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Lista de Exerc´ıcios de Func¸o˜es de Mais de Uma Varia´vel 18/03/2013.
1) Determine o domı´nio da func¸a˜o f e fac¸a sua representac¸a˜o gra´fica.
1.1) f(x, y) =
x+ y
x− y 1.2) f(x, y) =
x+ y√
x− y 1.3) f(x, y) =
√
x+ y
x− y
1.4) f(x, y) =
1
x2 + y2 − 1 1.5) f(x, y) =
1√
x2 + y2 − 1 1.6) f(x, y) = ln(x
2 + y)
1.7) f(x, y) = ln(xy − 1) 1.8) f(x, y) =
√
x2 − y2 1.9) f(x, y) =
√
1− x2 − y2√
y − x2
2) Para as func¸o˜es abaixo determine os conjuntos Im(f) = {z ∈ R : z = f(x, y) com
(x, y) ∈ Dom(f)} e Gra´fico(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f(x, y) com (x, y) ∈ Dom(f)}.
Fac¸a a representac¸a˜o geome´trica do gra´fico de f .
2.1) f(x, y) = x+ y − 1 2.2) f(x, y) = x2 2.3) f(x, y) = x2 + y2
2.4) f(x, y) = x2 + y2 − 4 2.5) f(x, y) = −x2 − 4y2 2.6) f(x, y) =√x2 + y2
2.7) f(x, y) =
√
4x2 + y2 2.8) f(x, y) =
√
9− x2 − y2 2.9) f(x, y) = y2 − x2
3) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das equac¸o˜es abaixo no espac¸o R3.
3.1) z2 − x2 − y2 = 0 3.2) x2 + y2 + z2 = 1 3.3) x2 + y2 − z2 = 1
3.4) −x2 − y2 + z2 = 1 3.5) x2 + y2 = 1 3.6) x2 + z2 = 4
4) Utilizando a definic¸a˜o de limite prove os limites abaixo.
4.1) lim
(x,y)→(0,1)
(x+ y) = 1 4.2) lim
(x,y)→(2,1)
(3x+ 5y) = 11 4.3) lim
(x,y)→(0,0)
x2y + xy2
x2 + y2
= 0
4.4) lim
(x,y)→(0,0)
(
x3 + y3
x2 + y2
) = 0 4.5) lim
(x,y)→(0,0)
(
x4 − y4
x2 + y2
) = 0 4.6) lim
(x,y)→(1,2)
(3x2 + y) = 5
5) Calcule os limites.
5.1) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2) 5.2) lim
(x,y)→(0,0)
(
sen2(x) + cos2(y)
e2x + e2y
)
5.3) lim
(x,y)→(0,0)
(x4 − y4
x2 + y2
)
5.4) lim
(x,y)→(0,1)
(x4 − (y − 1)4
x2 + (y − 1)2
)
5.5) lim
(x,y)→(1,1)
((x− 1)4/3 − (y − 1)4/3
(x− 1)2/3 + (y − 1)2/3
)
5.6) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
( ex + ey + ez
e2x + e2y + e2z
)
6) Prove que os limites abaixo na˜o existem.
6.1) lim
(x,y)→(0,0)
2x2 − y2
x2 + 2y2
6.2) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − 2xy + 5y2
3x2 + 4y2
6.3) lim
(x,y)→(1,2)
( xy − 2x− y + 2
x2 + y2 − 2x− 4y + 5
)
6.4) lim
(x,y)→(2,1)
( x2 − 4x+ 4
xy − 2y − x+ 2
)
6.5) lim
(x,y)→(0,0)
x4y4
(x2 + y4)3
6.6) lim
(x,y)→(0,0)
(x4 + 3x2y2 + 2xy3
(x2 + y2)2
)
6.7) lim
(x,y)→(0,0)
x9y
(x6 + y2)2
6.8) lim
(x,y)→(0,0)
( 3xy
5x4 + 2y4
)
1
7) Determine todos os pontos em que a func¸a˜o e´ cont´ınua.
7.1) f(x, y) =
x2
y − 1 7.2) f(x, y) =
1
y − 1 7.3) f(x, y) = sen(
y
x
)
7.4) f(x, y) = ln(xy2) 7.5) f(x, y) =
4x2y + 3y2
2x− y 7.6) f(x, y) =
5xy2 + 2y
16− x2 − 4y2
8) Determine todos os pontos em que a func¸a˜o f dada e´ cont´ınua e ale´m disto fac¸a o
gra´fico de f para visualizac¸a˜o da continuidade ou descontinuidade.
8.1) f(x, y) =
x
2 + y2 + 1 se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
8.2) f(x, y) =

√
x2 + y2 se x2 + y2 ≤ 1,√
2− x2 − y2 se x2 + y2 > 1.
8.3) f(x, y) =

√
16− x2 − y2 se x2 + y2 ≤ 4,
2 se x2 + y2 > 4.
9) Ache as derivadas parciais fx =
∂f
∂x , fxx =
∂2f
∂x2
, fy =
∂f
∂y , fyy =
∂2f
∂y2
, fxy =
∂2f
∂y∂x e fyx =
∂2f
∂x∂y
9.1) f(x, y) = x3y2 − 2x2y + 3x 9.2) f(x, y) = (x3 − y2)5 9.3) f(x, y) =√x2 − y2
9.4) f(x, y) = xey + ysen(x) 9.5) f(x, y) = x(2)y
2
+ ycos(2x) 9.6) f(x, y) = xcos(
x
y
)
9.7) f(x, y) = ln(x)log(y) 9.8) f(x, y) = tg(xy) 9.9) f(x, y) = xyexy
9.10) f(x, y) =
3x
1 + 32x
9.11) f(x, y) =
x2
1 + sen(3y)
9.12) f(x, y) =
x
y
− y
x
10) Dada w(x, y, z) = x2y + y2z + z2x. Prove que,
∂w
∂x
+
∂w
∂y
+
∂w
∂z
= (x+ y + z)2
11) Dada u(r, t) = sen(
r
t
) + ln(
t
r
). Verifique, t
∂u
∂t
+ r
∂u
∂r
= 0.
12) Mostre que as func¸o˜es u e v verificam as equac¸o˜es ux = vy e uy = −vx (Equac¸o˜es de
Cauchy-Riemann).
12.1) u(x, y) = x2 − y2 e v(x, y) = 2xy 12.2) u(x, y) = excos(y) e v(x, y) = exsen(y)
13) Prove que, se f(x, y) = ln
√
x2 + y2 enta˜o
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0.
2