Sistemas_de_Coordenadas

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Eletromagnetismo - Sistemas de Coordenadas
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A resoluc¸a˜o de va´rios problemas em Eletromagnetismo esta´ relacionada com o tipo de sistema de co-
ordenadas que e´ utilizado. A simplificac¸a˜o de muitos desses problemas depende de uma escolha correta do
sistema de coordenadas, ale´m de uma compreensa˜o de algumas conceitos fundamentais do Ca´lculo Vetorial
e do Ca´lculo Diferencial e Integral. Vamos revisar os principais sistemas utilizados no Eletromagnetismo:
o sistema cartesiano, o cil´ındrico e o esfe´rico.
1 Sistema de Coordenadas Cartesiano
Em um sistema de coordenadas cartesiano um ponto P e´ especificado pelas coordenadas x, y e z. Todos
esses valores sa˜o medidos a partir da origem do sistema de coordenadas. Os vetores unita´rios desse sistema
sa˜o iˆ, jˆ e kˆ. Um vetor em um sistema de coordenada cartesiano sera´ escrito como:
~A = Ax iˆ+ Ay jˆ + Az kˆ
1.1 Produto Escalar
iˆ · iˆ = jˆ · jˆ = kˆ · kˆ = 1
iˆ · jˆ = iˆ · kˆ = jˆ · kˆ = 0
1.2 Produto Vetorial
iˆ× iˆ = jˆ × jˆ = kˆ × kˆ = 0
iˆ× jˆ = kˆ jˆ × iˆ = −kˆ
jˆ × kˆ = iˆ kˆ × jˆ = −iˆ
kˆ × iˆ = jˆ iˆ× kˆ = −jˆ
1.3 Elemento Infinitesimal de Comprimento d~l
d~l = dx iˆ+ dy jˆ + dz kˆ
1
1.4 Elemento de Volume
dv = dxdydz
1.5 Limites de Integrac¸a˜o
Coordenada Intervalo
x -∞ ate´ +∞
y -∞ ate´ +∞
z -∞ ate´ +∞
1.6 Operadores de Campo
Seja ~A um campo vetorial em coordenadas cartesianas: ~A = Ax iˆ + Ay jˆ + Az kˆ e V = V (x, y, z) uma
func¸a˜o escalar.
• Gradiente
~∇V = ∂V
∂x
iˆ+
∂V
∂y
iˆ+
∂V
∂z
iˆ
• Divergente
~∇ · ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
• Rotacional
~∇× ~A =
(
∂Az
∂y
− ∂Ay
∂z
)
iˆ+
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
jˆ +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
kˆ
• Laplaciano
∇2V = ∂
2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
2
2 Sistema de Coordenadas Cil´ındricas
Em um sistema de coordenadas cil´ındricas o ponto P e´ especificado pelas coordenadas r, φ e z. A
coordenada r e´ positiva a partir do eixo z, enquanto que a coordenada z e´ a mesma da coordenada
cartesiana e serve como o eixo do cilindro. A coordenada φ e´ chamado de aˆngulo azimutal e e´ dado com
refereˆncia ao eixo x do sistema cartesiano. Os vetores unita´rios desse sistema sa˜o rˆ, φˆ e kˆ. Um vetor geral
em um sistema de coordenada cil´ındrica e´ escrito como:
~A = Arrˆ + Aφφˆ+ Azkˆ
2.1 Produto Escalar
rˆ · rˆ = φˆ · φˆ = kˆ · kˆ = 1
rˆ · φˆ = rˆ · kˆ = φˆ · kˆ = 0
2.2 Produto Vetorial
rˆ × rˆ = φˆ× φˆ = kˆ × kˆ = 0
rˆ × φˆ = kˆ φˆ× rˆ = −kˆ
φˆ× kˆ = rˆ kˆ × φˆ = −rˆ
kˆ × rˆ = φˆ rˆ × kˆ = −φˆ
2.3 Transformac¸o˜es dos Vetores Unita´rios
rˆ = cosφ iˆ+ sinφ jˆ
φˆ = − sinφ iˆ+ cosφ jˆ
kˆ = kˆ
2.4 Elemento Infinitesimal de Comprimento d~l
d~l = dr rˆ + rdφ φˆ+ dz kˆ
3
2.5 Elemento de Volume
dv = r dr dφ dz
2.6 Limites de Integrac¸a˜o
Coordenada Intervalo
r 0 ate´ ∞
φ 0 ate´ 2pi
z -∞ ate´ +∞
2.7 Operadores de Campo
Seja ~A um campo vetorial em coordenadas cil´ındricas: ~A = Ar rˆ+Aφ φˆ+Az kˆ e V = V (r, φ, z) uma func¸a˜o
escalar.
• Gradiente
~∇V = ∂V
∂r
rˆ +
1
r
∂V
∂φ
φˆ+
∂V
∂z
kˆ
• Divergente
~∇ · ~A = 1
r
∂
∂r
(rAr) +
1
r
∂Aφ
∂φ
+
∂Az
∂z
• Rotacional
~∇× ~A =
[
1
r
∂Az
∂φ
− ∂Aφ
∂z
]
rˆ +
[
∂Ar
∂z
− ∂Az
∂r
]
φˆ+
1
r
[
∂
∂r
(rAφ)− ∂Ar
∂φ
]
kˆ
• Laplaciano
∇2V = 1
r
∂
∂r
(
r
∂V
∂r
)
+
1
r2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
4
3 Sistema de Coordenadas Esfe´ricas
Em um sistema de coordenadas esfe´ricas um ponto P e´ especificado pelas coordenadas r, θ e φ. A
coordenada r e´ o raio da esfera. A coordenada θ e´ o aˆngulo formado entre o eixo z cartesiano e o raio r
da esfera. A coordenada φ e´ o aˆngulo entre o eixo cartesiano x e a projec¸a˜o do raio da esfera no plano xy.
Os vetores unita´rios desse sistema sa˜o rˆ, θˆ e φˆ. Um vetor geral em um sistema de coordenada esfe´rica e´
escrito como::
~A = Ar rˆ + Aθ θˆ + Aφ φˆ
3.1 Produto Escalar
rˆ · rˆ = θˆ · θˆ = φˆ · φˆ = 1
rˆ · θˆ = rˆ · φˆ = φˆ · θˆ = 0
3.2 Produto Vetorial
rˆ × rˆ = θˆ × θˆ = φˆ× φˆ = 0
rˆ × θˆ = φˆ θˆ × rˆ = −φˆ
θˆ × φˆ = rˆ φˆ× θˆ = −rˆ
φˆ× rˆ = θˆ rˆ × φˆ = −θˆ
3.3 Transformac¸o˜es dos Vetores Unita´rios
rˆ = sin θ cosφ iˆ+ sin θ sinφ jˆ + cos θ kˆ
θˆ = cos θ cosφ iˆ+ cos θ sinφ jˆ − sin θ kˆ
φˆ = − sinφ iˆ+ cosφ jˆ
3.4 Elemento Infinitesimal de Comprimento d~l
d~l = dr rˆ + rdθ θˆ + r sin θdφ φˆ
5
3.5 Elemento de Volume
dv = r2 sin θ dr dθ dφ
3.6 Limites de Integrac¸a˜o
Coordenada Intervalo
r 0 ate´ ∞
θ 0 ate´ pi
φ 0 ate´ 2pi
3.7 Operadores de Campo
Seja ~A um campo vetorial em coordenadas esfe´ricas: ~A = Ar rˆ +Aθ θˆ +Aφ φˆ e V = V (r, θ, φ) uma func¸a˜o
escalar.
• Gradiente
~∇V = ∂V
∂r
rˆ +
1
r
∂V
∂θ
θˆ +
1
r sin θ
∂V
∂φ
φˆ
• Divergente
~∇ · ~A = 1
r2
∂
∂r
(
r2Ar
)
+
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂Aφ
∂φ
• Rotacional
~∇× ~A = 1
r sin θ
[
∂
∂θ
(sin θAφ)− ∂Aθ
∂φ
]
rˆ +
1
r
[
1
sin θ
∂Ar
∂φ
− ∂
∂r
(rAφ)
]
θˆ +
1
r
[
∂
∂r
(rAθ)− ∂Ar
∂θ
]
φˆ
• Laplaciano
∇2V = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂V
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂V
∂θ
)
+
1
r2sin2θ
∂2V
∂φ2
6