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Modulo4a - Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
e SLITC
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�����
��
SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo 42 slides
2
��������
�� ������
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
3
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!�8���!��3+�� !�����
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
4
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!�(.��X(s) ���-!-�
-�&!�5�
���-!�-����5��0&������&��
Transformada
de Laplace Funcional
{ } ∫
∞
∞−
−
≡= dtetxtxsX st)()()( L
)()( sXtx →←L
Integral imprópria
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
5
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-!�������!���-&�@&��!5�!�(.�����
�0�����&!�!���������!��x(t)
� *����*�3��� !�"������� !
�!��$;�A����&!�!�����-����
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���
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�������������������� �! "�#�$ ���
-!�(.�
��&� ��� !���������!�������!�������!��!��	����
 �-&��0!��s &!�!����7
!����X(s) �������
� 
��#�������������&� ��� !�!�B
��!-����� �-�!�
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 �����&����� �!�
�4�� !�������x(t) ���X(s)
9������������ �!��!�(.
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
6
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 )Re( ,11)(
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{ }
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-atu(t)
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
7
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1��!��*0&���� �!������ �����6�*�7
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 )Re( ,11)(
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+
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−=−−=
>ℜ∈−−=
∞−
+−
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+−
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∫∫
RDC: Re(s) < -a
{ }
as
tue at
+
=−−
−
1)(L
-a
jω
σ
-e-at
x(t)
t
-1
-e-atu(-t)
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
8
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1��!��*0&���� �!������ �����6�*�7
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RDC: Re(s) < a
 )Re( ,11)(
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dtedtetuesX
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ℜ∈−=
∞−
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∞−
−−
∞
∞−
−
∫∫
{ }
as
tue at
−
−=−
1)(L
a
jω
σ
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
9
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1��!��*0&���� �!������ �����6�*�7
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RDC: Re(s) > a
( )
( )
 )Re( ,1)(
0)Re( qdo. ,1-011lim1)(
lim11)(
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 ),()(
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=
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−=
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
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−
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−
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−
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====
ℜ∈=
−
∞→
−−
∞→
∞−−
∞
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∞
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∫∫∫∫
{ }
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−
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jω
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
10
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� ����������!���!4A������&����C-�������
-��!���5�N(s);������z1…zm
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������! ���!��X(s) 3����!������������ ���n > m
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L
L
L
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
11
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 1)Re( )3)(1(
22
34
)2(2)( 2 −>++
+
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++
+
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ss
s
ss
s
sX
-1
jωωωω
σσσσ-2-3
RDC: Re(s) > -1
Raízes
Numerador (zeros): -2
Denominador (polos): -1, -3
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
12
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
13
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���B!5�x(t) <�/�&!�!���K��� ����L��95�
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���B!5�x(t) <�/ &!�!���K ��5�
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���B!5�x(t) <�/ &!�!���L
��5�������!��#�����	��!����-!���"�$ K σ-4�5��
���B!5�
-���-�G
&�!���6���7
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
14
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yRRsbYsaXtbytax ∩⊃+↔+ xR' para ),()()()(
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%�����&����!�����!�(�!�����-!�!����.!&�! �
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1)( a
a
sX
a
atx =
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



↔
xRR' para )()( −=−↔− sXtx
xRpara R' )0()(
)(
⊃−↔ xssX
dt
tdx
)0)(Re(R R')(1)( 1)( x
0
>∩=+↔ ∫∫
∞−
∞−
s dttx
s
sX
s
dx
t
ττ
yx RRR' ),().()()( ∩⊃↔∗ sYsXtytx
xRR' para 
)()(. =↔−
ds
sdX
txt
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
)(lim)(lim e )(lim)0(
0
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15
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f(t) F(s) RDC
u(t) 1/s Re(s)>0
t.u(t) 1/s² Re(s)>0
t².u(t) 2/s³ Re(s)>0
tnu(t) n! / sn+1 Re(s)>0
cos(at) u(t) s / (s²+a²) Re(s)>0
sen(at) u(t) a / (s²+a²) Re(s)>0
eatu(t) 1 / (s-a) Re(s)>a
eatcos(bt) u(t) (s-a) / [(s-a)²+b²] Re(s)>a
eatsen(bt) u(t) b / [(s-a)²+b²] Re(s)>a
cosh(at) u(t) s / (s²-a²) Re(s)>|a|
senh(at) u(t) a / (s²-a²) Re(s)>|a|
t.cos(at) u(t) (s²-a²) / [s²+a²]² Re(s)>0
t.sen(at) u(t) 2as / [s²+a²]² Re(s)>0
f(t) F(s) RDC
δδδδ(t) 1 ∀∀∀∀s
-u(-t) 1/s Re(s) < 0
e-atu(t) 1 / (s + a) Re(s) > -a
-e-atu(-t) 1 / (s + a) Re(s) < -a
t.e-atu(t)1 / (s + a)2 Re(s) > -a
-t.e-atu(-t) 1 / (s + a)2 Re(s) < -a
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
Tab. 4.1, 
p.310, Lathi
16
)()()( 32 tuetuetx tt −− +=*0�-&����
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���!�(.���;
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2
1)(2 −>
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→←− s
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Sabemos que
As RDC’s se sobrepõem ficando a interseção delas
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 ,)3)(2(
)5.2(2
3
1
2
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+
+
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ss
s
ss
sX
3)Re( ,
3
1)(3 −>
+
→←− s
s
tue Lt
-2
jωωωω
σσσσ-2.5-3
RDC: Re(s) > -2
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
17
)()()( 23 tuetuetx tt −+= −*0�-&���9
�!� 
���!�(.���;
3)Re( ,
3
1)(3 −>
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→←− s
s
tue Lt
Sabemos que
As RDC’s se sobrepõem, e assim
2e(s)3- : RDC com
 ,)3)(2(
5
2
1
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2
1)(2 <
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−
→←− s
s
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2
jωωωω
σσσσ-3
RDC: -3 < Re(s) < 2
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
18
)]5()([)( 2 −−= − tutuetx t*0�-&����
�!� 
���!�(.���;
2)Re( ,
2
1)(2 −>
+
→←− s
s
tue Lt
Sabemos que
As RDC’s se sobrepõem, e assim
( )
-2e(s) com
 ,1)2(
1
2
1
2
1)( )2(5510
>
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−
+
=
+−−−
R
e
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s
sX ss
2)Re( ,
2
1)5( 5)5(2 −>
+
→←− −−− s
s
etue sLt
jωωωω
σσσσ-2
RDC: Re(s) > -2
)5()()5()()]5()([)( )5(2102222 −−=−−=−−= −−−−−−− tueetuetuetuetutuetx ttttt
Solução: Usando as tabelas de propriedades e de pares da T.L.
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
19
)]5()([)( 2 −−= − tutuetx t*0�-&����
�!� 
���!�(.���;
jωωωω
σσσσ-2
RDC: Re(s) > -2
( )
2Reserá parciais s RDC'duas das interseçãoa seja, ou 
,)para Re( nem e 2para definida está não )( :RDC
2
11
2
1
2
1
)]5()([)()(
105
5)2(5
0
)2(5
0
)2(
2
-(s)
sssX
s
e
e
s
e
s
dte
dtetutuedtetxsX
s
ststs
sttst
>
−∞→−=
+
+
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+
−
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+
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==
−−==
−−
+−+−+−
∞
∞−
−−
∞
∞−
−
∫
∫∫
Solução: Usando a definição.
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
20
� #��������
� O�!�(.��!����&���!��-&
����!����
-�1.�(�
� (!-+3-� ��M� ��!�&��������	�����
���
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convolução da epropriedad a aplicando ),()()(
sX
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=⇒=
∗=
'���
��������(�!������� �! SLITCx(t) y(t)
h(t)
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
{ } { } )()( :então Laplace,de ão.Transormaça for Se sHthLL =⋅
h(t)x(t) y(t) = h(t)*x(t)
H(s)X(s) Y(s) = H(s).X(s)
L{·} L{·} L{·}
21
� 
��
-!��&��&����!��������1.�(�I��&���-�����!��� �!�!��
6�� !�! ���4��� !�����H(s) ���&�!���s
� �!
�!���!��;�!��#�����������!��������6�������!�������������&@����
� *��!+����!��;�!��#������� ����������0������� !��s<B ω
� 1����-!�� !
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� (��������&@�����!��
����������!������� �!�������������-!��
����-����!�������-�G&�!�����7
��������&�!���� "������ �-�
&!�������!������!���!�$���!��#������� ����������0������� !�
.���; Re(s) L� σ-	0 �������σ-	0 K�/
'���
��������(�!������� �!
Caracterização de Sistemas
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
22
� *0����!�
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����G��&
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������! ���!��&�@&��!�$���������-�
���������1�*9 ��������1.�(��3�?�?>����	���
*0�-&��;
*-+��!����&����5�G����G95�����B!-����1�*���1.�(��3�����	����
&���H(s) ����
-!��
������! ���!���-&�@&��!�
)��*��!+����!������1.�(��
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
1 função racional própria: grau do pol. numerador < grau pol. denominador 
2 SPE: semiplano-s esquerdo
3 �����-��s 3�!��
����������!������� �!����
-�������� �!�������!��7
��3�
-�1.�(������	���������������?�?>
)2)(1(
31
23
544)( 2
23
++
+−
++=
++
+++
=
ss
s
s
ss
sss
sH
23
� ������!�"!�����@�� !$
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����&���
4��-��!������ �-
��5�������������-��!����
���H(s) 3������� ��!�Q(s), ����� ���3�����������!+����!���
!�����@�� !�����������
�����;
� ��� �
� ������������&��������H(s) ��������-����1�*�
"&�������-&�����
���&������5������-&���!$
� ���� �
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"�$����!�-�����
-�&�������H(s) �����������1�#5��
�
"��$��0������-�&�������&����������H(s) �����0���-!���	���
� !��"����
��
���� �
����������0������-�&��������H(s)
���1�#���!��
���&�����������&�������" ��B
�!���$�
��������-������0���-!���	���
)��*��!+����!������1.�(��
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
24
� ������	�
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�������
����
����
X(s) ����#���⇒ x(t) ��� !
� !#�	�	�
� #���������"������!�������������$
� *0&!������-���!�8����!� �!���"���4�
��$
� ������������-���!�>���-�: &��������������
� ����������G3��-! >���-�: &�������&������
P��(�!�����-!�!����.!&�! ��������!
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
25
� �@�-
�!��!�������	�
�����
�������
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���;
7
��3�
-!�������!����� �����������&�!��� �-&��0���
� D!�&�	�� !5�
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
26
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
27
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Transformada Inversa de Laplace
1- Re(s) ,
1
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1
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s
sX )()..2cos()( tuttx =Da Tabela
1- Re(s) ,
4)1(
1)( 2 >++
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s
s
sX )()..2cos()( tutetx t−=Da Tabela
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
28
*0�-&���9!
Transformada de Laplace Inversa
1- Re(s) ,
34
42)( 2 >++
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ss
s
sX
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1
3
22)()1(
31)3)(1(
22
34
42)(
:Parciais Frações em Expandindo
33
3
32
1
11
21
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s
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c
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
29
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Transformada de Laplace Inversa
3- Re(s) ,
34
42)( 2 <++
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s
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34
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:Parciais Frações em Expandindo
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
30
*0�-&���9 
Transformada de Laplace Inversa
1)Re(3 ,
34
42)( 2 -s-ss
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: bilateral é )( logo ,1)Re(3 é )( de RDCA 
3
1
1
1)( :Assim
1
1
22)()3(
1
3
22)()1(
31)3)(1(
22
34
42)(
:Parciais Frações em Expandindo
3
3
32
1
11
21
2
tuetuetx
txssX
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
31
*0�-&����
Transformada de Laplace Inversa
3)Re( ,)5)(3(
52)( 2
2
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++
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ss
ss
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: direito unilateral é )( logo ,3)Re( é )( de RDCA 
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10
3
52)()5(
2)5(
52)()3(
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:5 em múltiplo pólo um e 3 em simples pólo um tem
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2
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2
2
5
2
5
2
1
5
2
5
2
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2
31
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txssX
sss
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+
+
+
+
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
32
*0�-&����
Transformada de Laplace Inversa
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
.
.
.
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.
.
.
complete...
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)()()(
2
2
tueetx
tuetuetx
tt
tt
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−−
−=
−=
Set/2013 Sistemas Lineares - Prof. Cláudio 33
x(t) de duração finita
=> RDC é todo o plano s
decaimento exponencial
crescimento exponencial
34
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∑
∑∑∑∑
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k
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k
k
k
M
k
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k
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k
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k
sa
sb
sX
sY
sH
sbsXsasYsXsbsYsa
SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo
EDLCC – Equação Diferencial Linear de Coeficientes Constantes
Aplicando a operação L{ · } e usando a propriedade da diferenciação, teremos:
a RDC deve ser especificada pelas 
condições complementares do sistema, 
como estabilidade ou causalidade
� H(s) ���	���-&����! ���!�
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
35
*0�-&����
Função Transferência
)(1)}({)(
:será )( impulsiva resposta a causal, sistema um de tratar sePor 
1
11)()(
)(
)(1)()1(
)(1)(1)(
 :Laplace de Transf. a Aplicando
)(1)(1)(
:equação pela descrito é RC circuito O
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RC
sHLth
th
RCsRC
sH
sX
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RC
sY
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s
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RC
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=+
=+
==
R
vs(t) C vc(t)i(t)
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
36
*0�-&���9
Conversão de EDLCC em Eq.s Algébricas
 LaplacedeInversa Transf.a calcular devemos
 tempo,do domínio noresposta a obter sePara 
)/(1)/()(
111)(
:doReescreven
1)]0()([)(1)(
)()()(1)(
:circuito do Equação
2
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s
IsC
sLR
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sV
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sV
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LR
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DC
DC
DC
L
DC
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




++
=−++
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t=0
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
37
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Função Sistema
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Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
38
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)().()().()()()( :Temos
)().()( e )().()( :Então
)()()()()()()()( :Sejam
sGsF
sX
sY
sH
sXsGsFY(s)
sXsRsXsFsVsRsY
sXsGsVsXsFsR
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+=+=
==
↔↔↔↔
Função Sistema
Equivalente
F(s)
x(t) y(t)
G(s)
Σ
v(t)
r(t)
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
39
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F(s)
x(t) y(t)
G(s)
Σ
r(t)
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1
)(
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)()]()(1)[(
)()]()()([ :Logo
)()()( :Temos
 )()()( :Como
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)()()()()()()()( :Sejam
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sY
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sGsYsRsFsEsY
sEtesRtrsYtysXtx
−
==
=−
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+=
+=
==
↔↔↔↔
Função
Sistema
Sistemas Lineares - Prof. CláudioSet/2013
Sistemas Lineares - Prof. Cláudio 40
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)(.lim)(lim :InicialValor 
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0
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sFstf
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st
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∞→→
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Valor Inicial: pressupõe que f(t) não contém nenhuma função impulso
Valor Final: todos os pólos de F(s) estejam no semi-plano esquerdo
Set/2013
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J����!��A!�!;
Set/2013 Sistemas Lineares - Prof. Cláudio 41
1 Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo C com valores em C que são diferenciáveis em cada ponto.
Derivada de ordem n no ponto z0 (singularidade)
(����-!��������4�
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-!��!�A���-&�������M"A$5�����5�� 3�
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Set/2013 Sistemas Lineares - Prof. Cláudio 42
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