Lista de exercícios de Algebra I
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Lista de exercícios de Algebra I

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Álgebra Linear
Lista de Exercícios – 154 Questões de Vetores, Planos e Retas

1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V
 k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V

2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V
 j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
 	

RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V
 i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V
4) Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

 RESP: a)
 b)
 c)
 d)
 e)
 f)

 g)
 h)
 i)
 j)
 k)
 l)

5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

RESP:

6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

 RESP:
 c)

7) Determine as somas que se pedem:

 RESP:
.
8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2).

RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)

9) Determine x para que se tenha
, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).
 RESP: x=2

10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4

11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que
 a)
 b)
. RESP: a) x = 1 e y = 2 b)
 e y =3

12) Dados os vetores
=( 2,–1 ) e
=( 1,3) , determinar um vetor
, tal que:
 a)
 b)

RESP: a)
=
�� EMBED Microsoft Equation 3.0 b)

13) Dados os vetores
=(–1,1,2) e
=( 2,0,4), determine o vetor
, tal que:

RESP:

14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? RESP: (9,7,11)

15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:
 a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
 b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.
RESP:
,
 e
 ; b)
 e
.

16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor
 do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que 
= 13. RESP: z= 3

17)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor
 colinear à
 e tal que
 RESP:

18)Achar um vetor
 de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor
=6
–2
–3
.
RESP:

19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):
 a) determinar a natureza do triângulo;
 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
RESP: a) isósceles b) 
=

20) Sejam
. Determine um versor dos vetores abaixo:
 a)
+
 B) 2
–3
 c) 5
+4

 RESP: a)
(3,3,–5) b)
 c)
(13,14,–23)

21) Determine um vetor da mesma direção de
= 2
–
+2
 e que:
 a) tenha norma (módulo) igual a 9;
 b) seja o versor de
;
 c) tenha módulo igual a metade de
.
RESP: a)
=(6,–3,6) b)
(2,–1,2) c)
(2,‑1,2)

22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são
=(4,2,–3) e
=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)

23)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6)

24) Dados os vetores
=(3,2),
=(2,4) e
=(1,3), exprimir
como a combinação linear de
 e
. RESP:

25) Dados os vetores
=(3,–2,1),
=(–1,1,–2) e
=(2,1,–3), determinar as coordenadas do vetor
=(11,–6,5) na base
. RESP:

26)Escreva o vetor
=(4,1,0) , na base
,sendo
=(1,0,0) ,
=(3,2,1) e
=(1,1,1). RESP:

27)Dois vetores
=(2,–3,6) e
=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor
 sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores
e
,sabendo que 
=
. RESP:
=(  3, 15,  12)

28) Dados os vetores
=(1,–1,0),
=(3,–1,1),
=(2,2,1) e
=(4,–3,1). Determinar o vetor
=(x,y,z), tal que : (
+
) 
 e (
+
) 
. RESP:
=( –10,4,–3)

PRODUTO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR

29) Sendo
= ( 2,3,1) e
= ( 1,4, 5) . Calcular:
 a)

 b) (
–
) c)(
 +
)2 d) (3
– 2
)2 e) (2
‑3
)(
+2
)
 RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28

30)Sendo
=(2,–1,1),
=(1,–2,–2) e
=(1,1,–1). Calcular um vetor
=(x,y,z), tal que

= 4,

= –9 e

= 5. RESP:
=(3,4,2)

31)Sejam os vetores
=(1,–m,–3),
=(m+3,4–m,1)e
=(m,–2,7).Determinar m para que

=(
+
)
. RESP: m=2
32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou

33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:

se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

O ângulo entre as retas paralelas aos vetores
.
 RESP: a) Paralelogramo b)
.

34) Os vetores
 e
 formam um ângulo de 600. Sabe-se que 
=8 e 
=5, calcule: