003-Derivada

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Cálculo Diferencial e Integral I
Ficha de Exerćıcios n.o 3
Derivada
1. Cada um dos limites seguintes representa a derivada de uma função f (definida por f(x)) num
ponto de abcissa a. Indique f(x) e a.
1.1 lim
h→0
(1 + h)10 − 1
h
1.2 lim
h→0
4
√
16 + h− 2
h
1.3 lim
x→5
2x − 32
x− 5
1.4 lim
x→π
4
tg x− 1
x− π
4
1.5 lim
h→0
cos(π + h) + 1
h
1.6 lim
x→1
x4 + x− 2
x− 1
2. Calcule f ′(a), usando a definição de derivada de uma função num ponto.
2.1 f(x) = x2 + x e a = 1
2.2 f(x) =
√
x e a = 4
2.3 f(x) = 5x− 3 e a = −3
2.4 f(x) =
1
x
e a = 1
2.5 f(x) =
1
x2
e a = 2
2.6 f(x) = 2x3 − x2 e a = 1
2.7 f(x) = 3
√
x e a = 2
2.8 f(x) =
1− x
x+ 3
e a = 0
2.9 f(x) =
1√
2x− 1
e a = 1
2.10 f(x) = 3 sen
x
2
e a = π
2.11 f(x) = x+ sen(2x) e a = 0
2.12 f(x) = x cosx e a =
π
2
2.13 f(x) = ex2 e a = 0
2.14 f(x) = ln(x+ 1) e a = 0
Página 2
3. Calcule f ′(x), sempre que exista, nos casos em que a função f é definida pela expressão.
3.1 f(x) =
√
x+ lnx
3.2 f(x) = cos x+ secx
3.3 f(x) = 2x2 + 3x+ 1
3.4 f(x) = x4 senx
3.5 f(x) =
√
x secx
3.6 f(x) = ln x tg x
3.7 f(x) = ex senx
3.8 f(x) =
1
x+ 1
3.9 f(x) =
x
x− 1
3.10 f(x) =
1
1 +
√
x
3.11 f(x) =
1
2 + cos x
3.12 f(x) =
1
lnx
3.13 f(x) =
√
x
x+ 1
3.14 f(x) =
ex
secx
3.15 f(x) =
x+ cosx
1− senx
4. Calcule os seguintes limites, interpretando-os como derivadas.
4.1 lim
x→π
3
cosx− 1
2
x− π
3
4.2 lim
x→1
x9 + x3 − 2
x− 1
4.3 lim
x→0
1
x
(ex cosx− 1)
4.4 lim
x→π
2
senx
x
− 2
π
x− π
2
5. Calcule f ′(x), sempre que exista, nos casos em que a função f é definida pela expressão.
5.1 f(x) = (10x + 10−x)2
5.2 f(x) = log5(x2)
5.3 f(x) = x log4 x− x
5.4 f(x) = ln
(
x
x+ 1
)
5.5 f(x) = ln
(
ex + e−x
2
)
5.6 f(x) = ln (10x)
5.7 f(x) = ln (log x)
5.8 f(x) = sen(ex)
5.9 f(x) = ex sen(lnx)
5.10 f(x) =
1
3
√
x2
5.11 f(x) = 5x
5.12 f(x) = 4
√
2 + x
5.13 f(x) = arctg(3− 2x)
5.14 f(x) = log2(x+ 3)
5.15 f(x) = arccos(4− x)
5.16 f(x) = (1 + 2
√
x)7
5.17 f(x) = sen4 x
5.18 f(x) = ln(cos x)
5.19 f(x) = e
√
x
5.20 f(x) = arctg
(
1
x
)
5.21 f(x) = sen(sen x)
5.22 f(x) =
2
1
x
1 +
√
1 + x2
5.23 f(x) = arcsen(xex)
5.24 f(x) = 4
√
1 + sen2 x
1 + sec2 x
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5.25 f(x) = 2sen2(
√
x)
5.26 f(x) =
(
ln(x+ arctg x)
)5
5.27 f(x) = xlog3 x
5.28 f(x) = (ln x)cosx
5.29 f(x) = xex
5.30 f(x) = xx
6. Calcule a derivada de f , usando diferenciação logaŕıtmica:
6.1 f(x) =
√
x3 + 2
6.2 f(x) =
(
x+ 4
x+ 7
)6
6.3 f(x) = xx−1
6.4 f(x) = 3lnx
6.5 f(x) =
ex(x3 − 1)√
2x+ 1
6.6 f(x) = (x2)x
6.7 f(x) = xx2
6.8 f(x) = x
1
x
6.9 f(x) = (sen x)x
6.10 f(x) = xex
6.11 f(x) = (cos x)senx
6.12 f(x) = (ln x)lnx
6.13 f(x) = ex2
√
x(x2 + 1)10
6.14 f(x) =
sen2 x tg4 x
(x2 + 1)2
6.15 f(x) = 4
√
x2 + 1
x2 − 1
7. Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico das funções definidas por f(x), nos
pontos de abcissa dada.
7.1 f(x) = x3 − 5x+ 1 (x = 1)
7.2 f(x) = x+ 4 lnx (x = 1)
7.3 f(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6 (x = 3)
7.4 f(x) = x4 + x3 − x (x = 0)
7.5 f(x) = 3x+ senx (x = 0)
7.6 f(x) =
1
x2
(x = −2)
7.7 f(x) =
√
x2 + 2x (x = 1)
7.8 f(x) =
x2 + 1
x2 − 1
(x = 0)
7.9 f(x) = ln x2 (x = 1)
7.10 f(x) = tg(x+ 1) (x = −1)
8. Determine a constante b para que a recta de equação y + 9x+ b = 0 seja tangente ao gráfico da
função definida por f(x) =
1
x
.
9. Determine o ponto onde o gráfico da função f , definida por f(x) = x3, tem tangente paralela à
reta tangente à mesma curva no ponto de abscissa x = 4.
10. Determine os pontos do gráfico da função definida por f(x) = 3x3 + 14x2 + 3x + 8, em que as
retas tangentes nesses pontos intersectam contêm a origem.
11. Sabendo que as curvas de equações y = 4x2 e y = −1
x
têm rectas tangentes paralelas, determine
as equações reduzidas dessas rectas.
12. Determine uma equação geral da recta normal ao gráfico da função definida por f(x), no ponto
de abcissa indicada.
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12.1 f(x) = tg(−x2 + 1) (x = 1)
12.2 f(x) = e−
1
x (x = −1)
12.3 f(x) = cos
(x
2
)
(x = 0)
12.4 f(x) = arccos(2x) (x = 0)
12.5 f(x) =
x5 + 1
x4 + 1
(x = 1)
12.6 f(x) = sen (ex) (x = lnπ)
12.7 f(x) = ln(x2 + 1) (x = 1)
12.8 f(x) = (4x3 + 3x+ 1) lnx (x = 1)
13. Considere a função f , de domı́nio R, definida por
f(x) =

ex − 1
e
se x ≤ 0
x log x se x > 0
Determine as derivadas laterais de f no ponto de abcissa x = 0.
14. Considere a função f , de domı́nio R, definida por
f(x) =

arctg x2
x
se x > 0
0 se x = 0
1− x
x3 + x
se x < 0
Determine as derivadas laterais de f no ponto de abcissa x = 0.
15. Considere a função f , de domı́nio R, definida por
f(x) =
x ln(x2) se x 6= 00 se x = 0
15.1 Verifique se f é difrenciável na origem.
15.2 Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e.
16. Considere a função f , de domı́nio R, definida por
f(x) =

x2 sen
(
1
x
)
se x < 0
0 se x = 0
π
2
− arctg
(
1
x
)
se x > 0
16.1 Verifique se f é diferenciável em x = 0.
16.2 Estude a continuidade de f em x = 0.
16.3 Averigúe se o gráfico de f admite asśıntota horizontal à direita.
Página 5
17. Considere a função f definida por
f(x) =
tg(4x) se x > 0sen(5x)− x se x ≤ 0
17.1 Estude a continuidade de f em x = 0.
17.2 Averigúe se f é difrenciável em x = 0. Em caso afirmativo, indique o valor de f ′(0).
18. Considere a função f : R −→ R definida por
f(x) =

a+ bx se x ≤ 0
arctg
(
1
x
)
se x > 0
18.1 Escreva uma equação geral da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
18.2 Determine a e b de modo que f seja diferenciável no ponto 0.
19. Para cada uma das funções injectivas a seguir definidas calcule (f−1)′(x), utilizando o teorema
da derivada da função inversa.
19.1 f(x) =
1
x
19.2 f(x) =
1
3
x+ 4
19.3 f(x) =
√
x− 5
19.4 f(x) = x3
19.5 f(x) =
2x− 1
x+ 2
19.6 f(x) = x3 + 1
19.7 f(x) = ln(arcsen x), x ∈]0, 1[
19.8 f(x) =
x2
1− x2
, x ∈]− 1, 0[
19.9 f(x) =
−x2 se x ≥ 01− x3 se x < 0
19.10 f(x) = arccos x
19.11 f(x) = arccotg x
20. Determina f ′′(x).
20.1 f(x) =
1
x5
20.2 f(x) = sen(x2)
20.3 f(x) = tg2 x
20.4 f(x) = sen2 x+ cosx
20.5 f(x) =
x
2x+ 2
20.6 f(x) =
(
1 +
1
x
)2
20.7 f(x) =
ex
x
20.8 f(x) = cos(sen x)
20.9 f(x) = ln(ln x)
20.10 f(x) = arctg(senx)
20.11 f(x) = sec (
√
x)
20.12 f(x) = arcsec(x2)
20.13 f(x) = ex2
√
x(x2 + 1)10
20.14 f(x) =
sen2 x tg4 x
(x2 + 1)2
20.15 f(x) = 4
√
x2 + 1
x2 − 1
Página 6
21. Determina f (n)(x), derivada de ordem n da função f .
21.1 f(x) = 3x4 − 2x (n = 4)
21.2 f(x) =
√
3− x2 (n = 3)
21.3 f(x) =
1
x− 1
(n = 4)
21.4 f(x) = e2x+1 (n = 3)
21.5 f(x) = ln(2x) (n = 4)
21.6 f(x) = −2 cos
(x
2
)
(n = 5)
21.7 f(x) = sen(ax), a ∈ R (n = 7)
21.8 f(x) = ln
(
1
x
)
(n = 3)
22. Calcule y′, sabendo que as equações dadas definem implicitamente y como função de x.
22.1 x3 + y3 = 5
22.2 x3 + x2y + y2 = 0
22.3
√
x+
√
y = 10
22.4 y3 =
x− y
x+ y
22.5 3 cos2(x+ y) = 7
22.6 tg y = xy
22.7 ey = x+ y
22.8 ln(y2 + x) = y3 − x2
22.9 (x+ y)2 = (x− y)2
22.10 (x2 − y2)2 = x2 + y2
22.11 sen(xy) = x cos y
22.12 ln(y − x) = ln(y + x)
22.13 e−2x−y = 5 + lnx
22.14 ln(xy) = exy
22.15 ln
(y
x
)
= e
x
y
22.16 cos(x2y) = sen(x2y)
22.17 xy2 + 3 tg y = xy
22.18 x arctg y + y arctg x = 1
23. Use a derivação impĺıcita para determinar uma equação da recta tangente à curva no ponto
dado, considerando y como função de x.
23.1 y sen(2x) = x cos(2y), P
(π
2
,
π
4
)
23.2 sen(x+ y) = 2x+ 2y, P (−π, π)
23.3 x2 + xy + y2 = 3, P (1, 1)
23.4 x2 + 2xy − y2 + x = 2, P (1, 2)
23.5 x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, P
(
0,
1
2
)
23.6 x
2
3 + y
2
3 = 4, P (3
√
3, 1)
24. Calcule y′′, sendo y uma função de x.
24.1 x4 + y4 = 16
24.2 x2 + 6xy + y2 = 8
24.3 x2y2 = (y + 1)2(y − y2)
24.4 y2 = x3(2− x)
24.5 sen y + senx+ sen(xy) = x,
24.6 cos y − senx = x
25. Calcule
dy
dx
, considerando as funções definidas na forma paramétrica por (a ∈ R e b ∈ R):
Página 7
25.1
x = 2t−1y = t3
25.2

x =
1
t+ 1
y =
(
t
t+ 1
)2
25.3

x =
2t
t2 + 1
y =
1− t2
t2 + 1
25.4

x =
3t
t3 + 1
y =
3t2
t3 + 1
25.5
x =
√
t
y = 3
√
t
25.6

x =
√
t2 + 1
y =
t− 1√
t2 + 1
25.7
x = a(cos t+ t sen t)y = a(sen t− t cos t)
25.8
x = a cos2 ty = b sen2 t
25.9
x = a cos3 ty = b sen3 t
25.10

x =
cos3 t√
cos(2t)
y =
sen3 t√
cos(2t)
25.11

x = arccos
(
1√
1 + t2
)
y = arcsen
(
1√
1 + t2
)
25.12
x = e−ty = e2t
25.13
x = ln
(
tg
t
2
)
+ cos t− sen t
y = sen t+ cos t
26. Determine uma equação reduzida da recta tangente à circunferência definida, na forma pa-
ramétrica, por
x = 2 cos ty = 2 sen t t ∈ [0, 2π]
no ponto P
(√
2,
√
2
)
.
27. Determine uma equação geral da recta tangente à elipse definida, na forma paramétrica, por
x = 2 cos ty = 3 sen t t ∈ [0, 2π]
no ponto P
(
√
2,
3
√
2
2
)
.
Página 8
28. Determine a equação reduzida da recta normal ao astróide definido, na forma paramétrica, por
x = cos3 ty = 3 sen3 t t ∈ [0, 2π]
no ponto P
(
−1
8
,
3
√
3
8
)
.
29. Calcule
d2y
dx2
, considerando as funções definidas na forma paramétrica por (a ∈ R e b ∈ R):
29.1
x = ln ty = t3
29.2

x = arctg t
y = ln(1 + t2)
29.3
x = arcsen ty = √1− t2
29.4
x = a cos ty = a sen t
29.5
x = a cos3 ty = a sen3 t
29.6
x = a(t− sen t)y = a(1− cos t)
29.7
x = a(sen t− t cos t)y = a(cos t+ t sen t)
29.8
x = cos(2t)y = sen2 t
29.9
x = e−aty = eat
29.10
x = arctg ty = 1
2
t2
29.11

x = ln t
y =
1
1− t
29.12
x = et cos ty = et sen t
Página 9
Tabela de derivadas
Sejam a e n constantes reais e u e v funções de x.
1. a′ = 0
2. x′ = 1
3. (un)′ = nu′un−1, n ∈ R
4. (au)′ = u′au ln a, a ∈ R+ \ {1}
5. (uv)′ = u′vuv−1 + v′uv lnu
6. (loga u)
′ =
u′
u ln a
, a ∈ R+ \ {1}
7. (u+ v)′ = u′ + v′
8. (uv)′ = u′v + uv′
9.
(u
v
)′
=
u′v − uv′
v2
10. (senu)′ = u′ cosu
11. (cosu)′ = −u′ senu
12. (tg u)′ = u′ sec2 u
13. (cotg u)′ = −u′ cosec2 u
14. (secu)′ = u′ secu tg u
15. (cosecu)′ = −u′ cosecu cotg u
16. (arctg u)′ =
u′
1 + u2
17. (arccotg u)′ = − u
′
1 + u2
18. (arcsenu)′ =
u′√
1− u2
19. (arccosu)′ = − u
′
√
1− u2
20. (arcsecu)′ =
u′
|u|
√
u2 − 1
, |u| > 1
21. (arccosecu)′ =
−u′
|u|
√
u2 − 1
, |u| > 1
Página 10
Soluções
1.
1.1 f(x) = x10 e a = 1
1.2 f(x) = 4
√
x e a = 16
1.3 f(x) = 2x e a = 5
1.4 f(x) = tg x e a =
π
4
1.5 f(x) = cos x e a = π
1.6 f(x) = x4 + x e a = 1
2.
2.1 3
2.2
1
4
2.3 5
2.4 −1
2.5 −1
4
2.6 4
2.7
1
3 3
√
4
2.8 −4
9
2.9 −1
2.10 0
2.11 3
2.12
π
2
2.13 0
2.14 1
3.
3.1 f ′(x) =
1
2
√
x
+
1
x
3.2 f ′(x) = − senx+ secx tg x
3.3 f ′(x) = 4x+ 3
3.4 f ′(x) = 4x3 senx+ x4 cosx
3.5 f ′(x) =
1
2
√
x
secx+
√
x secx tg x
3.6 f ′(x) =
1
x
tg x+ lnx sec2 x
3.7 f ′(x) = ex(senx+ cosx)
3.8 f ′(x) = − 1
(x+ 1)2
3.9 f ′(x) = − 1
(x− 1)2
3.10 f ′(x) = − 1
2
√
x(1 +
√
x)2
3.11 f ′(x) =
senx
(2 + cos x)2
3.12 f ′(x) = − 1
x ln2 x
3.13 f ′(x) =
1− x
2
√
x(1 + x)2
3.14 f ′(x) =
ex(1− tg x)
secx
3.15 f ′(x) =
x cosx− 2(senx− 1)
(senx− 1)2
4.
4.1 −
√
3
2
4.2 12 4.3 1 4.4 − 4
π2
5.
5.1 f ′(x) = 2 ln 10(102x − 10−2x)
5.2 f ′(x) =
2
x ln 5
5.3 f ′(x) =
1− ln 4
ln 4
+ log4 x
5.4 f ′(x) =
1
x2 + x
Página 11
5.5 f ′(x) =
ex − e−x
ex + e−x
5.6 f ′(x) = ln 10
5.7 f ′(x) =
1
x lnx
5.8 f ′(x) = ex cos(ex)
5.9 f ′(x) =
ex cos(lnx) + x sen(lnx)
x
5.10 f ′(x) = − 2
3
3
√
x5
5.11 f ′(x) = 5x ln 5
5.12 f ′(x) =
1
4 4
√
x+ 2
5.13 f ′(x) = − 2
1 + (3− 2x)2
5.14 f ′(x) =
1
(x+ 3) ln 2
5.15 f ′(x) =
1√
1− (4− x)2
5.16 f ′(x) =
7(2
√
x+ 1)6√
x
5.17 f ′(x) = 4 sen3 x cosx
5.18 f ′(x) = − tg x
5.19 f ′(x) =
e
√
x
2
√
x
5.20 f ′(x) = − 1
x2 + 1
5.21 f ′(x) = cos(sen x) cosx
5.22 f ′(x) =
2
1
x
(
ln 2(
√
x2 + 1− x2 − 1) + x(2
√
x2 + 1− x2 − 2)
)
x4
√
x2 + 1
5.23 f ′(x) =
(x+ 1)ex√
1− x2e2x
5.24 f ′(x) =
1
4
(
1 + sen2 x
1 + sec2 x
)− 3
4
×
(
2 senx cosx
1 + sec2 x
− 2(1 + sen
2 x) sec2 x tg x
(1 + sec2 x)2
)
5.25 f ′(x) =
2sen
2(
√
x) ln 2 sen(
√
x) cos(
√
x)√
x
5.26 f ′(x) =
5 (ln(x+ arctg x))4 (x2 + 2)
(1 + x2)(x+ arctg x))
5.27 f ′(x) = 2 (log3 x)xlog3 x−1
5.28 f ′(x) = (ln x)cosx
( cosx
x lnx
− ln(lnx) senx
)
5.29 f ′(x) =
(
1
x
+ lnx
)
exxe
x
5.30 f ′(x) = xx(1 + ln x)
6.
6.1 f ′(x) =
3x2
2
√
x3 + 2
6.2 f ′(x) =
18(x+ 4)5
(x+ 7)7
6.3 f ′(x) = xx−2 (x− 1 + x lnx)
6.4 f ′(x) =
3lnx × ln 3
x
6.5 f ′(x) =
xex(x+ 2)(2x2 + 2x− 1)√
(2x+ 1)3
6.6 f ′(x) = (2 + lnx2)x2x
6.7 f ′(x) = (1 + lnx2)xx2+1
6.8 f ′(x) = (1− lnx)x 1x−2
6.9 f ′(x) = (x cosx+ senx ln(senx))(senx)x−1
Página 12
6.10 f ′(x) = (1 + x lnx)xex−1ex
6.11 f ′(x) = (cos x2 ln(cosx)− sen2 x)(cosx)senx−1
6.12 f ′(x) =
1 + ln(ln x)(lnx)lnx
x
6.13 f ′(x) = 2
(
1 +
10
x2 + 1
)
xex
2
(x2 + 1)10
6.14 f(x) =
(
2 cotg x+
4 sec2 x
tg x
− 4
x2 + 1
)
sen2 x tg4 x
(x2 + 1)2
6.15 f(x) =
1
4
(
2x
x2 + 1
− 2x
x2 − 1
)
4
√
x2 + 1
x2 − 1
7.
7.1 y = −2x− 1
7.2 y = 5x− 4
7.3 y = 2x− 6
7.4 y = −x
7.5 y = 4x
7.6 y =
1
4
x+
3
4
7.7 y =
2
√
3
3
x+
√
3
3
7.8 y = −1
7.9 y = 2x− 2
7.10 y = x+ 1
8. b = −6 ou b = 6
9. (−4,−64)
10. (−1, 16),
(
2
3
,
154
9
)
e (−2, 34).
11. y = 4x− 1; y = 4x− 4
12.
12.1 −x+ 2y + 1 = 0
12.2 x+ ey − e2 + 1 = 0
12.3 x = 0
12.4 −x+ 2y − π = 0
12.5 2x+ y − 3 = 0
12.6 −x+ πy + ln π = 0
12.7 x+ y − 1− ln 2 = 0
12.8 x+ 8y − 1 = 0
13. f ′d(0) = −∞ e f ′e(0) =
1
e
14. f ′d(0) = 1 e f
′
e(0) = +∞
15.
15.1 f ′(0) = −∞. f não é diferenciável na origem.
15.2 y = 4x− 2e
Página 13
16.
16.1 f ′d(0) = 1 e f
′
e(0) = 0. f não é diferenciável na origem, porque f
′
d(0) 6= f ′e(0).
16.2 f é cont́ınua em x = 0.
16.3 f admite a recta de equação y = 0 como asśıntota horizontal à direita.
17.
17.1 f é cont́ınua em x = 0
17.2 f ′d(0) = 4 e f
′
e(0) = 4. f é diferenciável na origem, porque f
′
d(0) = f
′
e(0). f
′(0) = 4
18.
18.1 2x+ 4y + π + 2 = 0
18.2 a =
π
2
e b = −1
19.
19.1 (f−1)′(x) = − 1
x2
19.2 (f−1)′(x) = 3
19.3 (f−1)′(x) = 2x
19.4 (f−1)′(x) =
1
3
3
√
x2
19.5 (f−1)′(x) =
5
(x− 2)2
19.6 (f−1)′(x) =
1
3 3
√
(x− 1)2
19.7 (f−1)′(x) = ex cos(ex)
19.8 (f−1)′(x) = −
√
x+ 1
2(x+ 1)2
√
x
19.9 (f−1)′(x) =

− 1
2
√
−x
se x < 0
− 1
3 3
√
(1− x)2
se x > 1
20.
20.1
30
x7
20.2 2 cosx2 − 2x2 senx2
20.3 2 sec2 x
(
sec2 x+ 2 tg2 x
)
20.4 2 cos(2x)− cosx
20.5 − 1
(x+ 1)3
20.6
4x+ 6
x4
20.7
(x2 − 2x+ 2)ex
x3
20.8 − cos2 x cos(senx) + sen x sen(senx)
20.9 −1 + ln x
x2 ln2 x
20.10 −
senx
(
1 + 2 cos2 x+ sen2 x
)
(1 + sen2 x)2
20.11
(√
x sec2(
√
x)− tg(
√
x) +
√
x tg2(
√
x)
)
sec(
√
x)
4
√
x3
20.12
2(3x4 + 1)
x2
√
(x4 − 1)3
Página 14
21.
21.1 72
21.2 − 9x√
(3− x2)5
21.3
24
(x− 1)5
21.4 8e2x+1
21.5
6
x4
21.6
sen
(x
2
)
16
21.7 −a7 cos(ax)
21.8 − 2
x3
22.
22.1 y′ = −x
2
y2
22.2 y′ = −3x
2 + 2xy
x2 + 2y
22.3 y′ =
√
y
x
22.4 y′ =
2y
2x+ 3x2y2 + 6xy3 + 3y4
22.5 y′ = −1
22.6 y′ =
y
x− sec2 y
22.7 y′ =
1
ey − 1
22.8 y′ =
1 + 2x2 + 2xy2
3y4 + 3xy2 − 2y
22.9 y′ = −y
x
22.10 y′ =
2x3 − 2xy2 − x
y + 2x2y − 2y3
22.11 y′ =
cos y − y cos(xy)
x cos(xy) + x sen y
22.12 y′ =
y
x
22.13 y′ = −2x+ e
2x+y
x
22.14 y′ = −y
x
22.15 y′ =
y
x
22.16 y′ = −2y
x
22.17 y′ =
y − y2
2xy + 3 sec2 y − x
22.18 y′ = −
(1 + y2)
(
y + (1 + x2) arctg y
)
(1 + x2)
(
x+ (1 + y2) arctg x
)
23.
23.1 y =
1
2
x
23.2 x+ 2y − π = 0
23.3 y = −x+ 2
23.4 y =
7
2
x− 3
2
23.5 y = x+
1
2
23.6 y =
√
3x+ 10
23.7 y = − 9
13
x+
40
13
23.8 y = −2
24.
24.1 y′′ =
−3(x2 + y2(y′)2)
y3
24.2 y′′ = −1 + 6y
′ + (y′)2
3x+ y
Página 15
24.3 y′′ = −2(x
2 − 1)(y′)2 + yy′(4x+ 3y′) + y2(1 + 6(y′)2)
4y3 + 3y2 + 2y(x2 − 1)− 1
24.4 y′′ =
6x(1− x)− (y′)2
y
24.5 y′′ =
senx− 2y′ cos(xy) + (y′)2 sen y + (y + xy′)2 sen(xy)
cos y + x cos(xy)
,
24.6 y′′ = cosec y senx− (y′)2 cos y
25.
25.1
3t2
2
25.2 − 2t
t+ 1
25.3 − 2t
1− t2
25.4
2t− t4
1− 2t3
25.5
2
3 6
√
t
25.6t+ 1
t3 + t
25.7 tg t
25.8 − b
a
25.9 − b
a
tg t
25.10 − tg(3t)
25.11 −1, se t < 0, e 1, se t > 0.
25.12 −2e3t
25.13 tg t
26. y = −x+ 2
√
2
27. 3x+ 2y − 6
√
2 = 0
28. y = −
√
3
3
x+
√
3
3
29.
29.1 9t2
29.2 2t2 + 2
29.3 −
√
1− t2
29.4 − 1
a sen3 t
29.5
1
3a cos4 t sen t
29.6 − 1
4a sen
(
t
2
)
29.7 − 1
at sen3 t
29.8 0
29.9 2e3at
29.10 (1 + t2)(1 + 3t2)
29.11
t2 + t
(1− t)3
29.12
−2e−t
(cos t+ sen t)2
Página 16
Referências
[1] Mauricio Vilches e Maria Corrêa. Cálculo, Vol. 1. Instituto de Matemática e Estat́ıstica da Uni-
versidade do Estado do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro.
[2] B. Demidovitch e outros. Problemas e Exerćıcios de Análise Matemática, 5.a Edição. MIR. Mos-
covo, 1986.
[3] Belmiro Costa e Ermelinda Rodrigues. Novo Espaço Matemática A. Porto Editora. Porto, 2012.
[4] João Paulo Santos. Cálculo Numa Variável Real. IST Press. Lisboa, 2012.
[5] Departamento de Matemática. Exerćıcios de Análise Matemática I e II, 3.a Edição. IST Press.
Lisboa, 2003.
[6] Hamilton Luiz Guidorizzi. Um Curso de Cálculo. , Vol. 1. Livros Técnico e Cient́ıficos Editora.
Rio de Janeiro, 2001.
[7] Virginia Santos. Cálculo I - Cálculo com Funções de uma Variável. Departamento de Matemática
da Universidade de Aveiro. Aveiro, 2009.
[8] Frank Ayres Jr. e Elliot Mendelson. Teoria e Problemas de Cálculo, 4.a Edição. Bookman. Porto
Alegre, 1999.
[9] Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro. 1.o Miniteste de Cálculo I. Ano lectivo
2009/2010.
[10] Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro. Teste Global de Cálculo I - agrupa-
mento 4. Ano lectivo 2013/2014.
[11] Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro. 1.o Teste de Avaliação Mista de
Cálculo I. Ano lectivo 2011/2012.