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Pontifícia Universidade Católica de Campinas
Engenharia Civil
Cálculo B - 04379
Somas de Riemann, Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo
1
(ATENÇÃO: os exercícios marcados com �*� são sugestões para serem entregues!)
1) Escreva cada uma das expressões abaixo com a notação de somatório:
a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ 10
b) 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + · · ·+ 3 · 20
c) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ 49 · 50
d) 1 + 2 + 22 + 23 + 24
e) 2 + 4 + 6 + 8 + · · ·+ 20
f) 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 15
g) 1− 3 + 5− 7 + 9− 11
h) 1− 1
2
+ 1
3
− 1
4
+ 1
5
i) −1 + 1
2
− 1
3
+ 1
4
− 1
5
k) 1 + cos pi
7
+ cos 2pi
7
+ cos 3pi
7
l) a1 − a2 + a3 − a4 + a5
m) a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn
2*) Cálculo da área abaixo de uma curva:
a) Use uma fórmula geométrica apropriada para encontrar a área exata A, debaixo da reta
x+ y = 4 no intervalo [0, 4].
b) Esboce os retângulos para a aproximação pelo extremo esquerdo da área A usando n = 4
subintervalos. Esta aproximação é maior, menor ou igual a A? Explique o seu raciocínio
e verifique a sua conclusão calculando a aproximação pelo extremo esquerdo.
c) Esboce os retângulos para a aproximação pelo extremo direito da área A, usando n = 4
subintervalos. A aproximação é maior, menor ou igual a A? Explique o seu raciocínio e
verifique a sua conclusão calculando a aproximação pelo extremo direito.
d) Esboce os retângulos para a aproximação pelo ponto médio da área A, usando n = 4
subintervalos. A aproximação é maior, menor ou igual a A? Explique o seu raciocínio e
verifique a sua conclusão calculando a aproximação pelo ponto médio.
e) Generalize as expressões das aproximações dos itens b) e c) para a área A, para um inteiro
positivo qualquer n de subintervalos. Mostre que os limites dessas aproximações coincidem
quando fazemos n→∞. (Dica: use ∑ni=1 i = n(n+ 1)/2 ou ∑ni=1(i−1) = n(n−1)/2)
3) Considere a função f(x) = 25− x2:
a) Estime a área sob o gráfico de f(x) de x = −1 até x = 2 usando três retângulos aprox-
imantes e extremos direitos. Então aperfeiçoe sua estimativa utilizando seis retângulos
aproximantes. Esboce a curva e os retângulos aproximantes.
1
Exercícios retirados/adaptados de Stewart, J., Cálculo, v. 1, 5
a
ed.; e Anton, H., Cálculo: um novo horizonte, v. 1, 6
a
ed..
1
b) Repita a parte (a) usando extremos esquerdos.
c) Repita a parte (a) usando os pontos médios.
d) De seus esboços das partes (a), (b) e (c), qual aparenta ser a melhor estimativa?
4*) A leitura do odômetro de uma motocicleta em intervalos de 12 segundos é mostrada na tabela
a seguir.
t (s) 0 12 24 36 48 60
v (m/s) 30 28 25 22 24 27
a) Estime a distância percorrida pela motocicleta durante esse período, usando a velocidade
no começo dos intervalos de tempo.
b) Dê outra estimativa utilizando a velocidade no fim dos intervalos de tempo.
c) As estimativas feitas nas partes (a) e (b) são estimativas superior e inferior? Explique.
5) Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado:
a) lim
n→∞
n∑
i=1
xi senxi ∆xi, [0, pi]
b) lim
n→∞
n∑
i=1
e
xi
1+xi
∆xi, [1, 5]
c) lim
n→∞
n∑
i=1
√
2xi + x2i ∆xi, [1, 8]
d) lim
n→∞
n∑
i=1
[4− 3x2i + 6x5i ] ∆xi, [0, 2]
6) Expresse a integral como um limite de somas:
a)
´ 6
2
x
1+x5
dx
b)
´ 10
1
(x2 − 4 lnx) dx
c)
´ pi
0
sen (5x) dx
d)
´ 10
2
x6dx
7) Escreva como uma integral única no formato
´ b
a
f(x)dx:
ˆ 2
−2
f(x)dx+
ˆ 5
2
f(x)dx−
ˆ −1
−2
f(x)dx
8) Se
´ 5
1
f(x)dx = 12 e
´ 5
4
f(x) = 3,6, ache
´ 4
1
f(x)dx.
9) Se
´ 9
0
f(x)dx = 37 e
´ 9
0
g(x) = 16, ache
´ 9
0
[2f(x) + 3g(x)] dx.
10*) Ache
´ 5
0
f(x)dx se,
2
f(x) =
{
3 para x < 3
x para x > 3
11) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais:
a)
´ pi/4
0
sen
3x dx 6
´ pi/4
0
sen
2x dx
b)
´ 2
1
√
5− x dx 6 ´ 2
1
√
x+ 1 dx
c) 2 6
´ 1
−1
√
1 + x2 dx 6 2
√
2
d)
pi
6
6
´ pi/2
pi/6
senx dx 6 pi
3
12*) Use as propriedades das integrais para estimar o valor da integral sem calcular a integral:
a)
´ 2
1
1
x
dx
b)
´ 2
0
√
x3 + 1 dx
c)
´ 2
0
xe−x dx
d)
´ pi/3
pi/4
tgx dx
13*) Use a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das
seguintes funções:
a) g(x) =
´ x
0
√
1 + t2 dt
b) g(y) =
´ y4
1
sec t dt
c) g(x) =
´ x
0
lnu du
d) F (x) =
´ 2
x
cos (t2) dt
[
Sugestão:
´ 2
x
cos (t2) dt = − ´ x
2
cos (t2) dt
]
e) F (x) =
´ 10
x
tg θ dθ
f) h(x) =
´ 1/x
2
arctg t dt
g) h(x) =
´ x2
0
√
1 + r3 dr
h) y =
´ √x
3
cos t
t
dt
i) y =
´ cosx
1
(t+ sen t) dt
j) y =
´ 1
1−3x
u3
1+u2
du
k) y =
´ 0
ex
sen
3t du
14*) Use a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique
por que ela não existe:
a)
´ 3
−1 x
5dx
b)
´ 8
2
(4x+ 3) dx
c)
´ 1
0
x4/5dx
3
d)
´ 2
1
3
t4
dt
e)
´ 5
−5
2
x3
dx
f)
´ 2
0
x (2 + x5) dx
g)
´ pi/4
0
sec2 t dt
h)
´ 2/pi
pi
cossec
2θ dθ
i)
´ 9
1
1
2x
dx
j)
´√3/2
1/2
6√
1−t2dt
k)
´ 1
−1 e
u+1du
l)
´ 2
0
f(x) dx onde f(x) =
{
x4 se 0 6 x < 1
x5 se 1 6 x 6 2
15) Calcule a integral e interprete-a como uma diferença das áreas. Ilustre com um esboço:
a)
´ 2
−1 x
3dx
b)
´ 5pi/2
pi/4
senx dx
16) Ache a derivada da função:
a) g(x) =
´ 3x
2x
u2−1
u2+1
du
[
Sugestão:
´ 3x
2x
f(u) du =
´ 0
2x
f(u) du+
´ 3x
0
f(u) du
]
b) y =
´ x3√
x
√
t sen t dt
17) Se F (x) =
´ x
1
f(t) dt, onde f(t) =
´ t2
1
√
1+u4
u
du, determine F ′′(2).
18) Se f(1) = 12, f ′ é contínua e
´ 4
1
f ′(x) dx = 17, qual é o valor de f(4)?
19*) A área marcada B é três vezes a área marcada A. Expresse b em termos de a.
20) Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma taxa contínua f = f(t), onde t é o
tempo medido em meses desde seu último recondicionamento. Como a cada vez que a máquina
é recondicionada incorre-se em um custo fixo A, a empresa deseja determinar o tempo ótimo
T (em meses) entre os recondicionamentos.
a) Explique por que
´ t
0
f(s) ds representa a perda do valor da máquina sobre o período de
tempo t desde o último recondicionamento.
4
b) Seja C = C(t) dado por C(t) = 1
t
[
A+
´ t
0
f(s) ds
]
. O que representa C e por que a
empresa quer minimizar C?
c) Mostre que C tem um valor mínimo nos números t = T onde C(T ) = f(T ).
5
Respostas
1)
a)
10∑
i
i=1
b) 3
20∑
i=1
i
c)
49∑
i=1
i(i+ 1)
d)
4∑
i=0
2i
e)
10∑
i=1
2i
f)
7∑
i=0
(1 + 2i)
g)
5∑
i=0
(−1)i [1 + 2i]
h)
5∑
i=1
(−1)i+1
i
i)
5∑
i=1
(−1)i
i
k)
3∑
i=0
cos ipi
7
l)
5∑
i=1
(−1)i+1ai
m)
n∑
i=0
aix
i
2)
a) 8
b) maior do que A
c) menor do que A
d) igual a A
3)
a) 70; 71,125
b) 73; 72,625
c) 72,25; 72,0625
d) estimativa com 6 retângulos usando
os pontos médios
4)
a) 1548 m
b) 1512 m
c) A velocidade descresce até t = 48 s
e depois passa a crescer, portanto,
nesse primeiro trecho os cálculos
usando o início dos intervalos
representam estimativas superiores
e usando o final dos intervalos
estimativas inferiores. Entretanto,
como no intervalo completo a
função não é nem sempre
crescente e nem sempre
decrescente, as estimativas não
são nem superiores nem inferiores.
5)
a)
´ pi
0
x senx dx
b)
´ 5
1
ex
1+x
dx
c)
´ 8
1
√
2x+ x2 dx
d)
´ 2
0
[4− 3x2 + 6x5] dx
6)
a) lim
n→∞
n∑
i=1
xi
1+x5i
∆xi, [2, 6]
b) lim
n→∞
n∑
i=1
(x2i − 4 lnxi) ∆xi, [1, 10]
c) lim
n→∞
n∑
i=1
sen (5xi) ∆xi, [0, pi]
d) lim
n→∞
n∑
i=1
x6i∆xi, [2, 10]
7)
´ 5
−1 f(x)dx
8)
´ 4
1
f(x)dx = 8,4
9)
´ 9
0
[2f(x) + 3g(x)] dx = 122
6
10)
´ 5
0
f(x)dx = 17
11)
a) verdadeira
b) falsa
c) verdadeira
d) verdadeira
12)
a)
1
2
6
´ 2
1
1
x
dx 6 1
b) 2 6
´ 2
0
√
x3 + 1 dx 6 6
c) 0 6
´ 2
0
xe−x dx 6 2/e
d)
pi
12
6
´ pi/3
pi/4
tgx dx 6 pi
12
√
3
13)
a) g′(x) =
√
1 + x2
b) g′(y) = 4y3 sec (y4)
c) g′(x) = lnx
d) F ′(x) = − cos (x2)
e) F ′(x) = −tg x
f) h′(x) = − 1
x2
arctg
(
1
x
)
g) h′(x) = 2x
√
1 + x6
h) y′ =
cos(
√
x)
2x
i) y′ = −senx (cosx+ sen (cosx))
j) y′ = 3(1−3x)
3
1+(1−3x)2
k) y′ = −exsen3 (ex)
14)
a)
364
3
b) 138
c)
5
9
d)
7
8
e) não existe porque f(x) tem uma
descontinuidade infinita em x = 0,
ou seja, f(x)é descontínua no
intervalo [−5, 5]
f)
156
7
g) 1
14)
h) não existe porque f(θ) = cossec2θ
tem descontinuidades infinitas em
θ = pi e θ = 2pi, ou seja, f é
descontínua no intervalo [pi, 2pi]
i) ln 3
j) pi
k) e2 − 1
l) 10,7
15)
a) 3,75
b)
√
2
2
16)
a) g′(x) = −24x2−1
4x2+1
+ 39x
2−1
9x2+1
b) y′ = 3x7/2sen (x3)− sen (
√
x)
2 4
√
x
17) F ′′(2) =
√
257
18) f(4) = 29
19) b = ln (3ea − 2)
20)
a) Seja F (t) =
´ t
0
f(s)ds. Então, pelo
TFC1, F ′(t) = f(t) =taxa de
depreciação, portanto, F (t) é a
perda de valor no intervalo [0, t]
b) C(t) representa o gasto médio por
unidade de t durante o intervalo
[0, t], assumingo que houve apenas
uma inspeção durante este período
de tempo. A companhia quer
minimizar o gasto médio.
c) Use o TFC1, C ′(t) = 0.
7