AV II Unopar Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (0747742603)

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Podemos representar vetores no plano cartesiano, bidimensional, por meio de sua expressão analítica u = (x, y), onde x e y são as componentes do vetor em função da base canônica B = {(1,0), (0,1)}. A partir deste tipo de expressão, podemos realizar a aritmética vetorial.
Considere um vetor x no espaço bidimensional tal que
x + v = 2w
onde v = (3, -2) e w = (-2, 4). A expressão analítica de x é dada por:
Alternativas:
a)
x = (-5, 6).
b)
x = (-7, 10).
c)
x = (-4, 8).
d)
x = (-7, 6).
2)
Podemos definir algumas operações envolvendo vetores, dentre as quais podemos citar: adição, multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e produto misto. Com relação ao produto escalar e ao produto vetorial, envolvendo vetores no espaço cartesiano, tridimensional, analise as seguintes afirmações:
      I. Se o produto escalar entre os vetores u e v for igual a zero, então u e v são ortogonais.
     II. Se o produto vetorial entre os vetores v e w for igual a zero, então v e w são ortogonais.
    III. O produto vetorial é comutativo, ou seja, u x v = v x u.
    IV. O módulo de um vetor w está associado ao produto escalar da seguinte forma: w · w = |w|2.
Está correto o que se afirma em:
Alternativas:
a)
I, II e IV.
b)
I e III.
c)
I e IV.
d)
II, III e IV.
3)
As retas, no espaço cartesiano, tridimensional, podem ser representadas por meio de equações vetoriais, paramétricas ou reduzidas, além de sua representação gráfica. Para construir estas equações precisamos das coordenadas de um ponto pertencente à reta e de um vetor diretor, ou seja, um vetor que forneça a direção desta reta.
Seja a reta r que contém o ponto A(1, 0, 2) e tem a direção do vetor v = (3, 2, 1). Qual das equações, apresentadas nas alternativas a seguir, representa corretamente a reta r?
Alternativas:
a)
r: (x, y, z) = t(1, 0, 2) – (3, 2, 1).
b)
r: (x, y, z) = 2(1, 0, 2) + t(3, 2, 1).
c)
r: x = 1 + 3t;  y = 2t;  z = 2 + t.
d)
r: x = 3 + t;  y = 2;  z = 1 + 2t.
4)
Por meio das equações que caracterizam as retas e os planos, podemos estudar as posições relativas entre os mesmos, identificando quando possuem interseção ou não. Duas retas possuem interseção não vazia quando são coplanares e não paralelas, ou no caso em que forem coincidentes.
Considere as retas
Qual dos seguintes pontos pertence à interseção de r e s?
Alternativas:
a)
P(1, 0, 1).
b)
Q(0, 1, 1).
c)
R(2, 1, 5).
d)
S(1, 1, 2).
5)
Considere um ponto A(x0, y0, z0) e um vetor v = (a, b, c). O conjunto de todos os pontos P(x, y, z) do espaço tais que o vetor u = AP é ortogonal a vcorresponde a um plano do espaço cartesiano, tridimensional. Assim, podemos definir um plano a partir de um ponto e de um vetor ortogonal ao mesmo.
Identifique, nas alternativas a seguir, qual apresenta um vetor ortogonal ao plano de equação geral dada por:
π: 2x – 3y + z – 8 = 0
Alternativas:
a)
v = (-4, 6, -2).
b)
v = (2, 3, 1).
c)
v = (2, 3, 8).
d)
v = (1, 2, 3).