Cap+3+Modelagem+Matematica+de+Sistemas+Dinamicos

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Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 
 
 
 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
No estudo de sistemas de controle, o leitor deve ser capaz de modelar sistemas 
dinâmicos e analisar características dinâmicas. O modelo matemático de um 
sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa com 
precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem a dinâmica do sistema. Note que um 
modelo matemático não é único para determinado sistema. Um sistema é 
representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter vários modelos 
matemáticos, dependendo da perspectiva a ser considerada. 
A dinâmica de muitos sistemas mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, 
biológicos ou outros, é descrita em termos de equações diferenciais. Essas 
equações diferenciais são obtidas pelas leis físicas que regem determinado sistema, 
por exemplo, as leis de Newton para sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff 
para sistemas elétricos. Devemos ter em mente que construir modelos matemáticos 
adequados é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um 
todo. 
Neste livro, assumiremos que o princípio de causalidade se aplica aos sistemas 
considerados. Isso significa que a atual saída do sistema (no instante t = 0) depende 
da entrada anterior (a entrada em um instante t < 0), mas não depende da entrada 
futura (as entradas nos instantes t > 0). 
Modelos matemáticos. Os modelos matemáticos podem assumir diferentes 
formas. Dependendo do sistema considerado e das circunstâncias particulares, um 
modelo matemático pode ser mais adequado do que outros. Por exemplo, nos 
sistemas de controle ótimo, é vantajoso utilizar representações do modelo de 
estado. Por outro lado, para a análise da resposta transitória ou da resposta em 
freqüência de um sistema linear, invariante no tempo, de entrada e saída únicas, a 
representação pela função de transferência pode ser mais conveniente do que 
qualquer outra. Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema, podem ser 
utilizadas várias ferramentas analíticas e de computação para efeito de análise e 
síntese. 
Simplicidade versus precisão. Na obtenção de um modelo matemático devemos 
estabelecer uma conciliação entre a simplicidade do modelo e a precisão dos 
resultados da análise. Na obtenção de um modelo matemático relativamente 
simplificado, com freqüência, torna-se necessário ignorar certas propriedades 
físicas inerentes ao sistema. Em particular, se for desejável um modelo matemático 
linear de parâmetros concentrados (isto é, se quisermos empregar equações 
diferenciais ordinárias), é sempre necessário ignorar certas não-linearidades e os 
parâmetros distribuídos que podem estar presentes no sistema físico. Se os efeitos 
que essas propriedades ignoradas têm na resposta forem pequenos, pode-se obter 
boa aproximação entre os resultados da análise de um modelo matemático e os 
resultados do estudo experimental do sistema físico. 
Em geral, na solução de um novo problema, é conveniente construir um modelo 
simplificado para que possamos ter uma percepção geral em relação à solução. Um 
modelo matemático mais completo pode, então, ser construído e utilizado para que 
sejam obtidas análises mais precisas. 
Devemos estar bastante atentos para o fato de que um modelo linear de parâmetros 
concentrados, válido em operações de baixa freqüência, pode não ser válido para 
freqüências suficientemente altas, uma vez que a propriedade de parâmetros 
distribuídos não considerada pode se tornar um fator importante no comportamento 
dinâmico do sistema. Por exemplo, a massa de uma mola pode ser desprezada em 
operações de baixa freqüência, mas se torna uma propriedade importante do 
sistema em freqüências elevadas. (Para o caso em que um modelo matemático 
envolve erros consideráveis, a teoria de controle robusto pode ser aplicada.) 
Sistemas lineares. Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se 
aplicar a ele. O princípio da superposição afirma que a resposta produzida pela 
aplicação simultânea de duas funções diversas é a soma das duas respostas 
individuais. Então, para um sistema linear, a resposta a diversas entradas pode ser 
calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados. Esse é o 
princípio que permite construir soluções complicadas para equações diferenciais 
lineares a partir de soluções simples. 
Na pesquisa experimental de um sistema dinâmico, se causa e efeito forem 
proporcionais, significando assim que é válida a aplicação do princípio da 
superposição, então o sistema pode ser considerado linear. 
Sistemas lineares invariantes no tempo e sistemas lineares variantes no tempo. 
Uma equação diferencial é linear se os coeficientes forem constantes ou somente 
funções da variável independente. Os sistemas dinâmicos compostos por 
componentes lineares de parâmetros concentrados invariantes no tempo podem ser 
descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo (de coeficientes 
constantes). Esses sistemas são denominados sistemas lineares invariantes no 
tempo (ou lineares de coeficientes constantes). Os sistemas representados por 
equações diferenciais, cujos coeficientes são funções de tempo são chamados de 
sistemas lineares variantes no tempo. Um exemplo de sistema de controle variante 
no tempo é um sistema de controle de veículo espacial. (A massa de um veículo 
espacial muda devido ao consumo do combustível.) 
 
 
 
3.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E DE RESPOSTA IMPULSIVA 
Na teoria de controle, as funções de transferência são comumente utilizadas para 
caracterizar as relações de entrada e saída de componentes ou de sistemas, que 
podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo. 
Começamos pela definição de função de transferência e seguimos com a dedução 
da função de transferência de um sistema mecânico. Em seguida, discutimos a 
função de resposta impulsiva. 
Função de transferência. A função de transferência de um sistema representado 
por uma equação diferencial linear invariante no tempo é definida como a relação 
entre a transformada de Laplace da saída (função de resposta response function) e a 
transformada de Laplace da entrada (função de excitação driving function), 
admitindo-se todas as condições iniciais nulas. 
Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equação 
diferencial: 
 
 
onde y é a saída do sistema e x é a entrada. A função de transferência desse sistema 
é a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace 
da entrada, quando todas as condições iniciais são zero ou 
 
Utilizando o conceito de função de transferência, é possível representar a dinâmica 
de um sistema por meio de uma equação algébrica em s. Se a maior potência de s 
no denominador da função de transferência for igual a n, o sistema será 
denominado sistema de ordem n. 
Comentários sobre a função de transferência. A aplicabilidade do conceito de 
função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares 
invariantes no tempo. O método da função de transferência, entretanto, é 
amplamente utilizado na análise e no projeto desses sistemas. A seguir, 
mostraremos importantes comentários a respeito da função de transferência. (Note 
que o sistema ao qual a lista se refere é descrito por uma equação diferencial linear 
invariante no tempo.) 
1. A função de transferência de um sistema é um modelo matemático que constitui 
um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a 
variável de saída à variável de entrada. 
2. A função de transferência é uma propriedade inerente ao sistema, 
independentemente da magnitude e da natureza da funçãode entrada ou de 
excitação. 
3. A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a 
entrada à saída: entretanto, não fornece nenhuma informação relativa à estrutura 
física do sistema. (As funções de transferência de diversos sistemas fisicamente 
diferentes podem ser idênticas.) 
4. Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída ou resposta 
poderá ser estudada para várias maneiras de entrada, visando ao entendimento da 
natureza do sistema. 
5. Se a função de transferência de um sistema não for conhecida, ela pode ser 
determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo 
das respectivas respostas do sistema. Uma vez determinada, a função de 
transferência fornece uma descrição completa das características dinâmica do 
sistema, independentemente de sua descrição física. 
EXEMPLO 3.1 Considere o sistema de controle de posição, de um satélite, 
indicado na Figura 3.1. O diagrama mostra o controle apenas do ângulo de desvio 
θ. (No sistema real existem controles relativos aos três eixos.) Pequenos jatos 
aplicam forças de reação para girar o corpo do satélite conforme a posição 
desejada. Os dois jatos posicionados de forma anti-simétrica, denotados por A e B, 
operam em pares. Suponha que o empuxo de cada jato seja F/2 e o torque T = Fl 
seja aplicado ao sistema. Os jatos são aplicados por certo tempo e, assim, o torque 
pode ser escrito como T(t). O momento de inércia em relação ao eixo de rotação no 
centro da massa é J. 
Vamos obter a função de transferência desse sistema admitindo que o torque T(t) é 
a entrada e que o deslocamento angular θ(t) do satélite é a saída. (Vamos 
considerar o movimento somente no plano da página.) Para deduzir a função de 
transferência, procedemos de acordo com as seguintes etapas: 
 
 
1. Escreva a equação diferencial do sistema. 
2. Aplique a transformada de Laplace da equação diferencial, supondo que todas as 
condições iniciais são nulas. 
3. Estabeleça a relação entre a saída Θ(s) e a entrada T(s). Essa relação é a função 
de transferência. 
 
 
Figura 3.1 Diagrama esquemático do sistema de controle de posição de um 
satélite. 
 
Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que não 
existe atrito no ambiente em que o satélite se encontra, temos: 
 
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados dessa última equação e 
supondo que todas as condições iniciais sejam nulas, resulta que: 
 
onde . Assim, a função de transferência do 
sistema é obtida como: 
 
 
Integral de convolução. Para um sistema linear, invariante no tempo, a função de 
transferência G(s) é: 
 
 
onde X(s) é a transformada de Laplace da entrada e Y(s) é a transformada de 
Laplace da saída, considerando que todas as condições iniciais envolvidas são 
nulas. Segue-se que a saída Y(s) pode ser escrita como o produto de G(s) e X(s) 
Y(s) = G(s) X(s) (3.1) 
Note que a multiplicação no domínio complexo é equivalente à convolução no 
domínio de tempo, de modo que a transformada inversa de Laplace da Equação 
(3.1) é dada pela seguinte integral de convolução: 
 
 
onde g(t) e x(t) são ambos 0 para t < 0. 
 
Função de resposta impulsiva. Considere a saída (resposta) de um sistema a um 
impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são nulas. Como a 
transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade, a 
transformada de Laplace da saída do sistema é: 
Y(s) = G(s) (3.2) 
A transformada inversa de Laplace da saída, dada pela Equação (3.2), é a resposta 
impulsiva do sistema. A transformada inversa de Laplace de G(s) ou 
 
é chamada de função de resposta impulsiva. Essa função g(t) é também chamada 
de função característica do sistema. 
A função de resposta impulsiva g(t) é, portanto, a resposta de um sistema linear a 
um impulso unitário de entrada, quando as condições iniciais do sistema são nulas. 
A transformada de Laplace dessa função fornece a função de transferência. Assim, 
a função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear 
invariante no tempo contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema. 
Dessa maneira, é possível obter informações completas sobre as características 
dinâmicas de um sistema, por meio da excitação por um impulso de entrada e 
medindo a resposta. (Na prática, um pulso de entrada de duração muito pequena, 
comparado com constantes de tempo dominantes do sistema, pode ser considerado 
um impulso.) 
 
Figura 3.2 Elemento de um diagrama de blocos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
Sistemas complexos podem ter entradas e saídas múltiplas e ser variantes no 
tempo. 
Em razão da necessidade de atender às crescentes e rigorosas exigências de 
desempenho dos sistemas de controle, ao aumento da complexidade dos sistemas e 
ao acesso fácil e em larga escala aos computadores, a teoria de controle moderno, 
que é uma nova abordagem para a análise e o projeto de sistemas de controle 
complexos, tem sido desenvolvida desde aproximadamente 1960. 
Essa nova teoria tem como base o conceito de estado. O conceito de estado 
propriamente dito não é novo, pois existe há bastante tempo, no campo da 
dinâmica clássica e em outras áreas. 
Estado. O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis 
(chamadas de variáveis de estado), tais que o conhecimento dessas variáveis em 
t=t0, juntamente com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina 
completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0. 
Note que o conceito de estado não é limitado ao caso dos sistemas físicos, ele é 
aplicável também a sistemas biológicos, econômicos, sociais e outros. 
Variáveis de estado. As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas 
que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse 
sistema dinâmico. Se pelo menos n variáveis x1, x2, ... , xn são necessárias para 
descrever todo o comportamento de um sistema dinâmico (de tal modo que, sendo 
dada a entrada para t ≥ t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro 
do sistema fique completamente determinado), então essas n variáveis formam um 
conjunto de variáveis de estado. 
Note que as variáveis de estado não necessitam ser quantidades fisicamente 
mensuráveis ou observáveis. As variáveis que não representam grandezas físicas e 
aquelas que não são nem mensuráveis nem observáveis podem ser escolhidas como 
variáveis de estado. Essa liberdade de escolha das variáveis de estado é uma 
vantagem dos métodos de espaço de estados. Na prática, entretanto, é conveniente 
escolher para variáveis de estado grandezas que sejam facilmente mensuráveis, se 
isso for possível, porque as leis do controle ótimo requerem a realimentação de 
todas as variáveis de estado com ponderação adequada. 
Vetor de estado. Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever 
completamente o comportamento de um dado sistema, então essas n variáveis de 
estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x. Esse vetor é 
chamado de vetor de estado. Assim, um vetor de estado é aquele que determina 
univocamente o estado do sistema x(t) para qualquer instante t ≥ t0, uma vez dado o 
estado em t = t0 e especificada a entrada u(t) para t ≥ t0. 
Espaço de estados. O espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são 
formados pelos eixos de x1, x2, ... , xn onde x1, x2, ... , xn são as variáveis de estado, 
é chamado de espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado por um 
ponto no espaço de estados. 
Equações no espaço de estados. A análise no espaço de estados envolve três tiposde variáveis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de 
entrada, variáveis de saída e variáveis de estado. Como veremos na Seção 3.5, a 
representação de um dado sistema no espaço de estados não é única, mas o número 
de variáveis de estado é o mesmo para qualquer uma das diferentes representações 
do mesmo sistema, no espaço de estados. 
O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem os valores de entrada 
para t ≥ t1 . Uma vez que os integradores, em um sistema de controle de tempo 
contínuo, servem como dispositivos de memória, as saídas desses integradores 
podem ser consideradas variáveis que definem o estado interno do sistema 
dinâmico. Assim, as saídas dos integradores podem ser escolhidas como variáveis 
de estado. O número de variáveis de estado que definem completamente a 
dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores existentes no sistema. 
Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n 
integradores. Considere também que existam r entradas u1(t), u2(t), ..., ur(t) e m 
saídas y1(t), y2(t), ... , ym(t). Defina as n saídas dos integradores como variáveis de 
estado: x1(t), x2(t), ... , xn(t). Então o sistema pode ser descrito como: 
 (3.8) 
 
As saídas y1(t), y2(t),..., ym(t) do sistema podem ser dadas por: 
 (3.9) 
Se definirmos 
 
 
as equações (3.8) e (3.9) tornam-se: 
 
onde a Equação (3.10) é a equação de estado e a Equação (3.11) é a equação de 
saída. Se as funções vetoriais f e/ou g envolverem explicitamente o tempo t, então 
o sistema será chamado de sistema variante no tempo. 
Se as equações (3.10) e (3.1 1) forem linearizadas em torno de um ponto de 
operação, então teremos as seguintes equações de estado e de saída linearizadas: 
 
onde A(t) é chamada de matriz de estado, B(t), de matriz de entrada, C(t), de 
matriz de saída, e D(t), de matriz de transmissão direta. (Os detalhes da 
linearização de sistemas não-lineares em torno de um estado de operação serão 
discutidos na Seção 3.10.) Uma representação do diagrama de blocos das equações 
(3.12) e (3.13) é mostrada na Figura 3.15. 
Se as funções vetoriais f e g não envolverem o tempo t explicitamente, então o 
sistema será chamado de sistema invariante no tempo. Nesse caso, as equações 
(3.12) e (3.13) podem ser simplificadas para: 
 
 
 
Figura 3.15 Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo 
contínuo, representado no espaço de estados. 
 
A Equação (3.14) é a equação de estado de um sistema linear invariante no tempo. 
A Equação (3.15) é a equação de saída para o mesmo sistema. Neste livro, vamo-
nos referir principalmente aos sistemas descritos pelas equações (3.14) e (3.15). 
A seguir, apresentamos um exemplo que mostra como se obtém a equação de 
estado e a equação de saída de um sistema. 
 
EXEMPLO 3.3 Considere o sistema mecânico indicado na Figura 3.16. 
Admitamos que o sistema é linear. A força externa u(t) é a entrada do sistema e o 
deslocamento y(t) da massa é a saída. O deslocamento y(t) é medido a partir da 
posição de equilíbrio, na ausência da força externa. Esse sistema é um sistema de 
entrada e saída únicas. 
 
Figura 3.16 Sistema mecânico. 
 
De acordo com o diagrama, a equação do sistema é: 
 (3.16) 
Esse sistema é de segunda ordem. Isso significa que ele contém dois integradores. 
Vamos definir as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como: 
 
Então, obtemos: 
 
ou 
 
 
A equação de saída é: 
 
Sob a forma vetorial-matricial, as equações (3.17) e (3.18) podem ser escritas 
como: 
 
 
 
A equação de saída, Equação (3.19), pode ser escrita como: 
 
A Equação (3.20) é uma equação de estado e a Equação (3.21) é uma equação de 
saída para o sistema. As equações (3.20) e (3.21) estão escritas na forma padrão: 
 
onde 
 
A Figura 3.17 é um diagrama de blocos do sistema. Note que as saídas dos 
integradores são variáveis de estado. 
 
Figura 3.17 Diagrama de blocos do sistema mecânico da Figura 3.16. 
 
Correlação entre funções de transferência e equações no espaço de estados. 
A seguir mostraremos como obter uma função de transferência de um sistema de 
entrada e saída únicas a partir das equações no espaço de estados. 
Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por: 
Y(s) / U(s) = G(s) (3.22) 
Esse sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações: 
 
onde x é o vetor de estado, u é a entrada e y é a saída. A transformada de Laplace 
das equações (3.23) e (3.24) é dada por: 
sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s) (3.25) 
Y(s) = CX(s) + DU(s) (3.26) 
Uma vez que a função de transferência foi previamente definida como a relação 
entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada 
quando as condições iniciais são nulas, estabelecemos x(0) igual a zero na Equação 
(3.25). Então, 
sX(s) - AX(s) = BU(s) 
ou 
(sI - A)X(s) = BU(s) 
Multiplicando à esquerda ambos os lados dessa última equação por (sI - A)
-1
 , 
obtemos: 
X(s) = (sI - A)
-1
BU(s) (3.27) 
Substituindo a Equação (3.27) na Equação (3.26), temos: 
Y(s) = [C(sI - A)
-1
B + D]U(s) (3.28) 
Comparando a Equação (3.28) com a Equação (3.22), vemos que: 
G(s) = C(sI - A)
-1
B + D (3.29) 
Essa é a expressão da função de transferência do sistema em termos de A, B, C e 
D. 
Note que o lado direito da Equação (3.29) contém a matriz (sI-A)
-1
. Em 
conseqüência, G(s) pode ser escrito da seguinte maneira: 
 
onde Q(s) é um polinômio em s. Assim, │sI-A│ é igual ao polinômio 
característico de G(s). Em outras palavras, os autovalores de A são idênticos aos 
pólos de G(s). 
 
EXEMPLO 3.4 Considere novamente o sistema mecânico mostrado na Figura 
3.16. As equações de espaço de estados para o sistema são dadas pelas equações 
(3.20) e (3.21). Vamos obter a função de transferência do sistema a partir das 
equações do espaço de estados. 
Pela substituição de A, B, C e D na Equação (3.29), obtemos: 
 
Como 
 
tem-se: 
 
que é a função de transferência do sistema. A mesma função de transferência pode 
ser obtida a partir da Equação (3.16). 
 
Matriz de transferência. A seguir, considere um sistema de múltiplas entradas e 
múltiplas saídas. Suponha que existam r entradas u1 , u2 , .... ,ur e m saídas y1
 
, y2 , 
... , ym . Defina 
 
A matriz de transferência G(s) relaciona a saída Y(s) com a entrada U(s), ou seja. 
Y(s) = G(s)U(s) 
onde G(s) é dado por: 
G(s) = C(sI - A)
-1
B + D 
[ A dedução dessa equação é a mesma que a da Equação (3.29).].Como o vetor de 
entrada u é de dimensão r e o vetor de saída y é de dimensão m, a matriz de 
transferência G(s) é uma matriz de m x r. 
3.5 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NO ESPAÇO DE 
ESTADOS 
Um sistema dinâmico que consiste em um número finito de elementos 
concentrados pode ser descrito por equações diferenciais ordinárias, nas quais o 
tempo é a variável independente. Utilizando-se a notação vetorial-matricial, uma 
equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação diferencial 
vetorial-matricial de primeira ordem. Se n elementos do vetor formam um conjunto 
de variáveis de estado, então a equação diferencial vetorial-matricial é uma 
equação de estado. Nesta seção, apresentaremos métodos para obter as 
representações no espaço de estados de sistemas de tempo contínuo. 
Representação no espaço de estados de sistemas de equações diferenciais 
lineares de ordem n, cuja função de entrada não possui derivadas. Considere o 
seguinte sistema de ordem n: 
 
Observando-se que o conhecimento de , junto com aentrada 
u(t) para t≥0,determina completamente o comportamento futuro do sistema, pode-
se considerar como um conjunto de n variáveis de estado. 
(matematicamente, essa escolha das variáveis de estado é bastante satisfatória. Na 
prática, entretanto, em virtude dos ruídos inerentes a qualquer situação prática e da 
imprecisão causada pelos termos com derivadas de ordem elevada, a escolha 
dessas variáveis de estado pode não ser desejável.) 
Definindo 
 
a Equação (3.30) pode ser escrita do seguinte modo: 
 
ou 
onde 
 
A saída pode ser dada por: 
 
ou 
y = Cx (3.32) 
onde 
C=[1 0 ... 0] 
 
[Note que D na Equação (3.24) é zero.] A equação diferencial de primeira ordem, 
Equação (3.31), é a equação de estado e a equação algébrica, Equação (3.32), é a 
equação de saída. 
Veja que a representação no espaço de estados de um sistema cuja função de 
transferência é 
 
é dada também pelas equações (3.31) e (3.32). 
 
Representação no espaço de estados de um sistema de equações diferenciais 
lineares de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas. Considere o 
sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada, como: 
 
O principal problema na definição das variáveis de estado para esse caso ocorre 
nos termos com derivadas. As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as 
derivadas de u na equação de estado. 
Uma maneira de obter a equação de estado e a equação de saída é definir as 
seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de estado: 
 
onde β0 , β1 , β2 , ... , βn, são determinadas a partir de 
 
Com essa escolha de variáveis de estado, a existência e a unicidade da solução da 
equação de estado estão garantidas. (Note que essa não é a única escolha de um 
conjunto de variáveis de estado.) Com essa escolha obtemos: 
 
[Para deduzir a Equação (3.36), veja o Problema A.3.6.] Em termos de equações 
vetorial-matriciais, a Equação (3.36) e a equação de saída podem ser escritas 
como: 
 
ou 
 
onde 
 
 
Com essa representação no espaço de estados, as matrizes A e C são exatamente as 
mesmas do sistema da Equação (3.30). As derivadas do termo à direita da Equação 
(3.33) afetam somente os elementos da matriz B. 
Note que a representação no espaço de estados para a função de transferência 
 
é dada pelas equações (3.37) e (3.38). 
Existem diversas maneiras de obter a representação de sistemas no espaço de 
estados. Algumas delas são representadas neste capítulo. Os métodos para a 
obtenção das representações canônicas de sistemas no espaço de estados (como a 
forma canônica controlável, forma canônica observável, forma canônica diagonal e 
forma canônica de Jordan) são apresentados no Capítulo 11 de Ogata. 
O MATLAB pode ser utilizado para a obtenção de representações de sistemas no 
espaço de estados a partir da função de transferência e vice-versa. Esse assunto 
será apresentado na Seção 3.6. 
 
EXEMPLO 3.5 Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um 
carro de massa desprezível, como mostra a Figura 3.18. Um amortecedor é um 
dispositivo que produz um atrito ou amortecimento hidráulico. Ele consiste em um 
pistão e um cilindro preenchido com óleo. Qualquer movimento relativo entre a 
barra do pistão e o cilindro sofre a resistência oferecida pelo óleo, porque o óleo 
deve fluir em torno do pistão (ou pelos orifícios existentes no pistão), de um lado 
para o outro. O amortecedor, essencialmente, absorve energia. Essa energia 
absorvida é dissipada sob a forma de calor e o amortecedor não armazena energia 
cinética nem potencial. O amortecedor hidráulico (dashpot) é também 
simplesmente chamado de amortecedor. 
Vamos obter modelos matemáticos para esse sistema, supondo que o carro está 
parado para t < 0 e o sistema massa-mola-amortecedor no carro também está em 
repouso para t < 0. Nesse sistema, u(t) é o deslocamento do carro e é a entrada do 
sistema. Em t = 0, o carro se move a uma velocidade constante ou 
u
 = constante. O 
deslocamento y(t) da massa é a saída. (O deslocamento é relativo ao solo.) Nesse 
sistema, m representa a massa, b o coeficiente de atrito viscoso, e k, seja a 
constante da mola. Vamos supor que a força de atrito do amortecedor seja 
proporcional a 
uy 
 e que a mola seja linear, isto é, a força da mola seja 
proporcional a y-u. 
 
 
Figura 3.18 Sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro. 
 
Para sistemas de translação, a segunda lei de Newton estabelece que: 
ma= ∑F 
onde m é a massa, a é a aceleração da massa e ∑F é a soma das forças atuantes na 
massa, na mesma direção da aceleração a. Aplicando a segunda lei de Newton para 
o presente sistema e considerando que o carro não possui massa, obtemos: 
 
ou 
 
Essa equação representa o modelo matemático do sistema considerado. Obtendo a 
transformada de Laplace dessa última equação e supondo que as condições iniciais 
sejam nulas, resulta que: 
(ms
2
 + bs + k)Y(s) = (bs + k)U(s) 
Pela relação entre Y(s) e U(s), encontramos a função de transferência do sistema 
como: 
 
Essa representação de um modelo matemático por função de transferência é 
utilizada com muita freqüência na engenharia de controle. 
A seguir, obtemos um modelo no espaço de estados desse sistema. Primeiramente, 
vamos comparar a equação diferencial desse sistema 
 
com a forma padronizada 
 
e identificar a1 , a2, b0, b1 e b2, como se segue: 
 
Com referência à Equação (3.35), temos: 
 
Então, com base na Equação (3.34), define-se: 
 
A partir da Equação (3.36), temos: 
 
e a equação de saída torna-se: 
y = x1 
ou 
 
e 
 
As equações (3.39) e (3.40) constituem uma representação do sistema no espaço de 
estados. (Note que essa não é a única representação no espaço de estados. Existe 
uma infinidade de representações para o sistema.) 
 
3.6 TRANSFORMAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS COM MATLAB 
O MATLAB é amplamente utilizado para transformar o modelo do sistema de 
função de transferência para o espaço de estados e vice-versa. Vamos começar 
nossa discussão com a transformação a partir da função de transferência para o 
modelo no espaço de estados. 
Seja a função de transferência escrita do seguinte modo: 
 
Uma vez obtida a expressão da função de transferência, o comando MATLAB, a 
seguir, 
[A, B, C, D] = tf2ss(num,den) 
vai fornecer a representação no espaço de estados. É importante notar que a 
representação no espaço de estados para um dado sistema não é única. Existem 
diversas (infinitas) representações no espaço de estados para um mesmo sistema. O 
comando MATLAB fornece uma dessas possíveis representações. 
Transformação da função de transferência para o espaço de estados. 
Considere a função de transferência do sistema 
 
Existem várias (infinitas) representações no espaço de estados possíveis para esse 
sistema. Uma delas é: 
 
Outra representação (entre várias alternativas possíveis) é: 
 
O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação (3.41) em 
uma representação no espaço de estados dada pelas equações (3.42) e (3.43). Para 
o exemplo de sistema considerado aqui, o Programa 3.2 em MATLAB vai produzir 
as matrizes A, B, C e D. 
 
 
Transformação do espaço de estados para função de transferência. Para obter 
a função de transferência a partir das equações no espaço de estados, utilize o 
seguinte comando: 
[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu) 
onde iu deve ser especificado para sistemas com mais de uma entrada. Por 
exemplo, se o sistema tiver três entradas (u1, u2, u3), então iu deverá ser 1, 2 ou 3, 
onde 1 representa u1, 2 representa u2 e 3 representau3. 
Se o sistema tiver somente uma entrada, os comandos 
[num,den] = ss2tf(A,B,C,D) 
ou 
[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,1) 
poderão ser utilizados. Para os casos em que o sistema tenha múltiplas entradas e 
saídas, veja o Problema A.3.13. 
 
EXEMPLO 3.6 Obtenha a função de transferência de um sistema definido pelas 
seguintes equações no espaço de estados: 
 
O Programa 3.3 em MATLAB vai fornecer a função de transferência para o 
sistema em questão. A função de transferência obtida é dada por: 
 
 
 
 
 
3.7 SISTEMAS MECÂNICOS 
Discutiremos, nesta seção, a modelagem matemática de sistemas mecânicos. A lei 
fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton. Ela 
pode ser aplicada a qualquer sistema mecânico. Nesta seção, vamos deduzir 
modelos matemáticos de três sistemas mecânicos. (Os modelos matemáticos de 
outros sistemas serão deduzidos e analisados nos demais capítulos.) 
EXEMPLO 3.7 Obtenha as funções de transferência X(s)/U(s) e X(s)/U(s) do 
sistema mecânico mostrado na Figura 3.19. 
 
Figura 3.19 Sistema mecânico. 
 
As equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 3.19 são: 
 
Simplificando, obtemos: 
 
Transformando por Laplace essas duas equações, admitindo condições iniciais 
nulas, obtemos: 
 
Resolvendo a Equação (3.45) para X2(s), substituindo-a na Equação (3.44) e 
simplificando, temos: 
 
a partir da qual obtemos: 
 
A partir das equações (3.45) e (3.46) temos: 
 
As equações (3.46) e (3.47) são as funções de transferência X1(s)/U(s) e X2(s)/U(s). 
respectivamente. 
 
 
EXEMPLO 3.8 Um pêndulo invertido montado em um carro motorizado é 
mostrado na Figura 3.20(a). Esse é um modelo de controle de posição de um 
foguete na fase de lançamento. (O objetivo do problema de controle de posição é 
manter o foguete na posição vertical.) O pêndulo invertido é instável, pois pode 
cair a qualquer instante, para qualquer direção, a menos que uma força adequada 
de controle seja aplicada a ele. Vamos considerar aqui somente o problema 
bidimensional, em que o movimento do pêndulo fica restrito só ao plano da página. 
A força de controle u é aplicada ao carro. Considere que o centro de gravidade da 
haste do pêndulo esteja situado no centro geométrico dele. Obtenha um modelo 
matemático para esse sistema. 
 
 
Figura 3.20 (a) Sistema de pêndulo invertido; (b) diagrama do corpo livre. 
 
Defina o ângulo da haste a partir da linha vertical como θ. Defina também as 
coordenadas (x, y) do centro de gravidade da haste como (xG, yG). Então, 
 
Para deduzir as equações de movimento do sistema, considere o diagrama do corpo 
livre, mostrado na Figura 3.20(b). O movimento rotacional da haste do pêndulo em 
torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por: 
 
onde I é o momento de inércia da haste em relação ao centro de gravidade. 
O movimento horizontal do centro de gravidade da haste do pêndulo é dado por: 
 
O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pêndulo é: 
 
O movimento horizontal do carro é descrito por: 
 
Como devemos manter o pêndulo invertido na posição vertical, podemos admitir 
que θ(t) e 
)(t
 sejam grandezas suficientemente pequenas para que se possa fazer 
senθ=θ, cosθ=1 e 
02
. Então, as equações de (3.48) a (3.50) podem ser 
linearizadas como se segue: 
 
Com o auxílio das equações (3.51) e (3.53), obtemos: 
 
e a partir das equações (3.52), (3.53) e (3.54) obtemos: 
 
ou 
 
As equações (3.55) e (3.56) descrevem o movimento do sistema de pêndulo 
invertido sobre o carro. Elas constituem o modelo matemático do sistema. 
 
EXEMPLO 3.9 Considere o sistema de pêndulo invertido mostrado na Figura 
3.21. Como nesse sistema a massa está concentrada no topo da haste, o centro de 
gravidade é o centro da bola do pêndulo. 
 
 
Figura 3.21 Sistema de pêndulo invertido. 
 
Para esse caso, o momento de inércia do pêndulo sobre seu centro de gravidade é 
pequeno e vamos supor que t = 0 na Equação (3.56). Então, o modelo matemático 
para esse sistema passa a ser: 
 
As equações (3.57) e (3.58) podem ser modificadas para 
 
A Equação (3.59) foi obtida pela eliminação de 
x
 das equações (3.57) e (3.58). A 
Equação (3.60) foi obtida pela eliminação de 

 das equações (3.57) e (3.58). 
Utilizando a Equação (3.59), obtemos a função de transferência da planta como: 
 
O sistema de pêndulo invertido tem um pólo no semi-eixo negativo do eixo real 
 e outro no semi-eixo positivo do eixo real 
. Então, a planta é instável em malha aberta. 
Defina as variáveis de estado x1 , x2, x3 e x4 como: 
 
Note que o ângulo θ indica a rotação da haste do pêndulo em torno do ponto P e x 
é a localização do carro. Se considerarmos θ e x como saídas do sistema, então 
 
(Note que tanto θ como x são quantidades facilmente mensuráveis.) Então, a partir 
da definição das variáveis de estado pelas equações (3.59) e (3.60), obtemos: 
 
 
Em termos de equações vetorial-matriciais, temos: 
 
As equações (3.61) e (3.62) são uma representação do sistema de pêndulo invertido 
no espaço de estados. (Note que a representação no espaço de estados do sistema 
não é única. Existe uma infinidade de representações possíveis para esse sistema.) 
 
3.10 LINEARIZAÇÃO DE MODELOS 
Sistemas não-lineares. Um sistema é não-linear se o princípio da superposição 
não se aplicar a ele. Assim, para um sistema não-linear, não se pode obter a 
resposta a duas entradas simultâneas considerando as entradas individualmente e 
somando os resultados. 
Embora muitas relações de grandezas físicas sejam representadas por equações 
lineares, na maioria dos casos a relação entre elas não é efetivamente linear. De 
fato, um estudo cuidadoso dos sistemas físicos revela que mesmo os chamados 
‘sistemas lineares’ são realmente lineares somente para intervalos limitados de 
operação. Na prática, muitos sistemas eletromecânicos, hidráulicos e outros 
envolvem relações não-lineares entre as variáveis. Por exemplo, a saída de um 
componente pode ser saturada para sinais de entrada de grande amplitude. Pode 
haver um espaço morto que afeta pequenos sinais. (O espaço morto de um 
componente é uma pequena gama de variações de entrada às quais o componente é 
insensível.) Não-linearidades quadráticas podem ocorrer em alguns componentes. 
Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas físicos podem ser lineares para 
operações de baixa velocidade, mas podem tornar-se não-lineares para velocidades 
elevadas e a ação de amortecimento pode se tornar proporcional ao quadrado da 
velocidade de operação. 
Linearização de sistemas não-lineares. Em dinâmica, uma operação normal do 
sistema pode ser em torno do ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser 
considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio. (Deve-se notar que existem 
várias exceções para esse caso.) Entretanto, se o sistema operar em torno de um 
ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos, então é possível 
aproximar o sistema não-linear por um sistema linear. Esse sistema linear é 
equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de um conjunto limitado de 
operações. Esse modelo linearizado (modelo linear, invariante no tempo) é muito 
importante na engenharia de controle. 
O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento 
da função não-linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a 
retenção somente do termo linear. Em virtude de desprezarmos os termos de ordem 
elevada da expansão da série de Taylor, esses termos desprezados devem ser 
suficientemente pequenos; isto é, as variáveis devemse desviar apenas 
ligeiramente das condições de operação. 
Aproximação linear de modelos matemáticos não-lineares. Para obter um 
modelo matemático linear de um sistema não-linear, admitimos que as variáveis 
desviem apenas ligeiramente de alguma condição de operação. Considere um 
sistema em que a entrada é x(t) e a saída é y(t). A relação entre y(t) e x(t) é dada 
por: 
y = f(x) (3.83) 
Se a condição de operação normal corresponde a 
x
, 
y
, então a Equação (3.83) 
pode ser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto, como se segue: 
y=f(x) 
 
onde as derivadas df/dx, d
2
f/dx
2
, ... são avaliadas em x = 
x
. Se a variação de x-
x
 
for pequena, podemos desprezar os termos de ordem mais elevada em x-
x
. Então, 
a Equação (3.84) pode ser escrita como: 
 
onde 
 
A Equação (3.85) pode ser reescrita como: 
 
que indica que y-
y
 é proporcional a x-
x
. A Equação (3.86) fornece um modelo 
matemático linear para o sistema não-linear dado pela Equação (3.83), próximo do 
ponto de operação x-
x
, y-
y
. A seguir, considere o sistema não-linear cuja saída y é 
uma função de duas entradas, x1 e x2, tal que 
y = f(x1,x2) (3.87) 
Para obter uma aproximação linear desse sistema não-linear, podemos expandir a 
Equação (3.87) em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operação 
1x
, 
2x
. A Equação (3.87) torna-se: 
 
onde as derivadas parciais são calculadas em x1=
1x
, x2=
2x
. Nas proximidades do 
ponto normal de operação, os termos de ordem mais elevada podem ser 
desprezados. O modelo matemático linear desse sistema não-linear, nas 
proximidades das condições normais de operação, é então dado por: 
 
onde 
 
A técnica de linearização apresentada aqui é válida nas proximidades das 
condições de operação. Se as condições de operação variam muito, entretanto, 
essas equações linearizadas não são adequadas, e as equações não-lineares devem 
ser utilizadas. É importante lembrar que um modelo matemático particular, 
utilizado para fins de análise e projeto, pode representar com precisão a dinâmica 
de um sistema real para certas condições de operação, mas pode não ser preciso 
para outras condições de operação. 
 
EXEMPLO 3.15 Linearize a equação não-linear 
 
na região 5≤x≤7, 10≤y≤12. Encontre o erro para o caso em que a equação 
linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x=5 e y=10. 
Como a região considerada é dada por 5≤x≤7, 10≤y≤12, selecione 
x
=6, 
y
=11. 
Então, 
66yxz
. Vamos obter a equação linearizada para a equação não-linear 
nas proximidades do ponto 
x
=6, 
y
=11. 
Expandindo a equação não-linear em uma série de Taylor próxima do ponto x=
x
, 
y=
y
 e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos: 
 
onde 
 
Então, a equação linearizada é: 
 
ou 
 
Quando x=5, y=10, o valor de z dado pela equação linearizada é: 
 
o valor exato de z é z=xy=50. Assim, o erro é 50-49=1. Em termos de 
porcentagem, o erro é de 2%.