Lista_de_exercicio_para__2_Avaliacao_de_Algebra_Superior

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Piaúı
Centro de Ciências da Natureza
Departamento de Matemática
Acadêmico(a): Marcelo Ayrton S. Marques NOTA
Curso: Bacharelado em Matemática Peŕıodo: 2023.2
Disciplina: Álgebra Superior Professor: Barnabé Pessoa
Lista de exerćıcio para 2°Avaliação de Álgebra Superior
1. No anel Z5[x], calcule:
(a) (2̄ + 3̄x+ 4̄x2) + (1̄ + 2̄x+ 4̄x2);
(b) (2̄ + 3̄x+ 4̄x2).(1̄ + 2̄x+ 4̄x2);
(c) (1̄x+ 1̄x3).(1̄ + 1̄x2 + 2̄x3).
2. Mostre que se f, g ∈ R[x] são não nulos, então
(a) ∂(f + g) ≤ max{∂(f(x)), ∂(g(x))}
(b) ∂(f(x) · g(x)) ≤ ∂(f(x)) + ∂(g(x))
(c) Se R é domı́nio, então ∂(f(x) · g(x)) =
∂(f(x)) + ∂(g(x)).
3. Se R é um domı́nio e f(x) ∈ R[x], então o resto da
divisão de f(x) por g(x) = x− a, para cada a ∈ R
é f(a).
4. Sejam f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, g(x) = x5 − x4 +
x3 − 2x − 3, h(x) = 2x3 − 2x2 − x + 2, r(x) =
−2x3 +3x2 +5x− 3 e s(x) = −x2 +x− 3 em Z[x].
Efetue a operação e dê o grau dos resultados não
identicamente nulos:
(a) f(x) + g(x)
(b) x2 · f(x)− g(x) + x · h(x)
(c) g(x) + (3− 2x2) · h(x)
(d) g(x) + h(x) + r(x) + s(x)
(e) h(x) + r(x)
(f) h(x) · s(x) + r(x) · s(x)
(g) (2x− 1) · r(x)− (3x+ 2) · s(x)
(h) (x2 − 1) · (x2 + 1)− (s(x))2
5. Determine os números reais a, b, c e d para que
as identidades de polinômios sejam verdadeiras em
R[x]:
(a) (a+5)x3+(1− b)x2+(2c− 1)x+(d+2) ≡ 0.
(b) 3ax7 − 2bx5 + 3cx4 + (d+ 3) = x5 − x4 + 3
(c) ax2 + bx+ c = (ax− d)2
(d) (b+ d)x4 + (d+ a)x3 + (a− c)x2 + (c+ b)x =
4x4 + 2x2
6. Calcule o M.D.C{f(x), g(x)} para os seguintes pa-
res de polinnômios em Q[x]
(a) f(x) = x3 − 6x2 + x+4; g(x) = x5 − 6x+1
(b) f(x) = x2 + 1; g(x) = x6 + x3 + x+ 1
7. Mostre que x3 + x + 1 ∈ Z5[x] é irredut́ıvel sobre
Z5.
8. Mostre que o polinômio p(x) = x3 − 2 é irredut́ıvel
sobre o corpo Q.
9. Decomponnha sobre o corpo K = Z3 os seguintes
polinômios como produto de irredut́ıveis
(a) x2 + x+ 1
(b) 2x3 + 2x2 + x+ 1
1
(c) x3 + x+ 2
10. prove que o polinomio irredut́ıvel de grau n sobre
o corpo Zp, p primo, e seja J = Zp[x] · p(x). Prove
que Zp[x]/J é um corpo contento exatamente pn
elementos.
11. (a) Prove que p(x) = x2 + 1 é irredut́ıvel sobre
K = Z7, e construa um corpo contendo 49
elementos.
(b) Prove que p(x) = x2 + 1 é irredut́ıvel sobre
K = Z11, e construa um corpo contendo 121
elementos.
(c) Prove que p(x) = x2 + 1 é irredut́ıvel sobre
K = Z5.
(d) Prove que p(x) = x3 − 9 é irredut́ıvel sobre o
corpoK = Z31, e construa um corpo contendo
(31)3 elementos.
(e) Prove que p(x) = x3 − 9 é redut́ıvel sobre
K = Z11.
12. Mostre que a equação X2 = 1 possui 4 soluções no
anel Z15. Por quê?
13. Calcular q(x), r(x) tais que f(x) = q(x)·g(x)+r(x)
onde r(x) = 0 ou ∂r(x)