CDI II Resumo- Derivadas Parciais

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Revisa˜o
1. Func¸o˜es com valores vetoriais e equac¸o˜es parame´tricas:
As equac¸o˜es parame´tricas geram uma curva no plano ou espac¸o tridimen-
sional. Sa˜o da forma x = x(t), y = y(t) e z = z(t). O paraˆmetro t
indica o crescimento da func¸a˜o. Lembrando que a direc¸a˜o de crescimento
e´ importante.
O domı´nio das func¸o˜es vetoriais e´ formado por nu´meros reais, enquanto a
imagem e´ formada por vetores.
Os limites, derivadas e integrais sa˜o calculados separadamente, para cada
coordenada, de acordo com as regras estudadas em Ca´lculo 1.
Uma relac¸a˜o importante e´ a reta tangente a uma curva em um ponto da
curva. O paraˆmetro vale t = t0, ~r(t0) = ~r0, ~r
′(t0) = ~v0, e a equac¸a˜o e´ dada
por
~r = ~r0 + t~v0 .
E´ poss´ıvel calcular o comprimento do arco da curva, escolhidos dois pontos
da mesma, atrave´s da equac¸a˜o
L =
∫ b
a
∣∣∣∣d~rdt
∣∣∣∣ dt .
2. Func¸o˜es de duas ou mais varia´veis:
Treˆs tipos de ana´lises gra´ficas: esboc¸o do domı´nio, da func¸a˜o e das curvas
ou superf´ıcies de n´ıvel.
Limites e continuidade
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Existem infinitos caminhos ate´ um ponto e, portanto, na˜o se pode analisar
apenas o limite pela direita e pela esquerda. Se a func¸a˜o e´ cont´ınua, basta
substituir os valores que se quer saber o limite, ja´ que, pela definic¸a˜o,
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Para provar que um limite na˜o existe, basta fazer o ponto (x, y) caminhar
ate´ (x0, y0) por caminhos diferentes com limites diferentes. Para que o
limite exista, todos os poss´ıveis caminhos ao redor do ponto tem que ter o
mesmo valor de limite.
Derivadas parciais
Queremos estudar a variac¸a˜o de uma func¸a˜o apenas em uma direc¸a˜o, x ou
y. Para isso, vamos cortar um plano x = x0 (o que fixa o valor de x) e
deixar apenas y variar, ou vice versa.
A notac¸a˜o e´ fx e fy ou
∂f
∂x
e ∂f
∂y
.
O que pode acontecer e´ uma func¸a˜o ter as varia´veis independentes (x e y)
misturadas com a varia´vel dependente (z), de uma maneira complicada de
se encontrar a equac¸a˜o para z. Enta˜o, usa-se a diferenciac¸a˜o impl´ıcita.
Tambe´m existem as derivadas parciais de segunda ordem: fxx, fyy e fxy =
fyx. Em outra notac¸a˜o,
∂2f
∂x
, ∂
2f
∂y
, ∂
2f
∂x∂y
e ∂
2f
∂y∂x
.
Regra da cadeia
Func¸o˜es compostas, as varia´veis da func¸a˜o f dependem de outras varia´veis.
Usa-se o diagrama da a´rvore para facilitar a montagem da regra da cadeia.
E´ importante entender o que e´ uma derivada total e uma derivada parcial.
Derivadas direcionais e gradientes
Sabemos encontrar a variac¸a˜o da func¸a˜o em x e em y. E em qualquer outra
direca˜o? Devemos usar a derivada direcional:
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Duf(x0, y0) = fx(x0, y0)u1 + fy(x0, y0)u2 ,
onde a derivada e´ calculada na direc¸a˜o do vetor unita´rio ~u = u1 i+ u2 j.
Nem sempre a direc¸a˜o sera´ dada facilmente. Muitas vezes e´ dado o aˆngulo
que a direc¸a˜o desejada faz com o eixo x. Nesse caso, ~u = cos φ i + sen φ j
(apenas para func¸o˜es de duas varia´veis).
Analisando a equac¸a˜o da derivada direcional atrave´s de um produto escalar,
encontramos o gradiente da func¸a˜o, escrito como
∇f =
∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j ,
sabendo que o operador gradiente, antes de ser aplicado na func¸a˜o, e´
∇ =
∂
∂x
i+
∂
∂y
j .
Usamos esse conceito para reescrever a derivada direcional:
Duf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · ~u .
Uma conclusa˜o importante, analisando este produto escalar, e´ que a deri-
vada no ponto (x0, y0) tem o maior valor (|∇f |) na direc¸a˜o e sentido de
∇f .
Planos tangentes
Plano tangente em um ponto (x0, y0), de uma func¸a˜o de duas varia´veis
independentes:
z = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0) + f(x0, y0) .
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Planos tangente em um ponto (x0, y0, z0), de uma superf´ıcie de n´ıvel de
uma func¸a˜o de treˆs varia´veis:
fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y − y0) + fz(x0, y0, z0)(z − z0 .
Os planos tangentes sa˜o como as retas tangentes, nas func¸o˜es de uma
varia´vel. Um ponto importante, e´ que o gradiente da func¸a˜o e´ sempre
perpendicular ao plano tangente (assim como e´ perpendicular a` curva e
superf´ıcie de n´ıvel).
Extremos e pontos cr´ıticos
Uma func¸a˜o pode ter va´rios extremos relativos (ma´ximos ou mı´nimos re-
lativos). Esses extremos ocorrem quando fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0,
ou seja, o ponto (x0, y0) e´ um extremo da func¸a˜o. A partir deles, pode-
mos encontrar os extremos absolutos da func¸a˜o (um ma´ximo absoluto e
um mı´nimo absoluto). Fazemos isso substituindo os pontos de extremos
relativos na func¸a˜o para encontrar o maior e o menor valor.
Os extremos compo˜e o que chamamos de pontos cr´ıticos da func¸a˜o. Quando
fazemos as derivadas parciais serem nulas, na verdade encontramos os pon-
tos cr´ıticos. Ale´m disso, pontos cr´ıticos sa˜o encontrados quando as de-
rivadas parciais na˜o existem. Sabendo quem sa˜o esses pontos, podemos
classificar cada um em ma´ximo, mı´nimo ou ponto de sela, pelo teste da
segunda derivada, utilizando o discrimintante:
D = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)− f
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xy(x0, y0) .
Extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados
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Quando encontramos os extremos relativos de uma func¸a˜o, substitu´ımos os
pontos para encontrar os absolutos. Se limitarmos a func¸a˜o, estabelecendo
uma fronteira, temos que analisar toda a intersecc¸a˜o func¸a˜o/fronteira, pois
e´ poss´ıvel que ocorram extremos nessa regia˜o. Esses extremos na˜o sa˜o
encontrados com as derivadas parciais nulas, porque na˜o fazem parte da
func¸a˜o mas sim, da fronteira colocada no problema.
Multiplicadores de Lagrange
Esse me´todo permite maximizar ou minimizar uma func¸a˜o sujeita a res-
tric¸o˜es. Teremos a func¸a˜o f com uma restric¸a˜o g(x, y) = 0. O me´todo
consiste em fazer com que os gradientes ∇f e ∇g sejam paralelos, para
garantir um extremo. Fazemos isso atrave´s da relac¸a˜o ∇f = λ∇g.
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