 
das condições de equilíbrio aplicadas ao diagrama de corpo livre. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Momentos fletores 
Para a componente de 8.000 N·cm, o ponto A 
encontra-se no eixo neutro portanto, a tensão normal é 
Para o momento de 7.000 N · cm, c = 0,75 cm, 
portanto, a tensão normal no ponto A 
𝜎𝐴 = 0 
Primeiramente, os esforços internos são calculados para o ponto A, a partir 
das condições de equilíbrio aplicadas ao diagrama de corpo livre. 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Momento de torção 
No ponto A, 𝜌𝐴 = 𝑐 = 0,75𝑐𝑚. Assim, a tensão de 
cisalhamento é: 
Superposição 
Exemplo de Procedimento de Análise 
Quando os resultados acima são superpostos, vemos que um elemento de material em A 
está sujeito às componentes da tensão normal, bem como da tensão de cisalhamento. 
Então, obtendo o estado de tensões em um 
ponto do material, como saber se o material 
irá ou não aguentar? Será que atende ao fator 
de segurança? 
E aí?? 
Você calculou e deu isso: 
Critérios de falha 
MATERIAIS DÚTEIS 
Critério de 
escoamento 
MATERIAIS FRÁGEIS 
Critério de 
fratura 
Então, é necessário recorrer às teorias de 
falhas, onde serão definidos critérios 
baseados no estado de tensões para avaliar a 
resistência do material. 
21 
Alguns critérios de falha: 
MATERIAIS 
DÚTEIS 
• Tresca (Tensão Máxima de Cisalhamento) 
• Von Mises (Energia de distorção), etc 
MATERIAIS 
FRÁGEIS 
• Tensão normal máxima 
• Mohr-Coulomb frágil, etc. 
• Critério de Tresca (Tensão Máxima de Cisalhamento) 
𝜎𝑉𝑜𝑛 𝑀𝐼𝑠𝑒𝑠 = (𝜎1)2+(𝜎2)2−(𝜎1𝜎2) 
• Critério de Von Mises (Energia de distorção) 
𝜏𝑚á𝑥 𝑎𝑏𝑠 −𝜎𝑢 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
𝜎1 −𝜎𝑢 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) Estado plano de tensões 
Estadogeral de tensões 
Outras ferramentas disponíveis 
Carregamentos e geometrias complexas 
Outras ferramentas disponíveis 
Carregamentos e geometrias complexas 
Obrigado 
 
Leitura recomendada: Hibbeler cap. 8 
Exercícios (7ª Ed): 
 
8.21, 8.23, 8.26, 8.34, 8.60