Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua médida é a média aritmética das me...

Seja um trapézio ABCD, com AB e CD sendo as bases e AD e BC os lados não paralelos. Sejam M e N os pontos médios de AD e BC, respectivamente. Para mostrar que MN é paralelo às bases AB e CD, podemos utilizar o fato de que os pontos médios de um segmento são conectados por um segmento de reta paralelo ao segmento original. Portanto, temos que MN é paralelo a AD e BC. Para mostrar que a medida de MN é a média aritmética das medidas das bases AB e CD, podemos utilizar o fato de que MN divide o trapézio ABCD em dois trapézios congruentes. Seja E o ponto de interseção de MN com AB e F o ponto de interseção de MN com CD. Temos que: - AM = MD e BN = NC (pois M e N são pontos médios de AD e BC, respectivamente) - ME = NE e NF = MF (pois M e N são pontos médios de MN) Além disso, temos que: - AE = EB e CF = FD (pois M e N são pontos médios de AD e BC, respectivamente) Portanto, temos que os trapézios AMNE e BNFM são congruentes, o que implica que suas áreas são iguais. Assim, temos que: - Área do trapézio AMNE = (AB+MN)/2 * h - Área do trapézio BNFM = (CD+MN)/2 * h Onde h é a altura do trapézio. Como os trapézios são congruentes, suas áreas são iguais, o que implica que: - (AB+MN)/2 * h = (CD+MN)/2 * h Simplificando, temos que: - AB+MN = CD+MN - AB = CD Portanto, temos que a medida de MN é a média aritmética das medidas das bases AB e CD.