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Cálculo 3 – JANDER AMORIM 
 
1 
 
Centro Universitário de Brasília – CEUB 
Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo 3 
Prof.: Jander Amorim (jander.amorim@gmail.com) 
 
 
Derivadas Parciais 
 
 
1. Determine as derivadas parciais de f. 
a) f(x, y) = 2x4y3 - xy2 + 3y + 1 
b) f(x, y) = (x3 - y2)2 
c) f(x, y) = r2 + s2 
d) f(x, y) = (xey + y sen x) 
 
e) f(x, y) = ex 1n(xy) 
f) f(x, y) = x cos 






y
x
 
g) f(x, y) = t s
s
s
t
t

 
2. Se f = xy2 cos z + e2xy, determine fx, fy e fz. 
 
3. Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas. 
 
)1,0,0()2,0,1(),17,0,3(),(ln),,()
4
,2,),()
,,cos2.cos54),,()
,.2cos),()
,2cos.3),()
2
2
2
2
zyx
xy
r
r
r
r
feffzyezyxfe
fsenrtgrrfd
feffsenesenrrfc
feftgrrrfb
fefsenfa



















 
 
4. Se f(r, s, t) = 
r e s2 
 sen t, determine fr, fs e fz. 
5. Uma função f de x e y é harmônica se 
0
2
2
2
2

y
f
x
f



 prove que as funções, abaixo, são harmônicas: 
a) f(x, y) = 
221 yxn 
 
b) f(x, y) = e-x cos y + e-y cos x 
 
 
6. Determine as derivadas parciais indicadas. 
 
s
u
r
u
srysrxyxua




 ,;2;3,) 22
 
s
u
r
u
sryrsxyxub




 ,,23;5;43) 22
 
Cálculo 3 – JANDER AMORIM 
 
2 
 
s
u
r
u
srysrxyxyxyxuc




 ,,,32,323) 22
 
s
u
r
u
seysrx
x
y
ug
s
u
r
u
esyrexxysenuf
s
u
r
u
rssenyerxyxsenue
s
u
r
u
srzsryrsxyzxzxyud
r
rs
s






















,,6,3,cosh)
,,,2,)()
,,,,)3()
,,)(,,,)
2
2
21
222
 
 
7. A equação de Laplace em R3 é 
0
2
2
2
2
2
2









z
u
y
u
x
u
. Mostre que    
2
1
 -
222,, zyxzyxu  satisfaz 
esta equação. 
 
8. Determine a derivada 
dt
du
. 
tztsentyttxyzxzxyue
eytx
x
y
tgud
ttsenztyttgxzyxuc
eyexyxyub
tsenytxxeyeua
t
tt
yx













,.,cos.,)
,ln,)
0,,cos,,)
,,)(ln)
,cos,)
1
2
222
2

 
9. Seja 
22
1
),(
yx
yxf


. Verifique que 
),(3),(
2
),(
2
2
yx
x
f
yx
yx
f
yyx
x
f
x







 . 
 
10. Se f(x,y,z) = xy2 cos z + e2xy, determine fx, fy e fz. 
 
11. Se f(r, s, t) = 
r e s2 
 sen t, determine fr, fs e fz. 
 
 
 
Bom Trabalho!