Prova_de_Anlise_Combinatria_Princpio_Aditivo

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Prova de Análise Combinatória: Princípio Aditivo
Prof. lucas teixeira 
NOME
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SÉRIE TURMA
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Questão 1. (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
(A) duas combinações.
(B) dois arranjos.
(C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
(D) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
(E) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
Questão 2. (CANGURU_MATEMATICA) Alguns castores e alguns cangurus formaram uma roda. Há 3 castores no total e não há quaisquer 2 castores que estejam ao lado de um terceiro castor. Há exatamente 3 cangurus que têm pelo menos um canguru como vizinho. Qual é o maior número possível de cangurus que podem estar nessa roda?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
Questão 3. (UERJ (Todos os Anos)) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel na imagem.
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y .
Os valores respectivos de e y são:
(A) e 
(B) e 
(C) e 
(D) e 
Questão 4. (FUVEST) Participam de um torneio de voleibol, 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada. Na 1ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2ª fase. Na 2ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é
(A) 41
(B) 39
(C) 47
(D) 43
(E) 45
Questão 5. (OBMEP) A questão refere-se ao Campeonato Brasileiro de Futebol 2005.
O campeonato 2005 é disputado por 22 times. Cada time enfrenta cada um dos outros duas vezes, uma vez em seu campo e outra no campo do adversário. Quantas partidas serão disputadas por cada time?
(A) 42
(B) 44
(C) 40
(D) 43
(E) 41
Questão 6. (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro, foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de...
(A) Uma combinação e um arranjo, respectivamente. Um arranjo e uma combinação, respectivamente. Um arranjo e uma permutação, respectivamente.
(B) Uma combinação e um arranjo, respectivamente. Um arranjo e uma combinação, respectivamente. Um arranjo e uma permutação, respectivamente. Duas combinações.
(C) Uma combinação e um arranjo, respectivamente. Um arranjo e uma combinação, respectivamente. Um arranjo e uma permutação, respectivamente. Dois arranjos.
(D) Uma combinação e um arranjo, respectivamente. Um arranjo e uma combinação, respectivamente. Um arranjo e uma permutação, respectivamente. Duas combinações. Dois arranjos.
(E) Duas combinações. Dois arranjos.
Questão 7. Considere uma biblioteca que possui 7 livros de história e 9 livros de geografia. Se um aluno deseja escolher apenas um livro, podendo optar por um dos livros de história ou um dos livros de geografia, quantas opções diferentes de escolha ele tem? Justifique sua resposta aplicando o Princípio Aditivo.
Questão 8. Considere que uma loja oferece 7 estilos de camisas e 5 modelos de blusas, que não se sobrepõem. Usando o Princípio Aditivo, determine o total de opções de peças disponíveis.
Questão 9. Considere que em uma sala há 10 estudantes e é necessário formar uma equipe de 4 pessoas para um trabalho. Calcule de quantas maneiras é possível formar esse grupo, justificando por que a ordem de seleção não altera o grupo formado.
Questão 10. Considere um grupo de 10 alunos. Calcule de quantas maneiras é possível formar um comitê de 4 alunos, sabendo que dois alunos específicos não podem estar juntos no mesmo comitê.
Gabarito:
Questão 1. E - 
Questão 2. A - 
Questão 3. A
Questão 4. C - 
Questão 5. A
Questão 6. A - Para resolver essa questão, precisamos entender o que são combinações e arranjos. Combinação é quando a ordem dos elementos não importa, enquanto arranjo é quando a ordem importa. Primeiro, temos 12 times e precisamos escolher 4 para o Grupo A. Isso é uma combinação, pois a ordem em que escolhemos os times não importa. Então, temos C(12,4) combinações possíveis. Em seguida, precisamos escolher 2 times do Grupo A para o jogo de abertura. Aqui, a ordem importa, pois o primeiro time joga em casa e o segundo é o visitante. Portanto, isso é um arranjo, e temos A(4,2) arranjos possíveis. Portanto, a resposta correta é 'Uma combinação e um arranjo, respectivamente.'
Questão 7. Como as duas categorias de livros são disjuntas, podemos usar o Princípio Aditivo. Assim, o total de opções é a soma dos livros de história e dos livros de geografia. Portanto, total de opções = 7 + 9 = 16. Dessa forma, o aluno tem 16 opções diferentes de escolha.
Questão 8. Para aplicar o Princípio Aditivo, precisamos somar as opções de cada grupo, pois são conjuntos distintos. Assim, somamos 7 (camisas) com 5 (blusas) e obtemos 12 opções de peças disponíveis.
Questão 9. Para solucionar esse problema, utilizamos a fórmula de combinação, que calcula o número de grupos formados onde a ordem dos elementos não importa. A fórmula é:
Número de combinações = n! / (k! * (n - k)!),
onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos escolhidos.
Neste caso, n = 10 e k = 4.
Substituindo na fórmula:
Número de combinações = 10! / (4! * 6!) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1) = 5040 / 24 = 210.
Isso mostra que há 210 maneiras distintas de formar um grupo de 4 estudantes. A ordem não altera o grupo porque, ao escolher um grupo, somente os integrantes importam, e não a sequência em que foram escolhidos; assim, grupos com os mesmos membros são considerados idênticos.
Questão 10. Primeiro, determine o número total de combinações sem restrição: C(10,4) = 210.
Em seguida, identifique quantas dessas combinações incluem os dois alunos que não podem estar juntos. Se ambos estiverem no comitê, basta escolher os outros 2 alunos dentre os 8 restantes: C(8,2) = 28.
Por fim, subtraia as combinações inválidas do total: 210 - 28 = 182.
Portanto, existem 182 maneiras de formar o comitê respeitando a restrição.
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