SL Lab9 2015 TF (propriedades)

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PUCGO ENG. ELÉTRICA 
 
Propriedades da Transformada de Fourier: 
Diferenciação, Multiplicação e Convolução no Tempo 
 
Objetivos 
 
• Estudar a propriedade da diferenciação no tempo da Transformada de Fourier; 
• Aplicar a propriedade da diferenciação no tempo a alguns circuitos de primeira ordem; 
 
Fundamentação Teórica 
 
 A propriedade da diferenciação no tempo da Transformada de Fourier é dada por: 
 
DIFERENCIAÇÃO em relação ao tempo: )()( ωω Xjtx
dt
d F
→ (1) 
 
 Já as propriedades de convolução e modulação são dadas por: 
 
CONVOLUÇÃO: )()()(*)( ωω ZXtztx F→ (2) 
 
MODULAÇÃO: )(*)(
2
1)().( ωω
pi
YXtytx F→ 
(3) 
 
 Dado o circuito abaixo: 
Figura 1 
 
 
 
 
 
 
A saída desse circuito será dada por: 
 
)(*)()( txthty = (4) 
 
 Aplicando a propriedade da convolução temos: 
 
)().()( ωωω XHY = (5) 
 
 Onde h(t) é a resposta impulsiva do sistema no domínio do tempo e )(ωH é a resposta em 
frequência do sistema. A partir da Eq. 5 podemos obter a resposta em frequência em função das 
transformadas de Fourier do sinal de entrada e do sinal da saída: 
 
)(
)()(
ω
ω
ω
X
YH = (6) 
 
 Aplicando agora a Lei de Kirchoff para tensões (LKT) ao circuito da Figura 1 temos: 
 
0)()()( =−− tytRitx (7) 
dt
tdyCti )()( = (8) 
V1 R 
C x(t) y(t) 
i(t) 
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0)()()( =−− ty
dt
tdyRCtx (9) 
)()()( txty
dt
tdyRC =+ (10) 
 
Usando a propriedade da diferenciação no tempo: 
 
)()( ωω Yj
dt
tdy F
→ (11) 
 
Teremos: 
 )()()(.. ωωωω XYYjRC =+ (12) 
 
RCjX
YH
ωω
ω
ω
+
==
1
1
)(
)()( (13) 
 
 
Material 
 
• Software de simulação: Matlab/Python. 
 
 
 
Procedimento Prático 
 
 
1) Trace o gráfico de magnitude da Resposta em Frequência ωω ×)(H para o circuito da Figura 1 (ver 
script exemplo no final desse roteiro). 
 
2) Com base no gráfico traçado, descreva uma possível utilização do circuito. 
 
3) Repita os procedimentos anteriores usando o circuito da Figura 2. 
 
Figura 2 
 
∫
∞−
=
t
dtty
L
ti )(1)( 
 
 
Lembrando a propriedade da Integração: 
 
)(1)()0()( ω
ω
ωδpiττ XjXdx
F
t
+→∫
∞−
 
 
 
 
V1 R 
L x(t) y(t) 
i(t) 
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Questões 
 
1) Para o circuito dado na Figura 3, calcule e trace a Resposta em Frequência. 
Figura 3 
 
2) Para o circuito dado na Figura 4, calcule e trace a Resposta em Frequência. 
Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
Script Python: 
 
# -*- coding: utf-8 -*- 
""" Resposta em Frequência de um circuito RC série (FPB) 
@author: Prof. Cláudio - Mai/2015 """ 
 
from numpy import arange, abs, angle, pi 
from matplotlib.pylab import plot, grid, title, subplot, xlabel, ylabel, 
figure 
 
w = arange(0,2000*pi,10*pi) # base de tempo 
R = 1e3; C = 250e-9 # fc = 4000 rad/s = 636,2 Hz 
H = 1. / (1. + 1j*w*R*C) # Resp. Freq. do circuito RC série 
 
figure() 
subplot(1,2,1); plot(w,abs(H)); grid('on'); 
title(u'Resp. em Frequência') 
xlabel('$\omega$ (rad/s)'); ylabel('Magnitude: |H($\omega$)|') 
 
subplot(1,2,2); plot(w,angle(H)); grid('on') 
title(u'Resp. em Frequência') 
xlabel('$\omega$ (rad/s)'); ylabel('Fase: arg(H($\omega$)) (rad)') 
V1
R 
L 
x(t) y(t) 
V1
R x(t) y(t) 
C