Estruturas Hiperestáticas e linhas de influência

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TEORIA DAS ESTRUTURASTEORIA DAS ESTRUTURAS
ESTRUTURASESTRUTURAS
HIPERESTÁTICAS (CONT.)HIPERESTÁTICAS (CONT.)
E LINHAS DEE LINHAS DE
INFLUÊNCIAINFLUÊNCIA
Autor: Me. Cleverson de Freitas
Revisor : Bruno Pere ira dos Santos
IN IC IAR
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introdução
Introdução
As estruturas estaticamente ou cinematicamente indeterminadas
(hiperestáticas ou hipergeométricas) podem ser resolvidas pelos métodos:
Método dos Esforços ou Método dos Deslocamentos. O primeiro, também
chamado de Método das Forças ou Método da Flexibilidade, onde os esforços
são diretamente obtidos. O segundo ganhou a sistematização no uso no
cálculo de estruturas. Também chamado Método da Rigidez ou Método
Indireto, calculam-se os deslocamentos e os esforços.
Já o estudo das linhas de in�uência em estruturas isostáticas determina os
esforços máximos provenientes de cargas, cuja posição pode variar, chamada
carregamento móvel, isto é, das cargas provenientes de veículos trafegando
sobre pontes ou viadutos.
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As primeiras manifestações tendentes a um racionalismo cientí�co nas
edi�cações são encontradas de forma marcante nas construções gregas e
romanas. Com as invasões bárbaras da Europa, este estágio cultural
desaparece quase por completo, iniciando-se na Idade Média e, com ela, uma
completa estagnação em todos os campos do pensamento humano. As
grandes obras deste período são frutos isolados do talento e da intuição
genial de seus construtores. Este estado de coisas permanece inalterado
durante séculos, até surgir o Renascimento, que traz no seu bojo a semente
das grandes transformações culturais e cientí�cas do nosso tempo. Com Da
Vinci (1452) e Galileu (1564), reiniciam-se as antigas preocupações do
racionalismo construtivo. Posteriormente, matemáticos e físicos, como
Bernouilli (1598), Newton (1643), Euler (1707) e Lagrange (1736), deram
grande impulso à mecânica.
Conceitos Básicos
Método das ForçasMétodo das Forças
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Tal impulso gerado pela Mecânica demora certo tempo até in�uenciar e ser
absorvido pela engenharia. É com o aparecimento das estradas de ferro, há
pouco mais de um século, que tem início o emprego do aço na construção de
pontes e, com isso, surge a necessidade de estudos mais amplos e precisos
sobre o assunto.
O Método das Forças deu origem a vários procedimentos, tais como: processo
da equação dos três momentos, processo da redução ao centro elástico e o
processo dos pontos �xos, dentre outros. A maioria destes processos tinha
por objetivo escapar da resolução do sistema de equações lineares, de difícil
resolução, na época, que resultava da aplicação geral do Método dos
Esforços.
Deslocamentos para esforços unitários:
Suponhamos uma barra apoiada simplesmente como mostra a Figura 4.1a,
na qual se consideram duas direções quaisquer 1 e 2.
saibamais
Saiba mais
John Hadji Argyris (1913 – 2004). Foi um
engenheiro civil grego considerado um dos
criadores do método dos elementos �nitos
(MEF). Ele formulou pela primeira vez o
método das Forças através da utilização do
Cálculo Matricial, visando sua aplicação em
computadores, ocorrida na metade do século
passado.  
Fonte: John... (2014).
jk
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Figura 4.1 - Barra simplesmente apoiada
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 4).
Agindo na barra e na direção 1, conforme a Figura 4.1b, está a força = 1.
Denomina-se o deslocamento na direção 1 proveniente da força = 1.
Na direção 2, a barra irá sofrer deslocamento . Assim, os deslocamentos
serão indicados por δ seguidos de um duplo índice, o primeiro indicando a
direção do deslocamento e o segundo a sua procedência.  
Se o carregamento da barra se der pela direção 2, conforme a Figura 4.1c, da
força = 1, teremos:
i. = deslocamento na direção 2, proveniente de = 1 que atua na
direção 2;
ii. = deslocamento na direção 1, proveniente de = 1 que atua na
direção 2.
Segundo o teorema de Maxwell, também conhecido como teorema da
reciprocidade, que enuncia: “o deslocamento do ponto k, provocado por uma
força unitária aplicada no ponto i, é igual ao deslocamento do ponto i,
provocado por uma força unitária aplicada no ponto k, desde que as direções
das forças e deslocamentos coincidam nos respectivos pontos. Isto é, =
”, ou seja, teremos: = .
P1
δ11 P1
δ21
P2
δ22 P2
δ12 P2
δk,i
δi,k δ12 δ21
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Poderíamos ter, ao invés da força, a atuação de um momento unitário. Nesse
caso, o deslocamento na direção do momento não é mais uma translação e,
sim, uma rotação. A Figura 4.2a mostra a mesma barra jk com a direção 2
substituída por uma rotação.
Aplicando-se a carga unitária na direção 1, ela irá provocar uma translação 
nessa direção e uma rotação na direção 2 (Figura 4.2b). Se aplicarmos o
momento unitário na direção 2 (Figura 4.2c), o deslocamento em 2 é uma
rotação ( ), enquanto o deslocamento em 1 é uma translação ( ). Como
consequência do teorema de Maxwell, temos também nesse caso, = ,
sendo curioso uma rotação ser medida com o mesmo número que mede uma
translação.
Deslocamentos para carregamentos reais:
Quando é necessário calcular os deslocamentos provenientes de uma carga
existente real, como mostra a Figura 4.3a, usa-se a sigla 0 (zero) para a
identi�cação destes deslocamentos. O deslocamento é o ocorrido na
Figura 4.2 - Barra simplesmente apoiada com inserção de uma rotação no
ponto 2
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 5).
δ11
δ21
M2
δ22 δ12
δ12 δ21
δ10
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direção 1, em consequência do carregamento real e é o deslocamento na
direção 2, proveniente do carregamento real.
Estes deslocamentos, calculados pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, exigem
as aplicações das cargas = 1 (para ) e = 1 (para ), conforme
mostram as Figuras 4.3b e 4.3c.
Figura 4.3 - Barra simplesmente apoiada com carregamento real aplicado
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 5).
Deslocamentos reais e deslocamentos proporcionais:
No caso das barras retas, geralmente, as deformações, realmente
importantes, são as provenientes da �exão. É assim que, na maior parte das
estruturas, a Hiperestática clássica permite a consideração apenas dos
deslocamentos devidos à �exão. Assim, procedendo, como aplicação do
Princípio dos Trabalhos Virtuais, um deslocamento qualquer pode ser obtido
por: , onde M é o momento �etor real e o momento
�etor virtual procedente de uma carga (ou momento) unitária, aplicada na
direção do deslocamento desejado. Contudo, nem sempre é necessário ou
prático trabalhar-se com os valores reais dos deslocamentos. Assim sendo,
teremos: onde (momento de inércia básico) é o
δ20
P1 δ10 P2 δ20
=   dxδreal ∫
MM
−
E⋅J M
−
= ⋅ Eδproporcional δreal Jb Jb
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valor escolhido para comparação com os momentos de inércia das barras da
estrutura. Assim sendo, teremos: 
No caso particular de barras retas com inércia constante,teremos:
Fatores de forma de 1ª espécie:
São as rotações nas extremidades de uma barra reta, simplesmente apoiadas
nesses pontos, quando numa das extremidades atua um momento unitário. A
Figura 4.4 mostra as duas situações de carregamento na barra , onde o
ângulo β é igual para os dois casos (princípio de Maxwell). As rotações
(ângulos) , e β são os fatores de forma de 1ª espécie para a barra .
Fatores de carga de 1ª espécie:
São os ângulos de rotação das extremidades apoiadas da barra, por ação de
seu carregamento real. De maneira análoga aos fatores de forma, os
diagramas resultantes proporcionais aos reais, tendo como fator de
proporcionalidade EJb, encontram-se tabelados.
De�inições
=   dxδproporcional Jb ∫
MM
−
J
=   dxδproporcional
Jb
J
∫
MM
−
J
jk
αjk αkj jk
Figura 4.4 - Carregamento aplicado na barra jk
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 8).
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A estrutura hiperestática é caracterizada por ter excesso de vínculos. Este
excesso é o grau de hiperestaticidade da estrutura, que chamamos de H. O
número de equações adicionais que se deve armar para a solução da
estrutura corresponde ao seu grau de hiperestaticidade. Assim, uma
estrutura três vezes hiperestática exige três equações para a sua resolução.
Seja a viga contínua da Figura 4.5a, duas vezes hiperestática. Se removermos
os apoios B e C, como mostra a Figura 4.5b, a viga passa a ser isostática.
Contudo, para compensar a mudança, aplicamos, como ações externas, as
forças e , que correspondem às reações dos apoios B e C desta viga
contínua. Se conseguirmos determinar os valores destas reações (incógnitas
hiperestáticas ou simplesmente hiperestáticos), a estrutura estará
inteiramente resolvida, pois as equações de equilíbrio da estática permitirão o
cálculo das reações de apoio restantes.
A Figura 4.5c mostra a deformação que sofre a viga se solicitada
exclusivamente pelo carregamento real. Nota-se que, em correspondência a
, há o deslocamento e, correspondendo a , o deslocamento .
Na Figura 4.5d, está apresentada a deformação sofrida pela viga, se sobre ela
agisse apenas a força . Se esta força fosse unitária, os deslocamentos nas
direções de e seriam e , respectivamente. Contudo, para um
valor qualquer de X1, diferente da unidade, os dois deslocamentos são .
, na direção de e . na direção de .
A Figura 4.5e apresenta a deformação da viga, dessa vez,” sujeita apenas à
força . Os deslocamentos nas duas direções são . e . .
Entretanto, nas duas direções consideradas, a viga não pode sofrer
deslocamentos, já que nesses pontos, na realidade, existem apoios. Dessa
forma, temos que:
Resolvendo-se o sistema (que chamaremos de Equações de Coerência), os
hiperestáticos e são obtidos e, com eles, tem-se a solução da
X1 X2
X1 δ10 X2 δ20
X1
X1 X2 δ11 δ21
δ11
X1 X1 δ21 X1 X2
X2 δ12 X2 δ22 X2
{
⋅ + ⋅ + = 0δ11 X1 δ12 X2 δ10|
⋅ + ⋅ + = 0δ21 X1 δ22 X2 δ20
X1 X2
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estrutura.  
A estrutura, representada através da Figura 4.5b, é chamada de Estrutura
Fundamental e, a partir dela, o problema é resolvido. A Estrutura
Fundamental é sempre isostática e obtida por meio da estrutura dada pela
retirada dos vínculos superabundantes. É evidente, porém, que dentre o
número in�nito de estruturas fundamentais, existe uma ou mais, cuja escolha
irá tornar mais simples os cálculos. É o que veremos em seguida.
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Figura 4.5 - Viga hiperestática e as deformações devido as simulações de
força aplicada
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 11) .
Escolha da Estrutura Fundamental
A Figura 4.6f mostra o diagrama de momentos �etores para a viga AD,
provenientes apenas do carregamento real. Este diagrama chamaremos de
. O diagrama da Figura 4.6g é o resultado do carregamento da viga
apenas com a carga e será chamado de . Na Figura 4.6h, temos
o diagrama de , consequente do carregamento da viga exclusivamente
por .
M0
  =  1X1 M1
M2
  =  1X2
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Figura 4.6 - Viga hiperestática e os diagramas de momento �etor
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p.14).
De acordo com o que vimos, então, obtém-se:
 da combinação de com ele próprio;
 da combinação de com ele próprio;
δ11  M1
δ22  M2 
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 da combinação de com ;
 da combinação de com ;
 da combinação de com .
Contudo, cada uma das combinações dos diagramas deve ser feita para os
três tramos da viga contínua, ou seja, .
Vê-se, portanto, que o cálculo dos exige um trabalho muito grande, sem
dúvida a parte mais laboriosa da solução. Porém, obtidos estes valores, as
incógnitas e serão determinadas pela resolução do sistema de
equações. O momento �etor num ponto s qualquer da estrutura se obterá
por:  
Ou, de um modo geral, para um número n de hiperestática:
Contudo, o problema poderá ser muito simpli�cado se tomarmos como
Estrutura Fundamental da viga contínua a da Figura 4.7i, que se trata de uma
viga Gerber, cujas rótulas estão situadas imediatamente à esquerda do apoio
B e imediatamente à direita do apoio C. As incógnitas hiperestáticas e
, dessa forma, são momentos aplicados às rótulas.   Evidentemente, as
equações de coerência são as mesmas que no sistema de equações, porém,
os valores   são obtidos mais facilmente.
δ12  =  δ21 M1 M2
δ10 M1 M0
δ20 M2 M0
δ  =  δAB  +  δBC  +  δCD
δ
X1 X2 
MS  =  M0S  +  M1S.X1  +  M2S.X2
=   + ⋅MS M0S ∑
i=1
n
MiS Xi
X1
X2
δ
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Figura 4.7 - Viga hiperestática transformada em viga Gerber, devido às rótulas
nos apoios BC
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p.16).
No caso da viga contínua, as inércias das barras que a constituem são
perfeitamente identi�cadas com as que constam nas tabelas. No entanto, no
caso dos pórticos, há necessidade do estabelecimento de critérios para sua
perfeita de�nição.
Seja, por exemplo, o pórtico da Figura 4.8a. Os eixos das barras verticais são
obtidos tirando-se, pelas suas bases, retas verticais que dividem ao meio as
dimensões destes pontos. A barra horizontal se de�ne pela reta horizontal
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que divide ao meio a parte mais estreita desta barra. Assim, procedendo-se
�cam obtidos os comprimentos , , das três barras que
constituem o pórtico, representado esquematicamente na Figura 4.8b. As
inércias das três barras são de�nidas pela determinação das dimensões , ,
, e que permitem o cálculo dos momentos de inércia das seções das
extremidades.
LAB LBC LCD
a b1
c1 c2 d 
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Figura 4.8 - Pórtico ABCD
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 25).
Em alguns casos, uma das dimensões de uma das extremidades é tão grande,
em relação à dimensão da outra, que pode ser considerado in�nitamente
grande o momento de inércia desta seção. No nosso pórtico, é o caso da
barraCD.
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Arranjos de Cargas
Determinadas estruturas apresentam um eixo de simetria e são denominadas
Estruturas Simétricas. Para estes tipos de estruturas, as cargas são
classi�cadas em:
Cargas assimétricas;
Cargas simétricas;
Cargas antimétricas (ou antissimétricas).
Veremos mais adiante que uma estrutura simétrica é sempre mais fácil ser
calculada para cargas simétricas ou antimétricas do que para cargas
assimétricas. Porém, é possível a substituição de um carregamento
assimétrico pela soma de um simétrico com outro antimétrico.
Além disso, os mesmos arranjos feitos com cargas concentradas podem ser
feitos com cargas distribuídas e momentos.
Estruturas Simétricas
Dois casos devem ser considerados:
a. Simetria sobre um apoio;
b. Simetria no meio de uma barra.
Passamos, então, à análise de cada um dos casos apresentados.
a) Simetria sobre um apoio:
O apoio pode ser constituído de uma barra, conjunto de barras ou ainda um
aparelho de apoio comum.
Carregamento simétrico:
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Se os carregamentos forem simétricos em relação ao eixo de simetria da
estrutura, sendo evidente que não poderão existir rotações ou translações do
nó central, pode-se considerar neste ponto a existência de um engastamento
perfeito.  
Carregamento antimétrico:
O carregamento antimétrico em uma viga contínua, por exemplo, permite a
liberdade total de giro da mesma sobre o seu apoio central. Não havendo
impedimento ao giro, não existirá momento �etor neste ponto. Nesse caso,
então, particularmente, que se repete sempre em todas as estruturas
simétricas de grau de hiperestaticidade H = 1, a estrutura pode ser resolvida
como se fosse isostática.  
É evidente que quando o grau de hiperestaticidade é maior que a unidade, a
solução não resulta de forma tão simples, porém, o trabalho de cálculo será
muito menor com a consideração apenas de uma das metades da estrutura.  
Uma vez obtido o diagrama da parte esquerda da estrutura, o mesmo poderá
ser reproduzido na parte direita, invertendo-se as posições das superfícies e,
como parte �nal, ajustando-se os sinais dentro da convenção adotada.
Estando a simetria da estrutura sobre uma barra, a mesma pode ser
considerada pela metade, porém, a barra central deverá ser considerada
fracionada em duas outras, cada uma com a metade da inércia da barra
verdadeira. Se nesta barra existirem carregamentos, estes deverão ser
divididos em duas partes, cada uma atuando em cada metade da barra.
b) Simetria no meio de uma barra:
Ocorre quando o eixo de simetria da estrutura passa no meio de uma barra e,
da mesma forma, como no Item a, temos dois tipos de carregamentos a
considerar.
Carregamento simétrico:
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Vamos supor um carregamento simétrico agindo sobre uma estrutura, cuja
simetria ocorre no meio da barra. É óbvio que embora o ponto médio da
barra central possa sofrer abaixamento, não poderá sofrer rotação, em razão
da simetria da estrutura e do carregamento. Assim sendo, a estrutura poderá
ser considerada pela metade, onde se admite a existência de vínculos que
impedem a rotação e a translação horizontal, deixando livre a translação
vertical do ponto central da barra intermediária. Além disso, os
deslocamentos impedidos provocarão o surgimento de esforços
hiperestáticos que, juntamente com outros existentes na estrutura, deverão
ser determinados.
Carregamento antimétrico:
Vamos supor a ação de um carregamento antimétrico sobre uma estrutura
simétrica pelo meio da barra. Não havendo impedimentos ao deslocamento
horizontal da estrutura, podemos observar os deslocamentos dos nós, bem
como o ponto médio da estrutura de valores iguais. Além disso, podemos
perceber também que a linha elástica da barra central apresenta, no centro,
um ponto de in�exão e este ponto não sofre translação vertical. Assim sendo,
deve ser admitida a existência de um hiperestático no ponto central, que se
somará aos outros eventualmente existentes na estrutura.
praticar
Vamos Praticar
O engenheiro calculista do escritório de cálculo estrutural foi chamado para analisar
 uma edi�cação, apresentando diversas manifestações patológicas na sua estrutura.
Entretanto, o engenheiro percebeu que um pórtico lateral, conforme o modelo
estrutural da �gura a seguir, com a possibilidade de ser reaproveitado nar
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Radio 
construção de uma nova edi�cação. Dado a sua experiência e vivência, o engenheiro
utilizou seus conhecimentos de hiperestática e do Método das Forças para resolver
o problema e decidir sobre o pórtico hiperestático. Da Teoria das Estruturas,
 conhecemos que, no Método das Forças por de�nição, é necessária a escolha de
 Sistema Principal que seja isostático e estável.
Veri�que, dentre os modelos apresentados a seguir, e assinale aquele que
esquematiza o Sistema Principal com seus hiperestáticos que resolveu o problema
estudado pelo engenheiro:
a)
Figura 4.9 - Modelo estrutural do pórtico lateral
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Radio 
Radio 
b)
c)
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Radio 
Radio 
d)
e)
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Todas as estruturas têm de satisfazer exigências de equilíbrio, força-
deslocamento e compatibilidade de deslocamentos, a �m de assegurar sua
segurança. Já sabemos que há duas maneiras de satisfazer essas exigências
ao se analisar uma estrutura indeterminada estaticamente. A análise pelo
método da força, discutida no tópico anterior, é baseada na identi�cação das
forças redundantes desconhecidas e, então, na satisfação das equações de
compatibilidade da estrutura. Isso é feito ao se expressar os deslocamentos
em termos das cargas, usando as relações de força-deslocamento. A solução
das equações resultantes produz as reações redundantes e, então, equações
de equilíbrio são usadas para determinar as reações restantes na estrutura.
Procedimentos Gerais
O método dos deslocamentos funciona de maneira oposta ao método das
forças. Primeiro, ele exige que as equações de equilíbrio da estrutura sejam
satisfeitas. Para isso, os deslocamentos desconhecidos são escritos em função
das cargas, usando as relações força-deslocamento, então, essas equações
Método dosMétodo dos
DeslocamentosDeslocamentos
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são resolvidas para os deslocamentos. Uma vez que tenham sido obtidos, as
cargas desconhecidas são determinadas a partir das equações de
compatibilidade, usando as relações de força-deslocamento. Todo método
dos deslocamentos segue esse procedimento.
Graus de liberdade:
Quando uma estrutura está carregada, pontos especi�cados nela, chamados
de nós, passarão por deslocamentos desconhecidos. Esses deslocamentos
são referidos como graus de liberdade para a estrutura e, na análise pelo
método dos deslocamentos, é importante especi�caresses graus de
liberdade, tendo em vista que eles se tornam as incógnitas quando o método
é aplicado. O número dessas incógnitas é referido como o grau no qual a
estrutura é indeterminada cinematicamente.  
Para encontrar a indeterminação cinemática, podemos imaginar que a
estrutura consiste em uma série de membros conectados aos nós, que
normalmente estão localizados na ligação de dois ou mais membros, nos
apoios, nas extremidades de um membro ou onde os membros têm uma
mudança súbita na seção transversal. Em três dimensões, cada nó em um
pórtico ou viga pode ter, no máximo, três deslocamentos lineares e três
deslocamentos rotacionais; e nas duas dimensões cada nó pode ter, no
máximo, dois deslocamentos lineares e um deslocamento rotacional. Além
disso, deslocamentos nodais podem ser restritos pelos apoios ou por
pressupostos baseados no comportamento da estrutura. Por exemplo, se a
estrutura é uma viga e apenas a deformação em razão da �exão é
considerada, então, não pode haver deslocamento linear ao longo do eixo da
viga, tendo em vista que esse deslocamento é causado por uma deformação
de força axial.
Em resumo, especi�car a indeterminação cinemática ou o número de graus
de liberdade irrestritos para a estrutura é o primeiro passo necessário
quando aplicamos a análise pelo método do deslocamento. Ele identi�ca o
número de incógnitas no problema, com base nos pressupostos feitos com
relação ao comportamento de deformação da estrutura. Além disso, uma vez
que esses deslocamentos nodais sejam conhecidos, a deformação dos
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membros estruturais pode ser especi�cada completamente e obtidos os
esforços internos  nos membros.
Deslocabilidade e Sistema
Hipergeométrico (SH)
A disposição deformada de qualquer barra pode ser determinada tanto pelos
deslocamentos, como pelas rotações dos nós extremos da barra incluindo o
carregamento aplicado.
Deslocabilidades são as componentes de deslocamento e rotações
nodais que estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para
determinar a con�guração deformada de uma estrutura. Ou seja,
são as incógnitas do método dos deslocamentos (MARTHA, 2010, p.
29).
Quando tivermos uma estrutura em que todas as suas deslocabilidades forem
de�nidas (com valores conhecidos), teremos uma estrutura cinematicamente
determinada. O método dos deslocamentos utiliza, nos casos básicos, uma
estrutura cinematicamente determinada obtida através da estrutura original
pela adição de vínculos. Esta estrutura, então, é chamada de sistema
hipergeométrico (SH). Ressaltamos que para uma dada estrutura existe um
único sistema hipergeométrico (SH).
Desenvolvimento do Método
Veja a estrutura hiperestática da Figura 4.10a, onde analisamos a estrutura e
veri�camos a existência de três deslocabilidades: os deslocamentos horizontal
e vertical além da rotação no nó C.
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Figura 4.10 - (a) estrutura hiperestática; (b) sistema hipergeométrico
Fonte: Martha (2010, p. 29).
a) Condições de compatibilidade entre deslocamentos:
Esta estrutura pode ser vista  como o sistema hipergeométrico adequado com
as deslocabilidades do sistema original, determinado segundo a Figura 4.9b,
ou seja, todas as deslocabilidades são vedadas pela colocação de vínculos e
bloqueio dos deslocamentos e rotações. As deslocabilidades , e 
são as incógnitas a serem determinadas;
b) Leis constitutivas:  
É a aplicação dos conceitos e hipóteses nos cálculos dos coe�cientes
utilizados;
c) Condições de equilíbrio:
Para que haja o equilíbrio do sistema hipergeométrico, a condição necessária
  é que as reações de apoio, nos vínculos �ctícios, sejam nulas, pois estes
vínculos são inexistentes na estrutura original. Pelo princípio da superposição
dos efeitos, a estrutura também é estudada considerando a soma dos casos
básicos mostrados na Figura 4.11.
D1 D2 D3
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O método con�gura-se na construção de hipóteses básicas de carregamento
(caso – Figura 4.11) e deslocamentos determinados (recalques) aplicados ao
sistema hipergeométrico (SH). O caso 0 (Figura 4.11) corresponde ao ,
onde é aplicado apenas o   carregamento externo original. Os seguintes
 (Figura 4.11) correspondem ao , onde há apenas uma das deslocabilidade
consideradas unitárias . As reações nos apoios �ctícios nas
direções das deslocabilidades D_i são calculadas com a aplicação das tabelas
que resumem os resultados obtidos pelo método das forças. Logo, temos
que:
 é a reação de apoio �ctício ligada à deslocabilidade causada pela
solicitação externa (caso ), que é  chamada termo de carga. é a força ou
momento atuante na direção para manter a estrutura (SH) em equilíbrio
quando é aplicada a deformada, onde e as demais deslocabilidades
são nulas (caso ), chamada de coe�ciente de rigidez global da estrutura.  
Figura 4.11 -  Con�guração deformada da estrutura formada pela
superposição de con�gurações deformadas básicas
Fonte: Martha (2010, p. 29).
0
SH
SH
(   =  1)Di
0βi Di
0 Kij
Di
  =  1Dj
j
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Os coe�cientes e são extraídos da aplicação direta de formulários.
Aplicando-se as condições de equilíbrio do nó , extrai-se um sistema linear
da seguinte maneira:
d) Sistema de equações:
Escrevendo o sistema de equações de equilíbrio na forma matricial, temos:
Ou ainda: , onde é o vetor de termos de
carga, é a matriz de rigidez global da estrutura e é o vetor das
deslocabilidades.
Do teorema de Maxwell, tem-se a seguinte de�nição . Temos,
então, que a matriz de rigidez é quadrada e simétrica, não possui vínculo
com solicitação externa e é exclusiva para cada estrutura;
e) Obtenção dos esforços �nais:
Os esforços �nais, isto é, momentos �etores, esforços cortantes, esforços
normais e reações de apoio da estrutura hiperestática são calculados pela
superposição dos efeitos, de posse dos seus valores, nos casos básicos, pela
expressão:
Para a estrutura em questão, obtemos o momento �etor de uma seção da
estrutura através da aplicação da combinação dos momentos �etores nos
casos básicos:  
  0βi Kij
C
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
β10  +  K11 .  D1  +  K12 .  D2 +   K13 .  D3  =  0 
β20 +  K21 .  D1  +  K22 .  D2 +   K23 .  D3  =  0 
β30 +  K31 .  D1  +  K23 .  D2 +   K33 .  D3  =  0
+ =
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
β10
β20
β30
⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
K11
K21
K31
K12
K22
K32
K13
K23
K33
⎤
⎦
⎥
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
D1
D2
D3
⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
0
0
0
⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
{β0}   +   [K] . {D}   =   {0} {β0}
[K] {D}
  =  Kij Kji
[K]
E = + Σ ⋅E0 Ei Di
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f) Roteiro para o método dos deslocamentos:
I. Escolha o sistema hipergeométrico (SH);
II. Obtenção dos termos de carga ( ) (caso );
III. Obtenção dos coe�cientes de rigidez ( ) (demais casos);
IV. Formulação do sistema de equações (equilíbrio);
V. Solução do sistema de equações (obter deslocabilidades);
VI. Obtenção dos efeitos �nais (superposição dos efeitos).
Termos de Carga ( ) e Coe�icientes
de Rigidez ( )
Por meio do emprego do método dos deslocamentos, devemos utilizar a
convenção de sinais do método para deslocabilidade, cargas, reações de
apoio e esforços internos.
No método dos deslocamentos, não há a combinação de diagramas de
momentos �etores dos casos básicos, assim, é frequente a utilização de
diagramas esquemáticos que indicam apenas os momentos �etores nas
extremidadesdas barras e com o emprego dos sinais, segundo a convenção
do método.  
a) Termos de carga ( ):
Os termos de carga são calculados a partir das soluções básicas de vigas
bi-engastadas, também conhecidas como soluções de engastamento perfeito.
Justi�ca-se, pois o caso da superposição de casos básicos do método é
justamente uma situação de engastamento perfeito. O método das forças é o
caminho pelo qual se obtém esses resultados;
M   =  M0  +  M1D1  +  M2D2  +  M3D3
βi0 0
Kij
βi0
Kij
βi0
βi0
0
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b) Coe�cientes de rigidez globais ( ):
Para os coe�cientes de rigidez globais , temos a combinação de
coe�cientes de rigidez locais, isto é, coe�cientes de rigidez associados a cada
uma das barras que se conecta ao nó em questão.
Por sua vez, os coe�cientes de rigidez locais são calculados através das
soluções para deslocamentos ou rotações impostas isoladamente em uma
das extremidades de uma viga bi-engastada.
Entretanto, nas estruturas que possuem cargas ou momentos aplicados ao
longo do comprimento da barra, isto é, fora dos nós, aplicam-se as tabelas,
onde o ponto de aplicação da carga deve ser considerado como um nó. Assim,
no , existindo a inclusão de vínculos �ctícios, tem-se que a carga ou
momento atuaria diretamente sobre apoios.
Outra alternativa para os casos expostos é a aplicação de soluções de viga bi-
engastada para cargas concentradas e momentos aplicados ao longo de
barras.
Kij
Kij
SH
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Estruturas que possuem rótulas em apoios ou rótulas internas também
podem ter sua solução simpli�cada para utilização de soluções básicas para
vigas engastadas em uma extremidade e rotuladas na outra.
reflita
Re�ita
Até o �nal da década de 50, a análise
de estruturas indeterminadas era um
procedimento longo e desgastante. A
análise de estruturas complexas
poderia levar meses de cálculos dos
mais experientes engenheiros de
estruturas. Além disso, não havia
muita precisão dos resultados �nais,
entretanto, com o emprego da
informática, os softwares de cálculo
estrutural trouxeram agilidade e
precisão às análises de estruturas.
Porém, em 1977, o acidente estrutural
ocorrido no Hartford Civic Center
Arena é considerado um mau exemplo
de como um projeto estrutural
desenvolvido pelo software pode ser
desastroso. A culpa é do software ou
do engenheiro?
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
praticar
Vamos Praticar
O modelo estrutural amplamente aplicado nos casos básicos, por de�nição, é o de
uma estrutura cinematicamente determinada, tendo por base uma estrutura
original com a adição de vínculos na forma de apoios �ctícios. Denominamos esse
modelo como Sistema Hipergeométrico (SH). Dado  o conceito anterior enunciado,
analise as seguintes a�rmações:
I. a solução pelo Método dos Deslocamentos pode ser vista com uma
superposição de soluções cinematicamente determinadas, isto é, de
con�gurações deformadas conhecidas;
II. as deslocabilidades não podem ser enunciadas como incógnitas do
Método dos Deslocamentos;
III. as deslocabilidades são os parâmetros que de�nem (completamente)
a con�guração deformada de uma estrutura;
IV. os apoios �ctícios adicionados à estrutura servem para liberar as
deslocabilidades e são identi�cados de acordo com a numeração das
deslocabilidades.  
Está correto o que se a�rma em:
a) I e II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, II e IV, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
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Neste tópico, vamos estudar o traçado das linhas de in�uência em estruturas
isostáticas, estudo que serve para a determinação dos esforços máximos
provenientes de cargas, cuja posição pode variar, chamado carregamento
móvel, como é o caso das cargas provenientes de veículos trafegando sobre
pontes ou viadutos. As linhas de in�uência representam a variação de um
esforço solicitante (ou reação de apoio) que se veri�ca em uma seção
qualquer (�xa) da estrutura, causada por um conjunto �xo de cargas aplicado
à estrutura.
Assim, dessa forma, de�nimos a linha de in�uência como o diagrama que nos
fornece, para um efeito “E” qualquer, em suas ordenadas, a in�uência de uma
carga móvel unitária.
Para Soriano e Lima (2004), o trem-tipo é o conjunto das cargas móveis
usualmente de�nidas a partir das normas técnicas da ABNT (Associação
Brasileira de Normas Técnicas). A posição de um veículo na faixa de
rolamento de uma ponte rodoviária, com as cargas móveis uniformemente
distribuídas p e p’ na pista de rolamento e nos passeios, respectivamente,
Linhas deLinhas de
In�uência e CargasIn�uência e Cargas
 Móveis Móveis
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de�nidas de acordo com a classe da ponte, está ilustrada na Figura 4.12a e, na
Figura 4.12b, temos a representação do veículo tipo 12 da NBR 7188.
Figura 4.12 Cargas móveis em ponte rodoviária
Fonte: Soriano et al. (2004, p. 220).
Obtenção dos Efeitos a Partir das
Linhas de In�uência
Vamos supor que a LI (linha de in�uência), de um efeito E, seja previamente
obtida através da aplicação da carga móvel, conforme a Figura 4.13.P = 1
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Assim, conhecendo a LI de E, vamos carregá-la da seguinte maneira:
Com uma carga concentrada ( ):
A aplicação de uma carga concentrada apresenta a de , conforme a
Figura 4.14.
Figura 4.13 -  Linha de in�uência com a aplicação da carga móvel P
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 158).
F
LI E
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Figura 4.14 -  Linha de in�uência com a aplicação da carga concentrada F
Fonte:  Pessoa Filho et al. (1995, p. 158).
Assim, temos que: 
Várias cargas concentradas ( ):
O efeito provocado pelas cargas concentradas é obtido pela expressão
 ou genericamente: .
Assim, obtemos a de , conforme a Figura 4.15.
E  =  F ⋅ y
F1...Fn
E  =  F1y1  +  F2y2 − F3y3 E  =   ⋅∑n
i=1 Fi yi
LI E
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Figura 4.15 -  Linha de in�uência com a aplicação de várias cargas
concentradas
Fonte:  Pessoa Filho et al. (1995, p. 159).
Carga uniformemente distribuída ( ):
O efeito E provocado pelo carregamento distribuído, representado na Figura
4.16, é obtido pela expressão , portanto:
q
dE  =  q ⋅ dx ⋅ y
E  =   q ⋅ y ⋅ dx∫ x2
x1
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Figura 4.16 -  Linha de in�uência com a aplicação do carregamento
distribuído
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 159).
Caso a carga distribuída q seja constante, teremos:
 com (área da linha de
in�uência entre e ), ou seja, diante de uma carga uniformemente
distribuída, o efeito ( ) será obtido multiplicando-se a taxa de carga ( ) pela
área do diagrama ( ) da correspondente.
Carga indiretas:
A atuação de uma carga sobre a estrutura principal se faz indiretamente
através dos apoios da viga secundária, conforme a Figura 4.17. Assim,
teremos:
E  =  q y ⋅ dx  ⇒ E =  q ⋅ S∫ x2
x1
S  =  S1  −  S2
x1x2
E q
S LI
F
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Figura 4.17 - Linha de in�uência de uma carga indireta
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 159).
Se a possui duas ordenadas e , que multiplicadas, respectivamente,
por e e adicionadas fornecem o efeito , deve haver uma ordenada 
que multiplicada por resulte no mesmo valor de E: 
Assim, igualando-se as expressões, teremos:
 e, substituindo-se e , resulta em:
, onde �nalmente obtemos:
, que é a equação de uma reta que passa pelos
pontos e , onde e .
Concluindo, a para cargas indiretas tem variação linear entre os pontos de
aplicação da carga indireta (apoios da viga secundária).  
  =    e  =   ⇒ E  =   ⋅ + ⋅V1
F(L−x)
L
V2
Fx
L
V1 y1 V2 y2
LI y1 y2
V1 V2 E y
F E  =  F ⋅ y
⋅ + ⋅   =  F ⋅ yV1 y1 V2 y2 V1 V2
F ⋅ y = +  
F(L−x)
L
Fx
L
y = [ ] + [ ](L−x)
L
y1
x
L
y2
( ,   )x1 y1 ( ,   )x2 y2   =  0 x1   =  Lx2
LI
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Obtenção das Linhas de In�uência
para as Estruturas Isostáticas
Aplicamos, inicialmente, os conceitos às vigas isostáticas que, para a obtenção
da , faremos uma carga móvel percorrer a estrutura, caso a caso.
Estudaremos, assim, as correspondentes aos efeitos estáticos mais
comuns: reações de apoio, momentos �etores e forças cortantes.
Viga engastada e livre (balanço):
Dada a viga em balanço da Figura 4.18, supomos uma carga unitária
percorrendo a estrutura. Podemos obter as equações, a seguir, que geram as
linhas de in�uência representadas na sequência.
LI P   =  1
LI
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Dessa forma, teremos:
i. Reações de apoio:
ii. Esforço cortante na seção :
 para 
 para 
iii. Momento �etor na seção :
 para 
 para 
Viga biapoiada:
Para a viga biapoiada de vão L, percorre uma carga unitária , assim,
obtemos as LI, conforme as equações a seguir e a Figura 4.19. No estudo das
linhas de in�uência de esforços simples, devemos examinar sempre
separadamente as possibilidades de carga unitária posicionada à esquerda ou
à direita da seção em estudo. A linha de in�uência do esforço cortante em
Figura 4.18 - Linha de in�uência para a viga em balanço
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 163).
VA  =   + 1
MA =   − z
S
QS  =  0 z   x 
S
MS  =  0 z  ≤  x 
MS  =   −   (z  x) z  >  x 
P   =  1
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uma seção apresenta sempre uma descontinuidade igual a 1 nesta seção em
estudo.
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Dessa forma, teremos:
Figura 4.19 - Linha de in�uência para a viga biapoiada
Fonte: Pessoa Filho et al. (1995, p. 164).
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i. de :
 Equação da de (1º grau), onde:
ii. de :
 Equação da LI de (1º grau), onde:
para , e para , 
iii. de :
Para 
 Equação da LI de \ 
Para 
 Equação da LI de MS  no intervalo S-B, onde:
para , e para 
iv. de :
Para ( ): Equação da de no intervalo
, onde:
para , e para , 
 Equação da de no
intervalo , onde:
para , e para , 
LI VA
∑MB  =  0 :  VA.L  P . (L  x)   =  0
=  VA
L−x
L
LI VA 
LI VB
∑MA  =  0 :  VB.L  P .  x  =  0
=  VA
x
L
VB 
x  =  0 VB  =  0 x  =  L VB  =  1
LI MS
(0  ≤  x  ≤  a) :  MS  =  VB .  b
=  MS
x⋅b
L
MS MS  =  A. b/L
(a  ≤  x  ≤  L) :  MS  =  VA .  a
=   ⋅ aMS
L−x
L
x  =  a MS  =  a. b/L  x  =  L,  MS  =  0
LI Qs
0 ≤ x ≤ a QS  =  VB  =  x/L LI QS
A − S
 x  =  0 QS  =  0 x  =  a QS  =  a/L
(a  ≤  x  ≤  L)   :  QS  =   −  VA = −L−x
L
LI Qs
S − B
x  =  a QS  =   − b/L x  =  L QS  =  0
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praticar
Vamos Praticar
O estagiário do escritório de projetos e aluno do curso de Engenharia Civil veio até
você, o engenheiro de estruturas, com as seguintes a�rmações a respeito das linhas
de in�uência:
i. a determinação das expressões de cálculo para as linhas de in�uência é, de
fato, simples para o caso de estruturas isostáticas;
ii. o estabelecimento do equilíbrio também pode ser utilizado para
determinar as linhas de in�uência do esforço cortante e do momento �etor
em uma seção genérica S em uma viga bi-apoiada;
iii. o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) oferece um método alternativo
para o traçado de linhas  de  in�uência;
iv. o método cinemático não é interessante para a determinação do aspecto
de uma LI, isto é, quando se deseja obter apenas a forma da LI.
Você, então, auxilia o estagiário a marcar as alternativas corretas. São elas:
a) I e II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
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praticar
Vamos Praticar
Um renomado engenheiro de estruturas foi convidado pela banca de um concurso
público para desenvolver uma questão a respeito de cargas móveis em estruturas.
Nessa questão, ele propôs as seguintes assertivas:
i. no estudo das cargas móveis, temos apenas duas combinações de
carregamentos atuantes: veículos pesados e veículos leves;
ii. trens-tipo são constituídos de cargas concentradas ou uniformemente
distribuídas de valores conhecidos e que guardam uma distância
conhecida e constante entre si;
iii. no Brasil, a norma 7188 de�ne a classe da ponte como 45, 36 ou 12, devido
justamente aos modelos de caminhões de 45 tf  e 36 tf com três eixos e 12
tf com dois eixos;
iv. no estudo das cargas móveis, basta o cálculo de uma única posição da
carga que percorre a estrutura para obtermos o seu esforço.
Está correto o que se a�rma em:
a) I e II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e III, apenas.
d) I, II e IV, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Guidance for Implementation of the AASHTO Strategic
Highway Safety Plan
Editora: Transportation Research Board National
Research
Autores: Neuman et al.
ISBN: 978-0-309-09936-3
Comentário: A norma da American Association of State
Highway and Transportation O�cials (AASHTO) é
responsável nos Estados Unidos pela especi�cação das
cargas móveis de rodovias, pontes e viadutos
rodoviários, além da de�nição do chamado caminhão-
padrão, necessário para os projetos das pontes em
rodovias.
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conclusão
Conclusão
Veri�camos os métodos para o cálculo das estruturas estaticamente ou
cinematicamente indeterminadas (hiperestáticas ou hipergeométricas), o
Método dos Esforços, que consiste nas equações que satisfazem as exigências
de compatibilidade e o Método dos Deslocamentosque proporciona uma
solução direta para as reações redundantes. Já no estudo das linhas de
in�uência em estruturas isostáticas, veri�camos que são construídas para
uma força interna ou para uma reação em um ponto especí�co da estrutura,
avaliando-se o valor da força no ponto em particular à medida que uma carga
unitária se move pela estrutura, isto é, das cargas provenientes de veículos
trafegando sobre pontes ou viadutos.
referências
Referências
Bibliográ�cas
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. São Paulo: Pearson, 2013.
JOHN Hadji Argyris 19 August 1913 — 2 April 2004. Biograf. Mems Fell. R.
Soc. 60, 23-37 (2014). Disponível em:
08/03/2024, 09:53 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=Yed7YtaENKyz9cbOPI5Ylg%3d%3d&l=QJsmN8yO5yoT3vCE3N8jwQ%3d%3d&cd=kb5vn… 53/53
https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rsbm.2013.0003. Acesso
em: 13 fev. 2020.
MARTHA, L. M. Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2010.
PESSOA FILHO, P. M.; OGURA, S.; INOUE, M. H.; FREITAS, J. A. Cadernos de
Estruturas: Método dos esforços. Curitiba: UFPR, 1995.
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna, 2004.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 9. ed. São Paulo: Globo, 1989.
https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rsbm.2013.0003