Unidade I - Erros

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Noções Básicas sobre Erros
Cálculo Numérico
Unidade I
Introdução
� Os métodos numéricos são utilizados para a resolução de problemas em diversas
áreas. A solução é obtida através de um conjunto de etapas conforme figura
abaixo:
Problema Real
Levantamento 
de Dados
Construção do 
Modelo 
Matemático
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Implementação 
Computacional deste 
Modelo
Análise dos 
Resultados 
Obtidos
Se Necessário: Reformular o 
Modelo Matemático e/ou 
Escolher Novo Método Numérico
Introdução
� Fase de Modelagem do Modelo Matemático:
� Fase de observação e entendimento do fenômeno físico
� Uso de conhecimentos já estabelecidos
� Simplificações, quando necessárias
� Fase de Resolução: Método Exato (quando possível) ou Método Numérico� Fase de Resolução: Método Exato (quando possível) ou Método Numérico
� Método Exato: Pode conter erros provenientes das operações processadas com 
equipamentos com capacidade limitada para armazenar dados. Em alguns casos, pode 
conter erros também devido a utilização de números aproximados.
� Método Numérico: Utiliza um algoritmo aproximado para a resolução do modelo 
matemático, o que pode gerar erros, além dos erros mencionados no Método Exato.
Introdução
� Exemplo
� Calcular a área de uma circunferência de raio 100m.
Resultados obtidos:
a) A=31400 m²a) A=31400 m²
b) A= 31416 m²
c) A= 31415.92654 m²
Como justificar as diferenças entre os resultados? É possível obter 
“exatamente” esta área?
Erros na Fase de Modelagem
� São erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias,
para que o fenômeno da natureza possa ser representado por um
modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as
ferramentas matemáticas disponíveis (ARENALES E DAREZZO,ferramentas matemáticas disponíveis (ARENALES E DAREZZO,
2008).
Erros na Fase de Resolução
� Erros na mudança de base
� A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores
numéricos no sistema binário.
� Quando implementamos um algoritmo, os dados de entrada do� Quando implementamos um algoritmo, os dados de entrada do
modelo matemático, escritos em decimal, são transformados em uma
outra base de representação, a base binária.
� O processo de transformação de base pode conter erros em razão da
limitação de representação do equipamento computacional.
Erros na Fase de Resolução
� Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário
Dado um número real, N, é possível representá-lo em qualquer
base b, da seguinte forma:
∑ ×=
m
ibaN
Onde , com n e m inteiros.
Exemplo 1:
Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i=0, 1, 2 e 3.
∑
=
×=
ni
i
ib baN
Erros na Fase de Resolução
Exemplo 2:
Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, 
n=2 e m=2.n=2 e m=2.
� Mudança da base binária para a base decimal
Erros na Fase de Resolução
� Mudança da base decimal para a base binária
A mudança consiste na divisão do número na base decimal
sucessivamente por 2, armazenando, a cada passo, o
algarismo do resto (r), até que o quociente da divisão seja
igual a 1.igual a 1.
Exemplo 1:
Decimal inteiro: 25
Erros na Fase de Resolução
Exemplo 2)
Decimal com parte fracionária: 42.375 
Erros na Fase de Resolução
Exemplo 3)
Transforme o decimal 0.2 para binário:
Erros na Fase de Resolução
� Erros de Representação
� A representação de números positivos e negativos é através do
Sistema de Ponto Flutuante.
� Devido a forma adotada para representar os números, nem� Devido a forma adotada para representar os números, nem
todos os reais podem ser representados. Qualquer tentativa de
representar um valor fora do que o Sistema de Ponto Flutuante
é capaz, constitui uma mensagem de erro: Underflow ou
Overflow.
Erro de Arredondamento
� O erro de arredondamento ocorre quando um número não
pertence às regiões de Underflow ou de Owerflow e este não é
representável exatamente no sistema de ponto flutuante, sendo
representado de forma aproximada.representado de forma aproximada.
� Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento
para que sua representação seja possível.
Exemplo:
Erro Absoluto
� Definimos erro absoluto como:
� Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível é 
necessário definir um limitante para o erro:necessário definir um limitante para o erro:
Erro Relativo
� Definimos erro relativo como:
Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível é � Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível é 
necessário definir um limitante para o erro:
Erro Relativo
� Exemplos
1. Considere:
Encontre 
2. Considere:
Encontre 
Erro Absoluto e Erro Relativo
� Observação
� Em geral, nos procedimentos numéricos são geradas uma
sequência de soluções aproximadas que convergem ou não para
a solução desejada do problema. Os erro absolutos e relativosa solução desejada do problema. Os erro absolutos e relativos
serão usados como critério de parada nestas sequências de
aproximações (ARENALES E DAREZZO, 2008).
Erro de Truncamento
� Consideremos o desenvolvimento de em Série de
Taylor, isto é:
� Suponha que o computador utilizado para trabalhar� Suponha que o computador utilizado para trabalhar
numericamente com a série seja capaz de armazenar somente
dados referentes aos 4 primeiros termos, isto é:
� Neste caso, desprezamos todos os termos de potência
maiores que 4, isto é, truncamos a série no termo de
potencia de ordem 3.
Exercícios
� Faça um programa que calcule o fatorial de um número
inteiro positivo x. Altere o valor de x, colocando números
próximos de zero e números maiores. O que você observa?
� Faça um programa que calcule pela série de Taylor
com n termos. Altere o valor de x e n, colocando números
próximos de zero e números maiores. O que você observa?
Exercícios
� Represente na base binária os seguintes números decimais:
� 13
� 29.75
� 17.6
� 0.46875
� Converta os seguintes números binários para sua forma 
decimal:
� 101101
� 0.1101
� 11010.1011
� 11.0101