Polinômios Irredutíveis

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Exercícios Resolvidos – Polinômios Irredutíveis e Fatoração Única
Exercício 1 – Aplicação do Critério de Eisenstein
Verifique se o polinômio \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 2 \) é irredutível em \( \mathbb{Q}[x] \).
👉 Aplicando o Critério de Eisenstein com o primo \( p = 2 \):
- \( 2 \mid 4, 6, 4, 2 \) → todos os coeficientes, exceto o líder, são divisíveis por 2;
- \( 2 \nmid 1 \) → o coeficiente líder (de \( x^4 \)) não é divisível por 2;
- \( 2^2 = 4 \nmid 2 \) → o termo independente não é divisível por 4.
✅ Conclusão: \( f(x) \) é irredutível em \( \mathbb{Q}[x] \).
Exercício 2 – Verificar irredutibilidade por tentativa de fatoração
Verifique se o polinômio \( f(x) = x^2 + x + 1 \) é irredutível em \( \mathbb{Q}[x] \).
👉 Tentamos aplicar o Teorema das Raízes Racionais.
As possíveis raízes seriam os divisores de 1 (termo independente): ±1.
Testando:
- \( f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 
eq 0 \)
- \( f(-1) = 1 - 1 + 1 = 1 
eq 0 \)
✅ Conclusão: não há raízes racionais, logo \( f(x) \) é irredutível em \( \mathbb{Q}[x] \).
Exercício 3 – Fatoração de polinômio e identificação dos irredutíveis
Fatore o polinômio \( f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x \) em fatores irredutíveis em \( \mathbb{Q}[x] \).
👉 Passo 1: Coloque em evidência o fator comum:
 \( f(x) = 2x(x^2 + 2x - 1) \)
👉 Passo 2: Tentar fatorar \( x^2 + 2x - 1 \).
Delta = \( 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8 \). Como \( \sqrt{8} 
otin \mathbb{Q} \), o polinômio é irredutível em \( \mathbb{Q}[x] \).
✅ Conclusão:
 \( f(x) = 2x(x^2 + 2x - 1) \) é a fatoração em irredutíveis em \( \mathbb{Q}[x] \).
Exercício 4 – Fatoração única e comparação
Considere dois polinômios com a mesma fatoração: \( f(x) = (x - 1)^2(x + 2) \) e \( g(x) = (x + 2)(x - 1)^2 \).
São fatorações únicas?
👉 Sim, pois a fatoração única admite mudança na ordem dos fatores.
Ambas as expressões são compostas pelos mesmos polinômios irredutíveis, com mesmas multiplicidades.
✅ Conclusão: as duas fatorações são consideradas iguais pela unicidade da fatoração.