Circunferência e Elipse

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Unidade 03
Aula 01
Circunferência e Elipse
Nessa aula daremos início ao estudo das cônicas, que são curvas obtidas através da intersecção de um
plano com um cone. Introduziremos, ainda, os conceitos e elementos da circunferência e da elipse.
Circunferência
Uma circunferência de centro e raio é o lugar geométrico dos pontos cuja
distância até vale . Dessa forma definimos a equação cartesiana da circunferência como:
C (x0, y0) r P (x, y)
C r
DP C = r
↓
r 2 = (x − x0)2 + (y − y0)2
↓
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Para obtermos a equação paramétrica, vamos analisar a seguinte figura que representa uma
circunferência de centro e raio onde o ponto é definido por .
Pela figura temos:
Definido assim as equações paramétrica da circunferência, com parâmetro .
x2 + y2 − 2 ⋅ x0 ⋅ x − 2y0 ⋅ y + x20 + y20 − r 2 = 0
C (x0, y0) r = DCP P P (x, y)
{
cosθ = (x− x0)
r
senθ = (y− y0)
r
↓
{
x = x0 + r ⋅ cosθ
y = y0 + r ⋅ senθ
θ
SAIBA MAIS
Aprofunde-se com mais informações a respeito da equação geral da circunferência, equação
reduzida da circunferência e exercícios resolvidos no vídeo a seguir.
Equação geral da circunferência
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https://www.youtube.com/watch?v=FShFteXZfhs
Para existência da circunferência temos que analisar uma importante condição, seja
 uma circunferência, dessa forma temos:
Como condição de existência da circunferência temos que , caso:
Agora mostraremos um exemplo de como transformar a equação cartesiana em equações
paramétricas da circunferência. Seja , daí temos que:
NA-PRATICA
x2 + y2 − x + 3 ⋅ y − 2 = 0
− 2 ⋅ x0 = − 1 → x0 =
1
2
− 2 ⋅ y0 = 3 → y0 =
− 3
2
x02 + y02 − r 2 = − 2 → r 2 =
1
4
+
9
4
+ 2 → r =
3 ⋅ √ 2
2
↓
{
x = 1
2
+ 3⋅√ 2
2
⋅ cosθ
y = − 3
2
+ 3⋅√ 2
2
⋅ senθ
x2 + y2 + A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0
− 2 ⋅ x0 = A → x0 =
− A
2
− 2 ⋅ y0 = B → y0 =
− B
2
x20 + y20 + r 2 = C → r 2 = x20 + y20 − C
↓
r 2 =
A2 + B 2 − 4 ⋅ C
4
A2+ B 2− 4⋅C
4
> 0
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 o gráfico da equação é o conjunto vazio.
 o gráfico da equação é o próprio centro.
Intersecção entre Reta e Circunferência
Com relação a intersecção entre uma reta e uma circunferência podem ocorrer as seguintes
situações:
1. 
2. reta tangente à circunferência.
3. reta secante à circunferência.
Elipse
Dados dois pontos no plano e e um número , definimos a elipse de focos e 
e eixo maior como sendo o lugar geométrico dos pontos tais que:
A2+ B 2− 4⋅C
4
 DF 1F 2 F 1 F 2
p P (x, y)
DP F 1 + DP F 2 = p
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A reta que contém e é chamada de reta focal da elipse. O centro da elipse é definido pelo
ponto médio dos pontos e e definido por:
A distância focal da elipse é definida como sendo a distância entre e e definida como:
Os pontos , , e são chamados de vértice da elipse, ou seja, se temos:
Onde é denominado de semieixo maior, . Analogamente podemos determinar
que é o semieixo menor da elipse, .
Seja , e , se o ponto pertence à elipse, Winterle (2000, p. 180)
demonstra como se obter a equação reduzida da elipse:
F 1 F 2
F 1 F 2
P 0 = F 1 + F 2
2
F 1 F 2
DF 1F 2 = 2 ⋅ c
A1 A2 B 1 B 2 A1 ∈ elipse
DA1F 1 + DA1F 2 = p
↓
a − c + a + c = p
↓
a =
p
2
a 2 ⋅ a = DA1A2
b 2 ⋅ b = DB 1B 2
P 0 (0, 0) F 1 (c, 0) F 2 (− c, 0) T
DTF 1 + DTF 2 = p
↓
DTF 1 + DTF 2 = 2 ⋅ a
↓
√ (x − c)2 + y2 + √ (x + c)2 + y2 = 2 ⋅ a
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↓
( √ (x − c)2 + y2)
2
= ( 2 ⋅ a − √ (x + c)2 + y2)
2
↓
x2 − 2 ⋅ x ⋅ c + c2 + y2 = 4 ⋅ a 2 − 4 ⋅ a ⋅ √ (x + c)2 + y2 + x2 + 2 ⋅ x ⋅ c + c2 + y2
↓
4 ⋅ a ⋅ √ (x + c)2 + y2 = 4 ⋅ ( a 2 + x ⋅ c)
↓
( 4 ⋅ a ⋅ √ (x + c)2 + y2)
2
= (4 ⋅ ( a 2 + x ⋅ c) ) 2
↓
a 2 ⋅ (x2 + 2 ⋅ x ⋅ c + c2 + y2) = a 4 + 2 ⋅ a 2 ⋅ x ⋅ c + x2 ⋅ c2
↓
x2 ⋅ ( a 2 − c2) + y2 ⋅ a 2 = a 2 ⋅ ( a 2 − c2)
↓
x2 ⋅ b2 + y2 ⋅ a 2 = a 2 ⋅ b2
↓
x2
a 2
+
y2
b2
= 1
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De acordo com Winterle (2000, p. 178), a excentricidade controla a forma da elipse e quanto mais
perto de zero é o seu valor, mais próxima a uma circunferência é a elipse, e quanto mais perto de um
o seu valor, mais achatada se torna a elipse.
Dada a elipse definida pela equação:
Já vimos que os valores de e , daí temos:
Concluímos então que a excentricidade vale:
Para exemplificar, vamos assumir a elipse definida pela equação .
Para obtermos a equação reduzida da elipse, basta dividirmos os termos por 50.625, daí:
Agora facilmente conseguimos obter os valores dos semieixos, ou seja:
Podemos definir como excentricidade de uma elipse o número real definido por:
NA-PRATICA
81 ⋅ x2 + 625 ⋅ y2 = 50625
81 ⋅ x2
50.625
+
625 ⋅ y2
50.625
=
50.625
50.625
↓
x2
625
+
y2
81
= 1
{
a 2 = 625 → a = 25
b2 = 81 → b = 9
e =
c
a
, 010/27
Se 
É a equação reduzida da hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo .
Para exemplificar vamos assumir a hipérbole definida pela equação . Para
obtermos a equação reduzida da hipérbole basta dividirmos os termo por 16, daí:
Agora facilmente conseguimos obter os valores dos semieixos, ou seja:
Para determinar os focos da hipérbole precisamos determinar o valor de , definido por:
Podemos definir como excentricidade de uma hipérbole o número real definido por:
E por , tem-se .
c a e > 1
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De acordo com Winterle (2000, p. 95), a excentricidade de uma hipérbole está ligada diretamente
com sua abertura. Quanto maior o valor da excentricidade maior será a abertura, ou seja, mais
abertos estarão os ramos da hipérbole.
Parábola
Dados um ponto e uma reta , tais que não pertença a , o lugar geométrico dos pontos do
plano que satisfazem a equação:
É chamado de parábola de foco e diretriz .
F r F r
P
DP F = DP r
F r
SAIBA MAIS
Assista à videoaula e obtenha mais informações sobre o estudo da hipérbole.
Equação da Hipérbole
SAIBA MAIS
Segundo Winterle (2000, p. 162) a parábola é conjunto de todos os pontos de um plano
equidistante de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.
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https://www.youtube.com/watch?v=cws8TQF-03s
A reta perpendicular à diretriz e que contém o foco é chamada de reta focal. O ponto ,
intersecção da parábola com o eixo, é denominado de vértice da parábola.
Dado um ponto pertencente à parábola com foco no ponto e reta focal definida
pela equação , então:
A seguinte tabela mostra as variações das equações da parábola com relação ao eixo focal.
Equação Reta Focal Foco Diretriz
Eixo 
Eixo 
Eixo 
Eixo 
V
P (x, y) F (a, 0) r
x = − a
DP F = DP r
↓
√ (x − a)2 + (y − 0)2 =
|x + a|
√ 12 + 02
↓
( √ (x − a)2 + (y − 0)2)
2
= (
|x + a|
√ 12 + 02
)
2
↓
x2 − 2 ⋅ a ⋅ x + a 2 + y2 = x2 + 2 ⋅ a ⋅ x + a 2
↓
y2 = 4 ⋅ a ⋅ x
y2 = 4 ⋅ a ⋅ x x F (a, 0) x = − a
y2 = − 4 ⋅ a ⋅ x x F (− a, 0) x = a
x2 = 4 ⋅ a ⋅ y y F (0, a) y = − a
x2 = − 4 ⋅ a ⋅ y y F (0, − a) y = a
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Portanto, o foco é o ponto e a reta diretriz é definida pela equação .
Como exemplo vamos admitir a parábola com equação . Agora vamos encontrar o
foco e uma equação da reta diretriz.
Observemos que nessa equação, a cada valor de , por exemplo 4, correspondem dois valores de
 simétricos nesse caso e .
Como a equação é da forma , temos:
NA-PRATICA
x2 = 16 ⋅ y
y
x 8 − 8
x2 = 4 ⋅ a ⋅ y
x2 = 16 ⋅ y
↓
82 = 4 ⋅ 4 ⋅ a
↓
64 = 16 ⋅ a
↓
a = 4
F (0, 4) y = − 4
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Qualquer parábola cujo eixo coincide ou é paralelo a um dos eixos coordenados sempre pode ser
representada pela equação geral que terá uma das formas:
Ou
Como mais um exemplo, vamos determinar a equação da parábola com concavidade voltada
para cima, e que passa pelo ponto e cujo vértice é o ponto . Como o ponto 
pertence a parábola temos:
Então:
NA-PRATICA
P (2, 2) V (0, 0) P
x2 = 2 ⋅ p ⋅ a
↓
22 = 2 ⋅ p ⋅ 2
↓
p = 1
x2 = 2 ⋅ 1 ⋅ y
↓
x2 = 2 ⋅ y
a ⋅ x2 + c ⋅ x + d ⋅ y + f = 0, a ≠ 0.
b ⋅ y2 + c ⋅ x + d ⋅ y + f = 0, b ≠ 0.
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Unidade 03
Aula 03
Esfera e elipsóide
Prezado(a) estudante, nessa aula daremos início ao estudo das quádricas. As quádricas são superfícies no
espaço Euclidiano obtidas a partir da rotação de uma geratriz em torno do seu próprio eixo. No primeiro
momento estudaremos a rotação da circunferência e da elipse em torno do próprio eixo gerando a esfera e
o elipsoide de revolução.
SAIBA MAIS
Assista à videoaula adiante e obtenha mais informações sobre o estudo da parábola.
Equação da Parábola
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https://www.youtube.com/watch?v=6wY1b1ryTOA
Esfera
Ou seja, uma esfera de centro e raio , é o conjunto:
Como a distância de um ponto pertencente à esfera até o centro é constante e igual ao raio, temos:
Vamos assumir:
C (x0, y0, z0) R > 0
{P (x, y, z) ∈ R 3/ DP C = R }
DP C = R
↓
√ (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R
↓
( √ (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2)
2
= R 2
↓
x2 + y2 + z2 − 2 ⋅ x ⋅ x0 − 2 ⋅ y ⋅ y0 − 2 ⋅ z ⋅ z0 + x02 + y02 + z02 − r 2 = 0
SAIBA MAIS
A esfera é o lugar geométrico dos pontos pertencentes ao espaço de três dimensões, cuja
distância a um ponto fixo denominado de centro é constante.
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Essa equação represente uma esfera se:
1. Os coeficientes de , e forem iguais e não nulos.
2. A equação não contiver os termos , e .
3. .
Para calcularmos o centro da circunferência e o seu centro analisaremos a esfera de equação
, temos que:
Assim, obtida a coordenada do centro da circunferência utilizamos a equação
 para calcular o raio da circunferência.
Podemos fazer uma análise no termo , chegando a três conclusões:
1. Se representa uma esfera real.
x02 + y02 + z02 − r 2 = δ
↓
x2 + y2 + z2 − 2 ⋅ x ⋅ x0 − 2 ⋅ y ⋅ y0 − 2 ⋅ z ⋅ z0 + δ = 0
x2 y2 z2
x ⋅ y x ⋅ z z ⋅ y
x20 + y20 + z20 − δ > 0
x2 + y2 + z2 − 2 ⋅ x − 0 ⋅ y − 4 ⋅ z + 1 = 0
C =
⎧⎪⎨⎪⎩ − 2 ⋅ x0 = − 2
− 2 ⋅ y0 = 0
− 2 ⋅ z0 = − 4
↓
C =
⎧⎪⎨⎪⎩ x0 = 1
y0 = 0
z0 = 2
x02 + y02 + z02 − r 2 = δ
x02 + y02 + z02 − r 2 = 1
↓
1 + 0 + 4 − r 2 = 1
↓
r 2 = 4
↓
r = 2
δ
x20 + y20 + z20 − δ > 0
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2. Se representa um ponto.
3. Se não representa uma esfera real.
Podemos tomar como um caso particular da circunferência, aquela que possui o centro na origem,
ou seja, , daí:
É a equação de uma esfera com o centro na origem.
Para exemplificarmos o caso de uma esfera com centro na origem, vamos analisar um exemplo
proposto por Winterle (2000, p. 217). Vamos determinar a equação da esfera com centro
 e raio .
Nesse caso basta analisarmos a equação:
x20 + y20 + z20 − δ = 0
x20 + y20 + z20 − δbasta rotacionar uma elipse em torno do seu
próprio eixo. Assim uma equação mais geral de um elipsoide é dada pela seguinte formulação:
Onde os números , e pertencem ao conjunto dos números reais e representam os semieixos do
elipsoide.
yz
y2
b2
+
z2
c2
= 1
y
x2
c2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
z
x2
b2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
x
x2
a 2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
a b c
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Vale salientar que os pontos , e são soluções da equação do
elipsoide.
Podemos fazer uma análise dos traços do elipsoide em relação aos planos , ou seja:
1. Traço em relação ao plano é uma elipse de equação na forma:
2. Traço em relação ao plano é uma elipse de equação na forma:
3. Traço em relação ao plano é uma elipse de equação na forma:
Diante desse estudo, podemos fazer três importantes observações:
A esfera é um caso particular do elipsoide, basta considerarmos os valores 
na equação geral do elipsóide.
Todos os coeficientes dos termos quadráticos do primeiro membro da equação são
positivos.
Duas das intersecções do elipsoide com os planos , , 
são elipses. Se a outra intersecção for uma elipse o nome será elipsóide elíptica, mas caso a
outra intersecção for uma circunferência o nome será elipsoide circular.
A (a, 0, 0) B (0, b, 0) C (0, 0, c)
xy, xz, yz
xy
x2
a 2
+
y2
b2
= 1
xz
x2
a 2
+
z2
c2
= 1
yz
y2
b2
+
z2
c2
= 1
a = b = c = r
π1 : x = x0 π2 : y = y0 π3 : z = z0
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Unidade 03
Aula 04
Hiperboloide e Paraboloide
No segundo momento do estudo das quádricas estudaremos a rotação da hipérbole e da parábola em
torno do próprio eixo gerando o hiperboloide e o paraboloide de revolução.
SAIBA MAIS
Para melhor fixar e aprimorar os conhecimentos sobre o elipsoide, clique no link a seguir e
assista uma vídeo aula com exercícios resolvidos.
Equação do Elipsoide
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https://www.youtube.com/watch?v=06UMcNk0v_s
Hiperboloide
Do mesmo modo que Winterle (2000, p. 218), para o estudo dos hiperboloides vamos considerar as
equações da hipérbole no plano \(yz\):
\[\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
Os hiperboloides são obtidos por rotações em torno de um dos seus eixos, e são classificados em
hiperboloide de uma folha e hiperboloide de duas folhas.
Hiperboloide de uma folha
A rotação da hipérbole em torno do eixo \(z\) resultará no hiperboloide de equação:
\[\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
De uma forma mais geral, e sendo os números \(a\), \(b\) e \(c\) pertencentes aos números reais, o
hiperboloide de uma folha é o conjunto de pontos que satisfaz uma das seguintes equações:
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
\[ - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
Percebemos que o hiperboloide de uma folha de equação \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}
{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) é simétrico aos eixos, aos planos coordenados e à origem \
(P\left( {0,0} \right)\).
Ao considerarmos os planos \(x=k\), \(y=k\) e \(z=k\) interceptando um hiperboloide de uma
folha, podemos analisar três situações:
O plano \(x = k\) intercepta o hiperboloide de uma folha \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +
\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) segundo a hipérbole de equação:
\[\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1-\left(\frac{{{k}^{2}}}{{{a}^{2}}}
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\right),x=1\]
O plano \(y = k\) intercepta o hiperboloide de uma folha \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +
\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) segundo a hipérbole de equação:
\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1-\left( \frac{{{k}^{2}}}{{{b}^{2}}}
\right),y=1\]
Se \(\left| {\frac{k}{b}} \right| \ne 1\), a intersecção é uma hipérbole, caso contrário, é um
par de retas concorrentes.
O plano \(z = k\) intercepta o hiperboloide de uma folha \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +
\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) segundo a elipse de equação:
\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}\cdot \left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}+\frac{{{y}^{2}}}
{{{b}^{2}}\cdot \left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=1,z=k\]
À medida que o valor absoluto de \(k\) aumenta, os eixos da elipse também aumentam.
Hiperboloide de Duas Folhas
A rotação da hipérbole em torno do eixo \(y\) resultará no hiperboloide de equação:
\[ - \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
De uma forma mais geral, e sendo os números \(a\), \(b\) e \(c\) pertencentes aos números reais, o
hiperboloide de duas folhas é o conjunto de pontos que satisfaz uma das seguintes equações:
\[ - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
\[ - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\]
SAIBA MAIS
Clique aqui para obter um resumo a respeito do hiperboloide de uma folha.
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http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/quadrica/hiper1.htm
Percebemos que o hiperboloide de duas folhas de equação \( - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}
{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) é simétrico aos eixos, aos planos coordenados e à origem \
(O\left( {0,0} \right)\).
Ao considerarmos os planos \(x=k\), \(y=k\) e \(z=k\) interceptando um hiperboloide de duas
folhas podemos analisar três situações:
O plano \(x = k\) intercepta o hiperboloide de duas folhas \( - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +
\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) segundo a hipérbole de equação:
\[-\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}\cdot \left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}-\frac{{{z}^{2}}}
{{{c}^{2}}\cdot \left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}=1,x=k\]
O plano \(y = k\) intercepta o hiperboloide de duas folha \( - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +
\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\) segundo a elipse de equação:
\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}\cdot \left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}+\frac{{{z}^{2}}}
{{{c}^{2}}\cdot \left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}=1,y=k,\left| k \right|>b\]
Se \(\left| k \right| = b\), a intersecção é o ponto \(\left( {0,k,0} \right)\); se \(\left| k \right|+ \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}}\]
Generalizando esse caso, obtemos os chamados paraboloides elípticos.
Paraboloides Elípticos
Sendo \(a\), \(b\) e \(c\) números pertencentes ao conjunto dos números reais, um paraboloide
elíptico é um conjunto de pontos que satisfaz uma das seguintes equações:
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = z\]
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = y\]
\[\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = x\]
Paraboloide Hiperbólico
Sendo \(a\), \(b\) e \(c\), um paraboloide hiperbólico é um conjunto de pontos que satisfaz uma das
seguintes equações:
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = z\]
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = y\]
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/3 26/27
\[\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = x\]
Devido ao formato do seu gráfico, o paraboloide hiperbólico é conhecido como sela.
SAIBA MAIS
Clique aqui e obtenha mais informações a respeito do paraboloide hiperbólico.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/3 27/27
http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/quadrica/parhip.htm