lista_9_(teste_da_derivada)

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
Lista 9 - Ca´lculo I
1) Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira, deter-
mine os valores nos quais os extremos relativos ocorrem, os intervalos onde
f e´ crescente onde f e´ decrescente. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
(1) f(x) = x2 − 4x− 1 (2) g(x) = 2 cos 3x
(3) f(x) = x5 − 5x3 − 20x− 2 (4) f(x) = x3 − 9x2 + 15x− 5
(5) f(x) = 4 sin x
2
(6) f(x) = 1
2
sec 4x
2) Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira, deter-
mine os valores nos quais os extremos relativos ocorrem, os intervalos onde
f e´ crescente onde f e´ decrescente. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
f(x) =


(x+ 9)2 − 8 se x < −7
−√25− (x+ 4)2 se −7 ≤ x ≤ 0
(x− 2)2 − 7 se x > 0
3) Ache a e b tais que a func¸a˜o f(x) = x3 + ax2 + b tenha um extremo
relativo em (2, 3).
4) Ache os pontos de inflexa˜o de f se existirem. Determine os intervalos
nos quais as func¸a˜o e´ coˆncava para cima e onde e´ coˆncava para baixo. Fac¸a
um esboc¸o do gra´fico.
(1) f(x) =
2
x2 + 3
(2) g(x) = 2 sin 3x, x ∈ [−pi, pi]
(3) f(x) = x4 − 8x3 (4) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1
5) Se f(x) = 3x2 + x|x|, prove que f ′′(0) na˜o existe, mas o gra´fico de f
e´ coˆncavo para cima em toda a reta.
6) Ache os extremos relativos da func¸a˜o cosseno e secante, pelo teste da
derivada segunda.
7) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es dadas, a partir da ana´lise dos
ı´tens a seguir, determinando
a) o domı´nio natural da func¸a˜o f
b) caso existam, as intersec¸o˜es do gra´fico de f com os eixos coordenados
c) se o gra´fico de f possui alguma simetria: a func¸a˜o f e´ par, ı´mpar ou
perio´dica?
d) caso existam, as ass´ıntotas horizontais e verticais do gra´fico de f
e) os pontos cr´ıticos de f e os pontos de ma´ximos e mı´nimos locais (rel-
ativos) de f , caso existam
f) os pontos onde f na˜o e´ deriva´vel, caso existam
g) os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´ decrescente
h) os intervalos onde f e´ coˆncava para cima (convexa), coˆncava para baixo
e caso existam, os pontos de inflexa˜o.
(1) f(x) =
x3 − 2
x
(2) f(x) =
16− x2
(x− 2)2
(3) f(x) =
3x2
4− 4x+ x2
OBS.: Fac¸a o esboc¸o, indicando explicitamente os pontos cr´ıticos,
pontos de inflexa˜o, os extremos locais e absolutos, se existirem.
8) Um campo retangular com uma a´rea de 2700 metros quadrados deve
ser fechado e uma cerca adicional deve ser usada para dividi-lo ao meio. O
custo da cerca do meio e´ de 12 reais por metro linear e ao longo dos lados a
cerca custa 18 reais por metro linear. Ache as dimenso˜es do campo de modo
que o custo da cerca seja mı´nimo.
9) Se uma lata fechada com volume de 16pi cm3 deve ter a forma de um
cilindro circular reto, ache a altura e o raio, se um mı´nimo de material deve
ser usado em sua fabricac¸a˜o.
10) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f .
(1) f(x) = x4 − 2x3
(2) f(x) = x4 − 3x3 + 3x2 + 1
(3) f(x) = sin x+ cosx, x ∈ [−2pi, 2pi]
(4) f(x) =
{
sin x se 0 ≤ x < pi
2
sin(x− pi
2
) se pi
2
≤ x ≤ pi
(5) f(x) = 2 + (x− 3) 13
(6) f(x) = x2
√
4− x
(7) f(x) = 2 tan(x
2
)
(8) f(x) =
2x
x− 1
(9) f(x) =
1
x2 − 1
(10) f(x) = 5x
2
3 − x 53