Torção

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Torção
Aplicação das equações matemáticas e dos princípios físicos no estudo da torção de eixos circulares
(maciços ou tubulares) e de paredes finas não circulares.
Prof. Julio Cesar José Rodrigues Junior
1. Itens iniciais
Propósito
No dimensionamento de estruturas mecânicas, o fenômeno da torção é recorrente. Dessa forma, o
conhecimento das relações matemáticas é fundamental para o desenvolvimento do aluno.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora
de seu smartphone/computador.
Objetivos
Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares.
 
Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção.
 
Calcular a transmissão de potência.
 
Calcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos de torção.
Conteúdo interativo
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Aviso: orientações sobre unidades de medida.
Orientações sobre unidades de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de
tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a
unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o
padrão internacional de separação dos números e das unidades. 
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1. Deformações de torção para seções circulares ou tubulares
Vamos começar!
Neste vídeo, você entenderá mais sobre as deformações de torção para seções circulares ou tubulares.
Conteúdo interativo
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A primeira parte do estudo da torção tomará duas premissas:
As estruturas são circulares (maciças ou tubulares).
 
O carregamento sobre a estrutura é tal que as deformações são elásticas, ou seja, temporárias. 
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões matemáticas aplicáveis.
Torque sobre eixos circulares
O torque é o momento que tende a fazer um elemento estrutural rotacionar em torno de seu eixo longitudinal.
 
A imagem 1 apresenta um eixo circular maciço em que um par de torques (de mesmo módulo e sentidos
opostos) atua em suas extremidades.
Imagem 1 – Par de torques aplicado em eixo circular.
A atuação dos torques no eixo da imagem 1 provoca o deslizamento entre as seções vizinhas.
 
Esse efeito, denominado de cisalhamento, está associado à deformação de cisalhamento .
 
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Supondo uma malha desenhada sobre o eixo, com linhas longitudinais e circulares, quando o par de torques
atua sobre a estrutura, há uma deformação dessas linhas.
Observe a imagem 2:
Imagem 2 – Deformação de um eixo sob torção.
A deformação por cisalhamento em cada seção reta do eixo varia linearmente ao longo do raio, sendo seu
valor máximo na periferia da seção. Matematicamente, a expressão da deformação cisalhante a uma distância 
 do centro do círculo de raio c é dada pela equação 1.
A equação 1 é válida para eixos circulares maciços ou tubulares. Para os tubos, a partir da parede interna, ou
seja, raio interno.
Exemplo
Seja um tubo maciço de seção circular e diâmetro 100mm. Suponha que esse eixo esteja engastado e, na
extremidade livre, atue um torque de intensidade 200kN.m. Considere que, em consequência do torque, a
deformação cisalhante máxima seja de 0,002rad. Em uma seção reta do eixo, a um ponto situado a 20mm do
centro, determine a deformação cisalhante.
Solução
A deformação ao longo do raio tem variação linear, ou ainda, é proporcional à distância ao centro, conforme a
equação 1:
O diâmetro é de 100mm. Logo, o raio c vale 50 mm. A distância vale 20mm. Substituindo na equação, tem-
se:
Linhas circulares 
Mantêm a forma.
Linhas longitudinais 
Apresentam-se na forma helicoidal
(espiral).
Eq. 1
Tensão de cisalhamento associada ao torque aplicado
Um eixo circular, maciço ou tubular, está submetido a uma série de torques externos e em equilíbrio estático.
 
Adotando a hipótese que as deformações sejam elásticas, a lei de Hooke para o cisalhamento é válida, ou
seja, a equação 2 pode ser aplicada:
Onde:
 - Tensão cisalhante.
 
 - Módulo de elasticidade do material ao cisalhamento.
 
 - Deformação cisalhante.
Por meio de manipulações algébricas entre as equações 1 e 2, é possível escrever a equação 3, que mostra
como a tensão cisalhante varia ao longo do raio, em uma dada seção interna do eixo.
Onde:
 - Raio da seção.
 
 - Distância do centro.
A partir da análise da equação 3, é possível inferir que a tensão cisalhante varia ao longo do raio linearmente,
sendo nula no centro da seção reta circular.
 
A imagem 3 mostra, esquematicamente, a atuação das tensões cisalhantes nas seções retas de um eixo
circular maciço e de um eixo tubular.
Eq. 2
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Eq. 3
• 
• 
Imagem 3 - Distribuição da tensão cisalhante ao longo do raio.
Analisando a imagem 3, é fato que:
Assim, para o eixo tubular, as equações 2 e 3 são aplicáveis a partir do raio interno. Também é possível
observar na imagem 3 a coincidência no sentido do torque (T) atuante na seção e no sentido da
representação das tensões cisalhantes.
 
Para a seção tubular de raio interno e raio externo , a tensão cisalhante atuante na
seção de estudo varia segundo a função a seguir:
Exemplo 1
Considere um eixo circular maciço de raio 80mm, em equilíbrio sob a ação de torques externos. Em uma dada
seção de estudo, o torque atuante apresenta intensidade de 15kN.m. A tensão cisalhante máxima na seção é
de 48MPa. Determine as tensões de cisalhamento no centro da seção circular e em um ponto afastado 30mm
do centro.
Solução
Admitindo que o regime plástico não tenha sido atingido, a tensão cisalhante varia, ao longo do raio, segundo
a equação 3, ou seja, . Assim, para e , tem-se que:
Exemplo 2
Eixo circular 
A tensão cisalhante no eixo circular maciço
varia linearmente, desde zero (no centro) até
o valor máximo, na periferia.
Eixo tubular 
A região "oca" apresenta tensão
cisalhante nula e, a partir do raio interno
( ), a tensão varia linearmente até
atingir seu valor máximo em (raio
externo).
 
Um eixo tubular é utilizado para transmitir potência de um motor para um sistema mecânico. Considere que o
eixo apresente raios interno e externo iguais a 50mm e 90mm. Na condição de potência igual a 60kW, em uma
dada seção, a tensão cisalhante máxima na seção é de 45MPa. Determine as tensões de cisalhamento:
 
a) No centro da seção tubular.
 
b) A 40mm do centro.
 
c) Na parede interna do tubo.
 
d) Na parede externa do tubo.
Solução
Inicialmente, será adotada a premissa que a transmissão de potência ocorra no regime elástico. Dessa forma,
a tensão cisalhante varia, ao longo do raio, da seguinte maneira:
a) Logo, no centro a tensão cisalhante é igual a zero.
b) Para , a tensão cisalhante é nula.
c) Na parede interna, , a tensão cisalhante é 
.
d) Na parede externa, a tensão cisalhante é a máxima, ou seja, .
Mão na massa
Questão 1
Um eixo tubular de raios 90 e 120mm está submetido à torção. Em uma dada seção, o torque atuante é de
20kN.m. Considere que o fenômeno ocorra inteiramente no regime elástico. A respeito das tensões
cisalhantes atuantes na seção, são feitas as seguintes afirmações:
 
I - A relação sempre é valida ao longo do raio;
II - A relação é valida ao longo do raio, na parede do tubo; 
III - A variação da tensão cisalhante segue uma relação quadrática, na parede do tubo.
A
Apenas a afirmativa I.
B
Apenas a afirmativa II.
C
Apenas a afirmativa I e II.
D
Apenas a afirmativa I e III.
E
Apenas a afirmativa II e III.
A alternativa B está correta.
Considerando o regime elástico, a tensão cisalhante em um tubo devido à torção apresenta variação linear
a partir da parede interna. Na região “vazia”, a tensão cisalhante é nula. Assim, as afirmativas I e III estão
incorretas.
Questão 2
A imagem representa a seção circular de um eixo maciço de diâmetro240mm, sob a ação de um torque. A
tensão de cisalhamento atuante a 40mm é de . A tensão cisalhante máxima é igual a:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
O diâmetro é de 240mm. Logo, o raio vale 120mm. A imagem mostra uma variação linear da tensão ao
longo do raio. Assim, é possível utilizar a expressão da equação 3:
Questão 3
Um eixo tubular é parte de uma estrutura. O principal efeito atuante no eixo é a torção. Suponha que o raio
externo seja igual a 100mm e a parede do tubo igual a 60mm. Se a tensão de cisalhamento máxima atuante
em uma dada seção é , determine a tensão atuante a 20mm do centro.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Para um tubo sujeito à torção, a relação é válida na parede do tubo, ou seja, para
distâncias . Para distância menores que o raio interno, a tensão cisalhante é nula. Sendo o raio
externo igual a 100 mm e a parede do tubo de 60 mm , o raio interno vale 40 mm . Logo, a tensão
cisalhante a 20 mm do centro será igual a 0.
Questão 4
Considere uma estrutura na forma tubular sujeita à torção, trabalhando exclusivamente no regime elástico.
Supondo que a relação entre a parede do tubo e seu raio interno valha 4, determine a razão entre as
deformações cisalhantes nas paredes externa e interna do tubo.
A
2
B
3
C
4
D
5
E
Faltam informações.
A alternativa D está correta.
A deformação cisalhante (no regime elástico), ao longo do raio de uma seção tubular, tem variação linear
quando sob ação de um torque, conforme a equação 1.
Lembrando-se que essa relação é válida para toda a parede do tubo.
O problema apresenta que:
Além disso, . Denominando de e .
Substituindo na equação 1 e, lembrando-se de que a deformação máxima ocorre na parede externa, tem-se
que:
Questão 5
Um eixo maciço apresenta algumas informações, dentre as quais um gráfico que relaciona a deformação
cisalhante, quando ação de um torque T, com a distância ao centro do eixo. A partir do gráfico a seguir, qual é
a deformação máxima em uma dada seção de estudo, sabendo que o diâmetro desse eixo é de 120mm?
A
4·10-3rad 
B
6·10-3rad 
C
8·10-3rad 
D
9·10-3rad 
E
12·10-3rad 
A alternativa E está correta.
O diâmetro apresentado é de 120 mm . Logo, o raio c vale 60 mm . O gráfico mostra que e são
grandezas diretamente proporcionais. A partir da equação 1, pode-se escrever que:
No gráfico, a uma distância a deformação cisalhante vale . Substituindo os
valores na expressão anterior:
Questão 6
O gráfico a seguir mostra a variação da tensão cisalhante na seção reta de um tubo circular ao longo do raio,
quando sob ação de um torque T. Supondo que o tubo esteja em equilíbrio sob torção e no regime elástico,
determine a espessura do tubo em estudo.
A
10mm
B
12mm
C
15mm
D
20mm
E
30mm
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Em uma empresa de engenharia, um projeto prevê que um eixo tubular será utilizado como elemento estrutural
submetido à torção de um torque . Um estagiário ficou designado a determinar uma função matemática
para determinar a tensão de cisalhamento atuante na parede do tubo, ao longo de OA, considerando o eixo x
mostrado no croqui da seção reta do tubo. Os valores de projeto são a tensão máxima atuante ( ),
os raios interno (r) e externo (R).
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Seja um eixo maciço, cuja seção reta é representada na imagem. Considere que o regime é elástico e que o
eixo se encontra sob torção. A variação da tensão ao longo do raio é crescente linear. Supondo dois pontos da
seção, afastados do centro do círculo, 40mm e 70mm. A razão entre as tensões cisalhantes atuantes nos
pontos é:
A
B
C
1
D
E
A alternativa A está correta.
A imagem mostra que a variação da tensão cisalhante ao longo do raio é linear. A partir da equação 3:
Dividindo as duas equações anteriores:
Questão 2
Considere um tubo em equilíbrio, no regime elástico, submetido a um conjunto de torques. Uma dada seção é
estudada. O torque interno atuante tem módulo . Considerando que as tensões máxima e mínima
valem e , determine a razão entre o raio interno e a espessura da parede.
A
B
C
1
D
 
E
A alternativa D está correta.
Sejam r e R os raios interno e externo do tubo e t a espessura da parede (t = R – r). Considerando a
equação 3, pode-se escrever que:
É possível escrever que e . Assim, a espessura t será . Portanto, a razão
pedida é .
 
2. Dimensionamento de barras sujeitas à torção
Vamos começar!
Neste vídeo, você entenderá sobre o dimensionamento de barras sujeitas à torção.
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Uma das vertentes do engenheiro é o dimensionamento de projetos. Neste conteúdo, será apresentado o
dimensionamento de pequenas estruturas sujeitas à torção. Em particular, será considerado o regime elástico
e as seções circulares maciças ou tubulares.
Tensão máxima em eixos circulares no regime elástico
Considere um eixo maciço de raio c submetido a um carregamento externo de torques, tal que se encontre em
equilíbrio no regime elástico. Seccionando-se o eixo, uma área A circular fica “exposta” e nela atua um torque
de intensidade T, conforme a imagem 4:
Imagem 4 – Deformação de um eixo sob torção.
Na seção reta da imagem 4, é possível identificar um pequeno elemento de área na qual atua a tensão
cisalhamento . A partir da definição de tensão cisalhante média, é possível escrever a equação 4:
Adequando a equação 4 para a situação da imagem 4, tem-se que:
Eq. 4
A força infinitesimal provoca um torque , dado pela multiplicação . Assim, . Mas, 
. Manipulando-se algebricamente as relações matemáticas anteriores, tem-se a equação 5:
Mas a equação 3 afirma que: . Substituindo a expressão de na equação 5 , temos que 
. , ou seja, o torque infinitesimal provocado por dF associada à tensão na área
infinitesimal dA. Considerando toda seção reta, deve-se integrar:
Como a tensão cisalhante e o raio c da seção são valores constantes para uma dada situação, podem ser
retirados do integrando.
 
Além disso, o momento polar de inércia da região circular, em relação ao centro (polo), é definido por 
. Assim, tem-se a equação 6:
A partir da equação 6, é possível determinar a tensão cisalhante máxima em uma dada seção circular de raio c
submetida a um torque T. Observe que e são inversamente proporcionais.
 
A partir das equações e 6, é possível escrever a equação 7 , que determina a tensão
cisalhante em qualquer ponto da seção circular.
Exemplo
A peça de uma estrutura é um eixo maciço de seção circular. Supondo que, na seção de estudo, o torque
aplicado tenha intensidade 900kN.mm, determine a tensão de cisalhamento máxima atuante nessa seção,
considerando o raio c = 80mm.
Solução
Inicialmente as unidades serão apresentadas no S.I:
Eq. 5
 
 
Eq. 6
Eq. 7
 
Assim:
 
Utilizando a equação 6, tem-se:
Dimensionamento de eixos circulares sob torção
Considerando um eixo maciço ou tubular em regime elástico e equilíbrio, é possível escrever expressões
matemáticas para a determinação da tensão máxima como função exclusiva do torque atuante na seção e dos
parâmetros geométricos (raios interno e externo).
Exemplo
É possível dimensionar seções circulares a partir do conhecimento do torque atuante e do material
utilizado (tensão cisalhante admissível). 
Para seções tubulares, também há necessidade de algum parâmetro geométrico. Dado o raio interno,
determina-se o raio externo e vice-versa.
 
Inicialmente, serão escritas as relações que determinam o momento polar de inércia de seções circulares e
tubulares. O círculo será caracterizado apenas pelo seu raio (c) enquanto o tubo, pelos seus raios externo ( 
 ) e interno( . Observe as expressões a seguir:
• 
• 
• 
• 
Momento de inércia da seção circular.
Para a seção circular, utilizando a equação 6, demonstra-se a equação 8:
Já para a seção tubular, tem-se a equação 9:
Portanto, as equações 8 e 9 auxiliarão no dimensionamento de eixos circulares/tubulares.
Exemplo 1
Considere um eixo circular maciço engastado em uma das extremidades e, na extremidade livre um torque, no
sentido horário. Supondo que o material que constitui o eixo tenha tensão cisalhante admissível de 120MPa e
a intensidade do torque seja de 3kN.m, determine o diâmetro mínimo, em mm, a ser utilizado no eixo.
Solução
Inicialmente, será feita uma adequação das unidades: 120MPa = 120·106 Pa e 3kN.m = 3.000N.m. A partir da
equação 8, tem-se que:
Assim, o diâmetro será dado por 2 · (0,02516) = 0,05032 m = 50,32mm.
Exemplo 2
Em determinado projeto, um eixo apresenta uma série de engrenagens com torques aplicados. Suponha que o
regime elástico seja mantido, que a seção reta apresente raio constante de 20mm e o eixo se encontre em
equilíbrio. Um engenheiro precisa saber qual é a tensão de cisalhamento máxima que ocorre no eixo. A
imagem a seguir representa o eixo em estudo.
Momento de inércia da seção tubular.
 
Eq. 8
 
Eq. 9
 
Solução
A partir da análise da figura, o eixo encontra-se em equilíbrio. Fazendo-se cortes no eixo, a partir da
extremidade esquerda, tem-se:
1o corte
Para o equilíbrio, tem-se que 
2o corte
Para o equilíbrio, tem-se que . Logo, 
3o corte
Para o equilíbrio, tem-se que . Logo, 
4o corte
Para o equilíbrio, tem-se que . Logo, 
A partir da equação 8, tem-se que:
Como c é constante, o maior valor de T implicará em maior tensão cisalhante. Da análise anterior, o maior valor
de T é 400N.m. Substituindo os valores, tem-se:
Mão na massa
Questão 1
Seja o eixo de transmissão de um motor circular maciço de 50mm de raio. Supondo que em dada seção o
torque tenha intensidade de 20kN.m, determine o a tensão máxima cisalhante.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Inicialmente, as unidades apresentadas serão adequadas ao Sistema Internacional. Dessa forma, o raio de
50mm será 0,05m e o torque de 20kN.m será 20.000N.m. Substituindo os valores na equação 8, tem-se
que:
Questão 2
Um eixo tubular apresenta raio externo igual a 80mm e parede de 50mm. Em dada seção, o torque interno
apresenta módulo de 2000kN.mm. Determine a tensão de cisalhamento atuante a 10mm do centro.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Ajuste das unidades ao S.I.
Torque: 2.000N.m
Raio externo: 0,08m
Raio interno: 0,03m
A partir da equação 9:
Na parede do tubo, a variação da tensão cisalhante é linear. Como a distância do centro (10mm) está na
região “vazia” do tubo, a tensão cisalhante é nula.
Questão 3
Um estagiário deseja fazer o dimensionamento de um pequeno eixo maciço que utilizará em um sistema
mecânico. Inicialmente, ele seleciona um aço, cuja tensão cisalhante admissível é de 90MPa. O torque máximo
nas seções internas a que o eixo ficará submetido é de 0,4kN.m. Determine o diâmetro mínimo do eixo.
A
• 
• 
• 
18,7mm
B
21,8mm
C
25,4mm
D
28,3mm
E
30,4mm
A alternativa D está correta.
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m
O raio pode ser determinado a partir da equação 8:
Logo, o diâmetro mínimo será 2.(14,15) = 28,3mm.
Questão 4
Uma estrutura é construída com elementos metálicos maciços e circulares. Uma dessas peças está submetida
à torção, respeitado o regime elástico do material. O engenheiro quer fazer uma modelagem do sistema e,
para isso, precisa escrever uma função que determine a tensão de cisalhamento em uma dada seção, a
partir apenas da distância do centro. Considere que, na seção de estudo, o torque aplicado seja de 
 e raio 50 mm . Determine a função , sendo apresentado em m e em . Utilize 
A
• 
• 
 
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Inicialmente, será determinada a tensão de cisalhamento máxima atuante na seção, a partir da equação 8:
Substituindo na equação 3, tem-se:
Questão 5
Considere que um eixo tubular de diâmetro externo igual a 150mm e raio interno 10mm esteja sendo utilizado
para transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico de pás. Uma seção do eixo é escolhida
para estudo. Considere que o torque interno apresenta módulo de 5 kN.m. Determine a tensão de
cisalhamento na parede interna do tubo, nessa seção.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 6
(Ano: 2015 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: CESGRANRIO ‒ 2015 ‒ Petrobras ‒ Técnico de
Manutenção Júnior ‒ Mecânica) Na torção de um eixo de seção transversal circular, a tensão cisalhante
máxima vale . Se o diâmetro desse eixo é duplicado, o valor dessa tensão cisalhante máxima é:
A
Multiplicado por dois.
B
Multiplicado por quatro.
C
Multiplicado por oito.
D
Dividido por quatro.
E
Dividido por oito.
A alternativa E está correta.
Escrevendo a tensão de cisalhamento em função do diâmetro, tem-se:
Logo, se o diâmetro for multiplicado por 2, a tensão máxima ficará:
Teoria na prática
Em um pequeno projeto de sistema mecânico, um engenheiro deverá dimensionar um eixo para compor a
estrutura. O eixo deverá ser tubular de um aço cuja tensão admissível é 60MPa e resistir, sob torção, a um
torque de 800N.m. A razão entre os raios externo e interno deve ser igual a 1,10. Ele deve determinar as
características geométricas do eixo, ou seja, seus raios e sua parede. A imagem a seguir mostra o tubo sob
ação de um par de torques.
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere que o eixo tubular de diâmetro externo igual a 200mm e parede de 80mm esteja sendo utilizado
para transmissão de 20kW de potência de um motor. Em dada seção, o torque interno apresenta módulo de
400N.m. Determine a tensão de cisalhamento máxima.
A
0,112MPa
B
0,157MPa
C
0,180MPa
D
0,255MPa
E
0,347MPa
A alternativa D está correta.
Primeiramente, as unidades serão homogeneizadas para o S.I.
Torque: 400N.m
Potência: 20.000W
Diâmetro externo: 0,2m. Logo, raio externo 0,1m
Parede: 0,08m. Assim, raio interno igual a 0,1 – 0,08 = 0,02m
A tensão cisalhante máxima pode ser determinada a partir da equação 9.
• 
• 
• 
• 
Questão 2
(Ano: 2014 Banca: CESGRANRIO Órgão: LIQUIGÁS Prova: CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ LIQUIGÁS ‒ Engenheiro
Júnior ‒ Mecânica) Ao se aplicar um torque a um eixo de seção circular maciça, o valor da tensão cisalhante
que atua nos pontos da superfície do eixo:
A
Independe do diâmetro do eixo.
B
Aumenta se o comprimento do eixo aumentar.
C
Diminui se o diâmetro do eixo aumentar.
D
Diminui se o diâmetro do eixo diminuir.
E
Diminui se o comprimento do eixo diminuir.
A alternativa C está correta.
A tensão cisalhante na seção reta de um eixo circular maciço é dada pela expressão .
Escrevendo em função do diâmetro, tem-se:
Assim, para T constante, a tensão cisalhante máxima aumenta com a diminuição do diâmetro e vice-versa.
3. Transmissão de potência
Vamos começar!
Neste vídeo, você entenderá mais sobre a transmissão de potência.
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Os elementos circulares metálicos podem ser utilizados com a função estrutural e, sob a ação de torção, em
suas seções internas ocorre o fenômeno do cisalhamento. Outra possibilidade é a utilização dos eixos
circulares (maciços ou tubulares) para a transmissão da potência de um motor para um sistema mecânico.
Transmissão de potência
Considere um motor elétrico e um sistema mecânico, por exemplo, e um conjunto de pás que devem girar em
determinada frequência. A “união” desses dois elementos pode ser feita por meio de um eixo circular, seja ele
maciço ou tubular. Assim, seráfeita a transmissão do movimento de rotação do motor às pás ou, de outra
forma, será transmitida a potência do motor ao conjunto mecânico.
 
A imagem 5 mostra o acoplamento de um motor M a um sistema mecânico por meio de um eixo AB, uma polia
e sua correia.
Imagem 5 – Transmissão de potência.
Qualitativamente, na transmissão de potência por meio de eixos, estes ficam submetidos a torques que
dependem de dois parâmetros:
• A potência do motor.
• A velocidade angular. 
A seguir, demonstraremos a relação entre as grandezas potência, torque e velocidade angular.
 
Considere um caso particular em que um sistema tenha velocidade v (módulo) e uma força (módulo)
atuante, tal que as grandezas vetoriais envolvidas apresentam mesma direção e mesmo sentido. A potência ( 
 ), em dado instante, é dada por:
Contudo, a velocidade linear v pode ser apresentada pelo produto da velocidade angular pelo raio da
trajetória circular. Substituindo na equação anterior, tem-se que:
Mas, . Logo, a potência transmitida ( ) será apresentada na equação a seguir.
Onde, no Sistema Internacional (S.I.):
Pot – Expressa em watt (W)
 
 – Expresso em N.m
 
 - Expresso em rad/s
A velocidade angular pode ser expressa em função da frequência (número de voltas por unidade do
tempo), ou seja, . Assim, a equação 10 pode ser apresentada como a equação 11.
A unidade para a frequência no S.I. é rotações por segundo (rps) ou Hertz (Hz). É usual a sua apresentação
em rotações por minuto (rpm). A conversão de rpm em Hz, e vice-versa, é mostrada no esquema a seguir:
Exemplo
Eq. 10
• 
• 
• 
Eq. 11
Um eixo circular está sendo utilizado para transmitir potência de um motor M para um sistema mecânico.
Considere que a potência do motor seja de 4kW e a frequência do motor, de 180rpm. Determine:
a) A velocidade angular do eixo.
 
b) O torque aplicado ao eixo.
Solução
Inicialmente, as unidades serão ajustadas para o S.I. Pot e .
Velocidade angular .
Dimensionamento de eixos
O dimensionamento de eixos utilizados para transmissão de potência avalia alguns parâmetros, como
potência, torque, material utilizado etc. E, utilizando as equações adequadas, é possível chegar a parâmetros
geométricos dos eixos.
Exemplo
O diâmetro mínimo em um eixo circular ou a espessura mínima da parede de um eixo tubular. 
Suponha uma situação em que um eixo circular maciço deva ter seu diâmetro dimensionado. A potência a ser
transmitida e a frequência de rotação são apresentadas. Assim, esquematicamente, tem-se:
Ademais, escolhe-se o material a ser utilizado na fabricação do eixo circular maciço, ou seja, o valor de tensão
cisalhante admissível é conhecido, pois é tabelado (valor máximo).
 
Portanto, a partir do conhecimento da intensidade do torque chega-se ao raio mínimo, ou ao diâmetro
mínimo ( ). Veja o esquema a seguir:
O esquema apresentado foi para um eixo maciço. Para a situação de um eixo tubular, algum parâmetro
geométrico deve ser conhecido. Ou, então, a saída será uma relação matemática entre os raios interno e
externo que flexibiliza uma série de escolhas que satisfazem à relação.
 
Agora, será vista a expressão que processa os dados do último esquema. Considere as equações 8, 9 e 11:
Para o eixo circular maciço, será feita a manipulação algébrica entre as equações 8 e 11. Assim:
Substituindo na equação 8:
Para o eixo circular tubular, será feita a manipulação algébrica entre as equações 9 e 11. Assim:
Substituindo na equação 9:
Eq. 8
Eq. 9
Eq. 10
 
Eq. 12
Reafirmando o que já foi descrito, para o eixo tubular, uma relação matemática (equação 13) entre os raios
interno e externo será apresentada.
 
Conhecendo um parâmetro geométrico do tubo (raio interno, por exemplo), o raio externo pode ser calculado.
Ou, no dimensionamento do eixo, pode-se arbitrar um valor para c interno e determinar o c externo. Da última
maneira, há um rol de possibilidades.
Exemplo 1
Um eixo maciço é utilizado para transmitir 4,5kW de potência a um conjunto de pás que devem girar à
frequência de 120rpm. O material a ser utilizado apresenta tensão cisalhante admissível de 90MPa. Determine
o raio mínimo a ser utilizado para o eixo, considerando o regime elástico.
Solução
Adequação das unidades: Potência igual a 4.500W, frequência igual a 2Hz e tensão admissível 90.106 Pa. A
partir da equação 12, temos que:
Exemplo 2
Um projeto acoplará um sistema mecânico a um motor por meio de um eixo tubular. A potência transmitida é
de 150kW e o material utilizado tem tensão cisalhante admissível de 30MPa. O eixo deverá girar a uma
frequência de 25Hz e seu diâmetro externo será igual a 60mm. Determine a parede mínima para esse tubo.
Solução
Homogeneização das unidades: potência igual a 150.103W, tensão admissível 30.106Pa e raio externo igual a
0,03m. A partir da equação 13, temos que:
Assim, a parede do tubo será t = 30mm – 21mm = 9mm.
Mão na massa
Questão 1
 
 
Eq. 13
 
Considere a imagem a seguir em que um motor de potência 3kW é acoplado a um eixo circular maciço de aço.
A frequência de rotação é 1800 e o aço utilizado tem tensão cisalhante admissível de 60 . Qual é
o raio mínimo da seção do eixo?
A
4,73mm
B
5,12mm
C
5,53mm
D
6,82mm
E
7,91mm
A alternativa C está correta.
Sendo o eixo maciço, pode-se utilizar a equação 12, ou seja,
Ajustando as unidades, Pot e tensão cisalhante .
Questão 2
Um projeto de um eixo maciço foi dimensionado para os parâmetros potência, frequência de rotação e o tipo
de material. Com isso, chegou-se ao raio mínimo de 15mm. Para um novo projeto em que apenas a potência é
modificada (passa a ter valor 8 vezes maior), qual é o novo raio mínimo?
A
30mm
B
25mm
C
20mm
D
15mm
E
7,5mm
A alternativa A está correta.
Considerando para o projeto inicial os parâmetros: Pot, e , o raio mínimo é . A
partir da equação os parâmetros citados se relacionam. Utilizando a mesma expressão
para o segundo projeto alterando-se apenas a potência Potı . Pot , o raio mínimo é
determinado. Observe:
Assim, o novo raio é igual a 30mm.
Questão 3
 
Um tubo será utilizado como eixo de transmissão de potência de um motor. A geometria do tubo apresenta os
valores para raio externo de 50mm e parede igual a 10mm. A frequência de rotação é de 1800 e a
potência a transmitir de 120kW. Qual é a tensão de cisalhamento máxima que atua no eixo?
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
A parede do tubo circular é dada pela expressão Assim, o raio interno 
. O raio externo ( ) vale . Adequando as unidades de potência e
frequência, e substituindo na equação 13 , temos que:
Questão 4
Um eixo maciço transmite potência de um motor elétrico para um sistema de engrenagens. A potência é de
4.000W e a frequência de rotação 40Hz. A tensão cisalhante máxima atuante em uma dada seção do eixo é
de . Qual é a tensão cisalhante atuante a 5mm do centro do círculo?
A
B
 
C
D
E
A alternativa C está correta.
Inicialmente será determinado o raio do eixo, utilizando a equação 12:
Como a variação da tensão cisalhante é linear, ao longo do raio, temos que:
Assim, .
Questão 5
Um motor de um exaustor tem potência de 1000W. Mantendo constante a potência e variando a frequência de
rotação de para , qual é a razão dos torques (em intensidade) que atuam
no eixo nos instantes em que as frequências são, respectivamente, 1800 rpm para ?
A
B
C
1
 
D
E
A alternativa E está correta.
A partir da equação e, pelo fato de a potência ser constante, é possível escrever
que:
Substituindo os valores:
Questão 6
Seja um motor , cuja potência é igual a Pot. Suponha dois eixos 1 e 2 , circulares maciços de mesmo
material, cujos raios sejam, respectivamente, e . O motor será acoplado em
cada um dos eixos, alternadamente. Quando conectado ao primeiro, a frequência de rotação é 2400 .
Qual é a frequência de rotação , supondo que o regime seja elástico e a tensão cisalhante atuante seja a
admissível para o material?
A
B
C
D
E
 
 
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguirpara conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Um estagiário de Engenharia foi incumbido de auxiliar no dimensionamento de um eixo tubular para um projeto
que transmitirá potência de um motor para um sistema mecânico, por meio desse eixo. A empresa possui em
seu estoque o aço X, cuja tensão de cisalhamento admissível é de . Durante a transmissão de
potência, o eixo fica submetido a um torque de 680N.m e a frequência de rotação do eixo de . Por
questões de projeto, o diâmetro externo deve ser de 60mm. Qual é a espessura mínima da parede?
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um motor transmite potência de 2.000W por meio de um eixo que tem frequência de rotação de 3Hz. O torque
a que fica submetido é igual a:
A
66,67N.m 
B
92,10N.m
C
100,45N.m
D
106,16N.m
E
125,12N.m
A alternativa D está correta.
A partir das equações Pot e , é possível escrever que:
Questão 2
A transmissão de potência de um motor por meio de um eixo maciço se relaciona com a frequência (f) de
rotação e o torque atuante (T). Desse modo, são feitas as seguintes afirmativas:
 
I – Para um valor constante de T, a potência depende do quadrado da frequência de rotação.
II – Para um valor constante de f, a potência varia inversamente com o módulo de T.
III – Para potência constante, o torque atuante e a frequência de rotação são grandezas inversamente
proporcionais.
 
São corretas:
A
Apenas a afirmativa I.
B
Apenas a afirmativa II.
C
Apenas a afirmativa III.
D
Apenas as afirmativas I e III.
E
Apenas a afirmativa II e III.
 
A alternativa C está correta.
A potência (Pot), o torque atuante no eixo ( ) e a frequência de rotação ( ) são relacionadas
matematicamente por:
A partir da expressão anterior, podemos inferir que:
I – Quando T é constante, a potência depende diretamente da frequência.
II – Quando f é constante, a potência depende diretamente de T.
III – Para potência constante, T e f são inversamente proporcionais.
4. Torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
Vamos começar!
Neste vídeo, você entenderá sobre a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina.
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Como nos ensina Hibbeler (2010), tubos com paredes finas e seção reta não circular têm grande utilização em
estruturas leves. 
 
Neste conteúdo, será abordado o efeito da torção sobre tubos de paredes finas e seção fechada.
 
Observe a imagem 6, em que um torque T é aplicado a um elemento (com as características descritas
anteriormente) de uma estrutura.
Imagem 6 – Tubo de paredes finas.
Fluxo de cisalhamento
Considere uma seção reta de um tubo fechado não circular de paredes finas, conforme ilustrado na imagem 7:
Imagem 7 – Seção reta de um tubo não circular de paredes finas.
Para o entendimento da tensão cisalhante atuante nas paredes finas, será abordada uma nova grandeza
denominada fluxo de cisalhamento (q).
 
Alguns autores, como Hibbeler (2010) e Beer & Johnston (1995), fazem analogia com o fluxo de água em um
canal de profundidade constante, mas de largura variável.
 
A água apresenta velocidades diferentes para larguras distintas, contudo, o seu fluxo não varia.
 
Observe a imagem 8:
Imagem 8 – Fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas.
Do exposto anteriormente, é possível escrever a equação 14:
Onde:
 - espessura da parede em algum ponto da seção.
 
 - tensão de cisalhamento média na parede, na região em que a espessura é .
Da análise da equação 14, percebe-se que o produto da espessura pela tensão cisalhante é constante ao
longo de uma seção reta do tubo. Esse produto é denominado fluxo de cisalhamento (q), expresso pela
equação 15:
A partir da equação 15, como o fluxo q é constante, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são
inversamente proporcionais.
Eq. 14
• 
• 
Eq. 15
Resumindo
Quando uma aumenta, a outra diminui. 
Logo, a maior tensão de cisalhamento média ocorre para a menor espessura e, a menor, para a maior
espessura.
 
Em termos de unidades, perceba que o fluxo q “mede” a força aplicada por unidade de comprimento ao longo
da área da seção reta do tubo.
Exemplo
Suponha uma seção de um tubo de paredes finas sujeito a um torque de intensidade T. Uma dada seção reta
será estudada. Duas regiões dessa seção ( A e ) apresentam espessuras 5 mm e . O
fluxo de cisalhamento na seção é igual a . Determine as tensões cisalhantes médias em A e B.
Solução
Da equação 15,
A tensão média em A:
Como o fluxo q é constante, temos que:
Note que o aumento da espessura leva à diminuição da tensão cisalhante média.
Tensão cisalhante média (\(\tau_{\text {média }}\))
 
Nesse ponto, a pergunta a ser feita é: como o torque aplicado a um tubo de seção reta de paredes finas se
relaciona com a tensão cisalhante média? A partir do conceito de momento de uma força, é possível chegar-
se a uma expressão que responde à indagação.
 
Um pequeno elemento da seção reta em estudo é individualizado e determina-se o elemento infinitesimal do
torque dT. Integrando-se, chega-se à expressão do dada pela equação 16:
Onde:
T - Torque resultante na seção.
 
t - Espessura do tubo onde a tensão será determinada.
 
 - Área média (a ser definida).
A área média que aparece na equação 16 é definida conforme a imagem 9.
Imagem 9 – Área média num tubo de paredes finas.
Portanto, é a área da seção limitada pela linha tracejada na imagem 9.
Exemplo
Seja um tubo retangular engastado em uma estrutura e livre na outra extremidade. As dimensões externas do
tubo são 30mm e 60mm e as paredes têm espessura constante e igual a 4mm. Quando na extremidade livre
do tubo é aplicado um torque de 40N.m, determine:
 
Eq. 16
• 
• 
• 
a) A tensão média nas paredes;
 
b) O fluxo de cisalhamento na seção em estudo.
Solução
Inicialmente, será feita uma representação esquemática da seção reta do tubo.
Em que:
a) Substituindo os valores de t, e T na equação 16 , temos:
b) A partir da equação que determina o fluxo de cisalhamento q, temos que:
Note as unidades utilizadas:
 
 
 
Mão na massa
Questão 1
Considere um tubo de seção quadrangular que está submetido a um par de torques (intensidade 144N.m). A
área média da seção do tubo é igual a 3.600mm2 e a espessura do tubo é constante, e bem menor que as
dimensões externa e interna. Nessas condições, a tensão cisalhante média atuante na parede do tubo é 
. Determine a espessura do tubo.
A
8mm.
B
10mm.
C
11mm.
D
12mm.
E
15mm.
A alternativa B está correta.
Inicialmente, as unidades serão homogeneizadas e a tensão cisalhante
igual a 2.106 Pa. A partir da equação 16 , temos que:
Questão 2
Um tubo de seção fechada e paredes finas não constantes sob torção apresenta fluxo de cisalhamento 
. Em uma dada seção de estudo, as espessuras máxima e mínima valem 5 mm e 4 mm . Determine as
tensões cisalhantes médias nesta seção do tubo.
 
 
A
 e 
B
 e 
C
 e 
D
 e 
E
 e 
A alternativa E está correta.
O fluxo de cisalhamento é constante e dado por:
Para a parede de maior espessura, a tensão cisalhante será mínima, e para a parede de menor espessura, a
tensão cisalhante será máxima. Assim:
Questão 3
Um tubo de paredes finas e espessura variável encontra-se sob torção, em um regime elástico. As seguintes
afirmativas são feitas:
 
I – O fluxo de cisalhamento é variável, aumentando à medida que a espessura da parede aumenta.
II – A tensão cisalhante média, ao longo da parede, varia de maneira diretamente proporcional à espessura.
III – A tensão cisalhante média máxima ocorre na região com menor espessura da parede.
 
São corretas:
A
Apenas a afirmativa I.
B
Apenas a afirmativa II.
C
Apenas a afirmativa III.
D
Apenas as afirmativas I e II.
E
Apenas as afirmativas I e III.
A alternativaC está correta.
O fluxo de cisalhamento em tubos de paredes finas (regime elástico) é constante e dado pela seguinte
expressão:
Assim, as grandezas tensão cisalhante média e espessura são inversamente proporcionais. Logo, a tensão
cisalhante máxima ocorre para a espessura mínima.
Questão 4
Considere um tubo retangular submetido à torção. Uma seção reta desse tubo é representada na imagem.
Suponha que a espessura em AB seja o dobro da espessura em BC e que o fluxo de cisalhamento seja q. A
razão entre as tensões de cisalhamento (média) nos ramos AB e BC é:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
O fluxo de cisalhamento q é constante, mesmo com variação da espessura da parede. Assim, é possível
escrever, a partir da equação 15, que:
Questão 5
Um tubo de seção quadrangular está em equilíbrio sob a ação de três torques. As dimensões da seção reta
são: lado externo do quadrado 30mm e parede 5mm. Considerando o regime elástico, qual é a tensão de
cisalhamento que atua na parede da seção entre os pontos A e B?
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
O tubo encontra-se em equilíbrio sob a ação dos torques. Fazendo um corte entre os pontos A e B, a parte
do todo estará em equilíbrio, sendo representada a seguir:
Do equilíbrio: .
Assim, .
Área média .
t=5 mm=0,005 m
Substituindo na expressão 16, tem-se:
Questão 6
Considere um tubo de seção reta triangular (triângulo equilátero), conforme imagem. Suponha que o tubo
esteja em equilíbrio no regime elástico. A seção em estudo apresenta torque interno de módulo 1,5kN.m e a
parede do tubo tem 5mm de espessura. Determine a tensão cisalhante média que age nas paredes do tubo.
Desconsidere o fator de concentração dos vértices.
 
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
(Questão 3.128 do livro Resistência dos Materiais, BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., 1995, p. 298/299) Um eixo
cilíndrico vazado foi projetado com a seção transversal mostrada na imagem (1) para resistir a um torque
máximo . Um defeito na fabricação, no entanto, resultou em uma pequena excentricidade e, entre as
superfícies cilíndricas, interna e externa, como mostrado na imagem (2). Expressar o torque máximo que
pode ser aplicado com segurança ao eixo defeituoso, em termos de e .
Chave de resposta
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um tubo é utilizado para transmitir potência de um motor. Em dado instante, fica submetido a um torque de
intensidade T. Considere o regime elástico e as paredes do tubo finas. As paredes variam sua espessura ao
longo da “volta” da seção, de acordo com o gráfico a seguir.
A razão entre as tensões cisalhantes média mínima e máxima é:
A
0,500
B
0,850
C
0,900
D
0,947
E
0,950
A alternativa C está correta.
A partir do gráfico, é possível inferir que a menor espessura da parede do tubo é igual a 90mm e a maior,
100mm. Como o fluxo de cisalhamento é constante, a tensão máxima ocorre na parede com menor
espessura e a tensão mínima, na parede com maior espessura. Assim:
Questão 2
Para um tubo de paredes finas sujeito ao esforço de torção, são feitas as seguintes afirmativas:
 
 
I – A tensão cisalhante média depende diretamente da área média da seção.
II – A tensão de cisalhamento aumenta com a espessura da parede.
III – A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque T atuante na seção.
IV – O fluxo de cisalhamento é constante, independentemente da espessura da parede.
 
São corretas:
A
Apenas as afirmativas I e II.
B
Apenas as afirmativas II e III.
C
Apenas as afirmativas III e IV.
D
Apenas as afirmativas II, III e IV.
E
Apenas as afirmativas I, II e III.
A alternativa C está correta.
Em um tubo de paredes finas, sob torção, o fluxo de cisalhamento é constante.
Analisando a equação :
A tensão cisalhante média depende diretamente da intensidade do torque.
A tensão cisalhante média depende inversamente da área média.
A tensão cisalhante média depende inversamente da espessura da parede.
• 
• 
• 
5. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, foram abordados os principais aspectos da torção em elementos estruturais. Inicialmente, foi
feita uma abordagem geométrica da deformação cisalhante devido à torção, em eixos circulares maciços ou
tubulares, concluindo com a expressão para a determinação da deformação. Posteriormente, foi feito o estudo
do cálculo da tensão cisalhante a partir do torque interno atuante na seção. Outro aspecto abordado foi a
transmissão de potência de um motor para um sistema mecânico, utilizando-se eixos circulares maciços ou
tubulares. A partir dos aspectos estudados, foi possível apresentar o dimensionamento de eixos circulares. No
último tópico, o estudo ampliou a determinação da tensão cisalhante para estruturas não circulares de
paredes finas.
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Para desenvolver os conceitos abordados, são sugeridas as seguintes referências:
 
Complementar o estudo de deformações e tensões cisalhante em eixos circulares (páginas 195 a 210) pela
fonte BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books,
1995.
 
Complementar o estudo de torção em tubos de parede fina com seções transversais fechadas (páginas 157 a
165) pela fonte HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
 
Complementar o estudo de transmissão de potência (páginas 133 e 134) pela fonte HIBBELER, R. C. 
Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
 
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
	Torção
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Deformações de torção para seções circulares ou tubulares
	Vamos começar!
	Conteúdo interativo
	Torque sobre eixos circulares
	Exemplo
	Solução
	Tensão de cisalhamento associada ao torque aplicado
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	Mão na massa
	Questão 2
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	2. Dimensionamento de barras sujeitas à torção
	Vamos começar!
	Conteúdo interativo
	Tensão máxima em eixos circulares no regime elástico
	Exemplo
	Solução
	Dimensionamento de eixos circulares sob torção
	Exemplo
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	1o corte
	2o corte
	3o corte
	4o corte
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Transmissão de potência
	Vamos começar!
	Conteúdo interativo
	Transmissão de potência
	Exemplo
	Solução
	Dimensionamento de eixos
	Exemplo
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina
	Vamos começar!
	Conteúdo interativo
	Fluxo de cisalhamento
	Resumindo
	Exemplo
	Solução
	Tensão cisalhante média (\(\tau_{\text {média }}\))
	Exemplo
	Solução
	Mão na massa
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências