Dedução da Equação Geral do Plano

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO PROFESSORA CINOBELINA ELVAS 
BACHARELADO EM ENGENHARIA AGRONÔMICA 
DISCIPLINA DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
EQUAÇÃO DO PLANO 
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO PLANO 
 
ESTER DE SOUSA SANTOS 
JOÃO VITTOR DE SOUSA AVELINO 
KAIO GABRIEL DA CONCEIÇÃO SANTOS 
KAROLINE LAYS SANTOS BORGES 
MENNEKY LISBOA 
OTÁVIO CÉSAR DE OLIVEIRA SILVA 
SANDRA MACIEL DA CÂMARA 
 
BOM JESUS, PI 
2016 
 
 
 
 
ESTER DE SOUSA SANTOS 
JOÃO VITTOR DE SOUSA AVELINO 
KAIO GABRIEL DA CONCEIÇÃO SANTOS 
KAROLINE LAYS SANTOS BORGES 
MENNEKY LISBOA 
OTÁVIO CÉSAR DE OLIVEIRA SILVA 
SANDRA MACIEL DA CÂMARA 
 
EQUAÇÃO DO PLANO 
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DO PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
BOM JESUS, PI 
2016 
Trabalho apresentado como requisito parcial 
para obtenção de aprovação na disciplina de 
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA, no 
curso de ENGENHARIA AGRONÔMICA, na 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ, CAMPUS 
UNIVERSITÁRIO PROFESSORA CINOBELINA 
ELVAS. 
Prof. Msc. ALBERONE FERNANDES DE SOUSA 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 4 
2. EQUAÇÃO DO PLANO ........................................................................................ 5 
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 9 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 10 
 
 
 
4 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
O plano é determinado por um ponto e um vetor normal. O vetor é uma grandeza 
matemática que está associada à um módulo, uma direção e à um sentido. 
A equação geral do plano (π) é determinada, uma vez que há um vetor 
perpendicular (n) e um ponto (P) situado no mesmo, caracterizando assim um vetor 
normal. Tal comportamento tridimensional é decorrente da existência de três 
coordenadas, sendo elas (x, y, z). 
Para todo e qualquer ponto sobre o plano R³, faz-se necessário atender as regas 
da equação geral do plano, sendo esta subscrita como: ax+ by+ cz+ d= 0. 
Este trabalho tem por objetivo, descrever o plano, e deduzir e exemplificar a 
equação da reta para cada plano formado segundo alguns critérios que serão 
abordados a posterior. 
 
 
5 
 
2. EQUAÇÃO DO PLANO 
Seja o ponto P0 (x0, y0, z0) pertencente a um plano (π), e um vetor não-nulo (n) 
(a, b, c), perpendicular ao plano, se, somente se, P0 estiver sobre o plano (π), logo (n) 
é ortogonal a P0. Portanto, com a definição supracitado, obtém- se a equação geral 
do plano. Uma vez que, sobre este mesmo plano (π), exista um outro ponto P (x, y, 
z), que forma o vetor P0P, oriundo da junção dos pontos P e P0, sendo este 
perpendicular ao vetor (n), tem- se que: 
n x P0P = 0. 
 
 
Estando o vetor P0P descrito como (x – x0, y – y0, z – z0), e n (a, b, c), a equação 
citada acima pode ser reescrita como: 
𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 – 𝑎𝑥0 – 𝑏𝑦0 – 𝑐𝑧0 = 0. 
Considerando – ax0 – by0 – cz0 = d, tem-se que: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. 
Sendo assim representada, a equação geral do plano. 
Figura 1. Representação do vetor (n) 
incidindo sobre o plano (π). 
 
6 
 
Considerações: 
a) Para qualquer vetor IR n, onde IR ≠ 0, este também será considerado vetor 
normal de (π); 
b) Os coeficientes da equação, são as respectivas coordenadas do vetor normal 
do plano, vetor (n). 
Exemplo: Se um plano π é dado por 
 π: 3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0, 
um dos vetores normais de π, é n (3, 1, 4). 
c) Para determinar os pontos do plano, segundo a equação geral, basta atribuir 
valores eventuais a duas das variáveis e então, calcular o valor da incógnita 
restante. 
Exemplo: Se na equação supracitada atribuirmos x= 3 e y= -3, teremos: 
3 ∗ 3 + (−3) + 4𝑧 + 2 = 0 
9 – 3 + 4𝑧 + 2 = 0 
8 + 4𝑧 = 0 
4𝑧 = −8 
𝑧 = −
8
4
 
𝑧 = −2 
Exemplo 1. Deduza a equação geral do plano π que passa pelo ponto P0 (-2, 3, 
1) e tem vetor n (1, 2, -3). 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
𝑥 + 2𝑦 – 3𝑧 + 𝑑 = 0 
 sendo está a equação para n. 
Logo, 
(−2) + 2 ∗ 3 – 3 ∗ 1 + 𝑑 = 0 
−2 + 6 – 3 + 𝑑 = 0 
1 + 𝑑 = 0 
𝑑 = −1 
Tem-se, por fim, a equação geral do plano dada por: 𝑥 + 2𝑦 – 3𝑧 – 1 = 0 
 
7 
 
d) Quando uma das coordenadas apresentarem valor igual a 0, o plano da 
equação será paralelo ao seu eixo. Por exemplo, se, e somente se, a 
coordenada a = 0, tem-se a equação do plano 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Isto se aplica 
quando somente uma das coordenadas é nula. 
e) Quando o plano é determinado por dois vetores e um ponto, tem –se que o 
plano π contém o ponto P0 e é paralelo aos vetores v1 e v2 (v1 não paralelo a 
v2). O ponto P = (x, y, z) pertencerá ao plano π se, e somente se, os vetores 
(P-P0), v1 e v2 forem coplanares: 
 
 
|
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
𝑙1 𝑚1 𝑛1
𝑙2 𝑚2 𝑛2
| = 0 
 
 
 
 
 
 
f) Quando o plano é individualizado por dois pontos e por um vetor, o plano π é 
passante pelos pontos P1 e P2 e paralelo ao vetor v. Um ponto genérico P = (x, 
y, z) pertence ao plano π se, e somente se, os vetores (P-P1), (P2-P1) e v forem 
coplanares: 
 
 
|
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
𝑥2− 𝑥1 𝑦2− 𝑦1 𝑧2− 𝑧1
𝑙 𝑚 𝑛
| = 0 
 
8 
 
g) Quando o plano é determinado por três pontos não colineares, este plano 
conterá os pontos P1, P2 e P3. Um ponto genérico P = (x, y, z) pertence ao plano 
π se, e somente se, os vetores (P - P1), (P2 - P1) e (P3 – P1) forem coplanares: 
 
 
 
 
 
 
 
|
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1
𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦2 𝑧3 − 𝑧1
| = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Para todo e qualquer plano, há uma equação que descreve e demonstra 
algebricamente o seu comportamento no espaço. No entanto, este para ser 
determinado, irá sempre necessitar no mínimo da intersecção de um vetor normal e 
de um ponto sobre este plano. 
 
10 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS 
VENTURI, J. J. (1949). ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (10ª ed.). 
Curitiba, PR: Livrarias Curitiba.Pág. 157-185. 
KOLMAN, BERNARD; HILL, DAVID R. Indrodução à ÁLGEBRA LINEAR com 
apicações. 8ª Edição. Rio de Janeiro, 2006. Livros Técnicos e científicos Editora S.A. 
Pág. 245-249.