Distribuição Normal em Experimentos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE 
SERGIPE
ESTRUTURA DA MATÉRIA ‘B’
Estatística de análise de dados
Mesa de pregos
Curso: 142 - Licenciatura em Física
Turma: N1
Turno: Noturno
Data: 22/04/2002
Professor: Flávio
Equipe:
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Introdução
As curvas de distribuições normais têm a mesma forma geral. Elas são simétricas com 
os valores mais concentrados no meio do que nos lados. Logo abaixo mostramos alguns 
exemplos:
A área embaixo da curva é a mesma e a altura de uma distribuição normal pode ser 
especificada matematicamente por dois parâmetros: a média e o desvio padrão.
Algumas das razões porque a distribuição normal é importante é que muitas variáveis 
psicológicas e educacionais são aproximadamente distribuídas normalmente. Medidas 
de habilidades de leitura, introversão, nível de satisfação no emprego, e memória são 
algumas variáveis psicológicas que são distribuídas normalmente. Uma segunda razão é 
que ela é fácil de manipular matematicamente, isso significa que muitos tipos de testes 
estatísticos podem ser derivados de distribuições normais.
2
Objetivos
Faremos experiências com um arranjo que procura simular o modelo pelo qual um 
sistema, a partir da mesma situação inicial, evolui de muitos modos diferentes, em 
virtude do efeito conjunto de uma infinidade de pequenos fatores. Cada um dos fatores 
exerce sua contribuição para alterar o andamento dos fatos de maneira essencialmente 
aleatória.
Lidamos freqüentemente com eventos deste tipo, quando um mesmo experimento nos 
dá muitos resultados, uma infinidade de fatores independentes desvia o valor real que 
supomos existir. O que obtemos é uma coleção de pontos dispersos, mas cujo conjunto 
guarda relação com o valor inicial.
Material e procedimento experimental 
- Bolas de vidro;
- Recipiente para guardar e posteriormente coletar as bolas de vidro;
- Tábua de pregos;
- Canaletas;
- Rampas;
- Suporte para inclinar a tábua de pregos;
- Nivelador.
3
Discussão teórica 
A mesa de pregos é composta de 20 canaletas, lançamos diversas vezes as bolinhas nas 
camadas da mesa de pregos. Lançamos primeiro uma série de bolinhas da mesma 
posição para verificar o comportamento delas nas canaletas.
Se supusermos que o que ocorre em cada camada não depende do caminho anterior da 
bolinha, não podemos prever antecipadamente onde a bolinha vai parar, a bolinha 
“decide” cada vez, se irá para a esquerda ou direita, do mesmo modo que uma moeda 
“decide” de que lado cairá.
Após ter atravessado várias camadas de pregos, a bolinha é recolhida em alguma das 
canaletas existentes na base do plano inclinado. Embora não saibamos onde a bolinha 
irá parar, podemos calcular a probabilidade de que ela caia em certa canaleta. O método 
matemático é idêntico ao usado na previsão da distribuição de cara e coroa, depois de 
um certo número de lançamentos, é a chamada distribuição binomial. Uma 
aproximação analítica desta distribuição, para o caso em que o número de eventos 
favorável é muito grande, é a distribuição normal (ou de Gauss).
Elaboramos várias tabelas com os lançamentos das bolinhas:
Ponto 1 - 20 bolas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 0 0 0 2 0 2 2 1 1 0 3 3 2 1 2 1 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0 1 2 1 3 1 4 3 0 1 2 1 0 0 0 0
3 0 0 1 0 1 0 2 1 3 3 2 3 0 2 1 1 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 1 4 3 2 1 0 5 0 2 1 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 1 2 1 1 5 6 0 0 2 1 0 0 0 1 0
Total 1 0 1 2 2 5 12 7 10 10 15 14 2 8 7 3 0 0 1 0
Ponto 1 - 100 bolas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 4 7 11 7 8 14 15 11 4 3 2 2 1 0 0 1
2 0 2 5 2 2 3 8 9 10 12 12 16 12 1 4 2 1 1 0 0
3 0 0 2 2 5 4 7 11 9 12 14 16 4 8 2 1 3 0 0 0
4 2 1 3 1 2 8 4 10 15 11 18 13 6 2 2 1 0 0 1 0
5 1 1 5 5 4 5 7 12 10 12 12 12 5 2 1 1 2 2 1 0
Total 4 6 18 14 17 27 37 49 52 61 71 68 31 16 11 7 7 3 2 1
Ponto 1 - 200 bolas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 0 4 10 16 12 12 16 27 30 23 11 11 9 10 4 2 2 0 0
2 3 1 6 10 12 24 24 17 25 20 22 15 6 6 4 4 1 0 0 0
3 2 6 1 8 2 3 15 6 11 26 20 33 15 18 13 6 7 5 3 1
4 1 0 3 4 4 8 6 12 12 27 21 28 13 16 14 15 3 8 2 1
5 1 1 2 3 6 3 12 11 19 24 24 28 15 19 15 8 1 5 1 2
Total 8 8 16 35 40 50 69 62 94 127 110 115 60 68 56 37 14 20 6 4
Ponto 2 - 200 bolas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4
1 0 0 0 0 3 2 7 21 21 40 27 35 21 23 11 5 4 0 1 0
2 0 0 0 0 1 4 5 15 29 37 35 35 15 13 6 3 1 1 0 0
3 0 0 0 2 0 1 4 7 18 37 40 40 29 13 6 2 0 1 0 0
4 0 0 0 0 0 2 6 9 30 38 29 40 16 17 7 4 1 1 0 0
5 0 0 0 0 1 4 7 11 26 40 33 23 25 16 5 5 1 0 0 1
Total 0 0 0 2 5 13 29 63 124 192 164 173 106 82 35 19 7 3 1 1
Ponto 3 - 200 bolas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 7 20 31 28 28 22 20 25 8 5 3 1 1 0 0 0 0 0 0
2 7 3 21 33 36 39 29 13 5 7 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0
3 6 13 24 27 22 36 26 18 16 9 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0
4 5 6 22 32 21 32 26 29 19 2 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0
5 3 5 23 34 40 24 31 23 7 3 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0
Total 22 34 110 157 147 159 134 103 72 29 14 12 4 1 0 1 0 0 0 0
5
Discussão prática 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
PONTO 1 - 20 BOLAS
Fr
eq
uê
nc
ia
Canaleta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
 CANALETA
 F
R
E
Q
U
Ê
N
C
IA
PONTO 1 - 20 BOLAS
HISTOGRAMA
Média Desvio padrão Área
10,30 3,34 100,92
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Canaleta
Fr
eq
uê
nc
ia
PONTO 1 - 100 BOLAS
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
PONTO 1 - 100 BOLAS
HISTOGRAMA
 F
R
E
Q
U
Ê
N
C
IA
 CANALETA
Média Desvio padrão Área
10,01 2,97 481,00
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
20
40
60
80
100
120
140
PONTO 1 - 200 BOLAS
Canaleta
Fr
eq
uê
nc
ia
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
20
40
60
80
100
120
PONTO 1 - 200 BOLAS
HISTOGRAMA
Média Desvio padrão Área
10,48 3,67 993,02
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
50
100
150
200
PONTO 1 - 320 BOLAS
Fr
eq
uê
nc
ia
Canaletas
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
50
100
150
200
PONTO 1 - 320 BOLAS
HISTOGRAMA
Média Desvio padrão Área
10,28 3,42 1571,00
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
50
100
150
200
 CANALETA
 F
R
E
Q
U
Ê
N
C
IA
PONTO 2 - 200 BOLAS
HISTOGRAMA
Média Desvio padrão Área
10,96 2,18 1009,70
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
20
40
60
80
100
120
140
160
 CANALETA
 F
R
E
Q
U
Ê
N
C
IA
PONTO 3 - 200 BOLAS
HISTOGRAMA
Média Desvio padrão Área
5,56 2,46 1017,28
11
Faremos agora o cálculo matemático para achar a média e o desvio padrão para os 
pontos 2 e 3.
Ponto 2 – 200 bolas
f x ii xf ixδ ii xf δ× ( ) 2ixδ ( ) 2ii xf δ×
000 01 0000 -10,09 0,00 101,81 0,00
000 02 0000 -9,09 0,00 82,63 0,00
000 03 0000 -8,09 0,00 65,45 0,00
002 04 0008 -7,09 14,18 50,27 100,54
005 05 0025 -6,09 30,45 37,09 185,46
013 06 0078 -5,09 66,17 25,91 336,84
029 07 0203 -4,09 118,62 16,73 485,18
063 08 0504 -3,09 194,69 9,55 601,64
124 09 1116 -2,09 259,20 4,37 541,79192 10 1920 -1,09 209,33 1,19 228,23
164 11 1804 -0,09 14,81 0,01 1,34
173 12 2076 0,91 157,38 0,83 143,17
106 13 1378 1,91 202,43 3,65 386,58
082 14 1148 2,91 238,60 8,47 694,25
035 15 0525 3,91 136,84 15,29 535,01
019 16 0304 4,91 93,28 24,11 458,00
007 17 0119 5,91 41,37 34,92 244,47
003 18 0054 6,91 20,73 47,74 143,23
001 19 0019 7,91 7,91 62,56 62,56
001 20 0020 8,91 8,91 79,38 79,38
1019 11301 -11,81 1814,90 671,97 5227,69
09,11tan,1
20
1
== ∑
=
xtoporxf
N
x
i
ii
78,1:,1
20
1
== ∑
=
xdánosqueoxf
N
x
i
ii δδδ
( ) 27,2,1 20
1
22
== ∑
=
x
i
iix entãoxfN
σδσ
Portanto o valor da média para o ponto 2 é: 11,09 ± 2,27
Para calcular a densidade de probabilidade utilizaremos a fórmula:
( ) ( )2/1 dxe
d
xp δ
pi
δ −=
12
Ponto 3 – 200 bolas
f x ii xf ixδ ii xf δ× ( ) 2ixδ ( ) 2ii xf δ×
022 01 0022 -10,09 221,99 101,81 2239,90
034 02 0068 -9,09 309,07 82,63 2809,53
110 03 0330 -8,09 889,93 65,45 7199,80
157 04 0628 -7,09 1113,17 50,27 7892,73
147 05 0735 -6,09 895,27 37,09 5452,46
159 06 0954 -5,09 809,36 25,91 4119,85
134 07 0938 -4,09 548,10 16,73 2241,88
103 08 0824 -3,09 318,30 9,55 983,64
072 09 0648 -2,09 150,50 4,37 314,59
029 10 0290 -1,09 31,62 1,19 34,47
014 11 0154 -0,09 1,26 0,01 0,11
012 12 0144 0,91 10,92 0,83 9,93
004 13 0052 1,91 7,64 3,65 14,59
001 14 0014 2,91 2,91 8,47 8,47
000 15 0000 3,91 0,00 15,29 0,00
001 16 0016 4,91 4,91 24,11 24,11
000 17 0000 5,91 0,00 34,92 0,00
000 18 0000 6,91 0,00 47,74 0,00
000 19 0000 7,91 0,00 62,56 0,00
000 20 0000 8,91 0,00 79,38 0,00
999 5817 93,54 1907,45 1102,52 5627,64
82,5tan,1
20
1
== ∑
=
xtoporxf
N
x
i
ii
91,1:,1
20
1
== ∑
=
xdánosqueoxf
N
x
i
ii δδδ
( ) 37,2,1 20
1
22
== ∑
=
x
i
iix entãoxfN
σδσ
Portanto o valor da média para o ponto 3 é: 5,82 ± 2,37
13
Conclusão
Concluímos que ao soltarmos as bolinhas do mesmo ponto (ponto 1) notamos que a 
característica da distribuição nas canaletas permanece a mesma, mas ao soltarmos do 
ponto 2 (mais próximo da canaleta central) percebemos que a distribuição fica mais 
concentrada, o afunilamento da curva fica mais estreito, e por causa disso o desvio 
padrão diminuiu. A mesma experiência foi feita soltando a bolinha do ponto 3 (mais 
inclinado para a esquerda), a maioria das bolinhas ficaram nas canaletas da esquerda.
Vimos através de cálculos matemáticos que obtivemos aproximadamente os mesmos 
resultados das médias e desvios padrões obtidas dos gráficos.
Bibliografia
http://www.ruf.rice.edu/~lane/hyperstat/normal_distribution.html
Tratamento de dados experimentais, UFPB
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	ESTRUTURA DA MATÉRIA ‘B’
	Estatística de análise de dados
	Mesa de pregos
	Curso:
	Turma:
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