Lista de exercícios de Algebra I

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Álgebra Linear
Lista de Exercícios – 154 Questões de Vetores, Planos e Retas

1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:


RESP:  a)V      b)V        c)F          d)V       e)V          f)V         g)F      h)V       i)F        j)V
                    k)V        l)V        m)F         n)V        o)V        p)V         q)V       r)F      s)V        t)V

2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

                 

                                          


                                         


                                        


                                     

RESP:  a)V       b)F       c) V         d)V         e)V           f)V        g)F        h)F        i)V
              j)V       k)V       l)F           m)V        n)V           o)V        p)V
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
                                 	 
        
                         
                      

RESP:  a)V        b)F            c)V           d)V            e)F         f)F          g)V       h)V
                                  i)V         j)F             k)V           l)V            m)V        n)F         o)V
4) Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
    
                                 
                                   

                 RESP:   a)
        b)
           c)
        d)
           e)
        f)

                             g)
        h)
               i)
         j)
            k)
        l)

5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
    
                                
                                 

RESP: 
     
     
     
     
     
     
     


6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 
    
                  
                 
                 

             RESP: 
   
   c)
    
   
   
    
   
   
   








7) Determine as somas que se pedem:



                                                                                

                                                                                

     



   RESP: 
.
8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2).
                       
RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)

9) Determine x para que se tenha 
, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6). 
     RESP: x=2

10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e  outro paralelo ao vetor (1,1).                   RESP: x = 3 e y = 4


11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que 
     a)
             b)
.               RESP:  a) x = 1 e y = 2        b) 
 e y =3

12) Dados os vetores 
=( 2,–1 ) e 
=( 1,3) , determinar um vetor 
, tal que:
     a) 
                                       b) 

RESP: a) 
=
�� EMBED Microsoft Equation 3.0       b)


13) Dados os vetores 
=(–1,1,2) e  
=( 2,0,4), determine o vetor  
, tal que:    
     
                                     

RESP:     
             

14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? RESP: (9,7,11)

15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:
      a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
     b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 
RESP: 
, 
 e 
 ;           b) 
 e 
.

16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor 
 do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que 
= 13.                                                 RESP: z= 3

17)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor 
 colinear à 
 e tal que 
                                                                      RESP:  

18)Achar um vetor 
 de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor 
=6
–2
–3
.
RESP: 

19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):
     a) determinar a natureza do triângulo;
     b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
RESP: a) isósceles       b) 
= 

20) Sejam 
. Determine um versor dos vetores abaixo:
     a)
+ 
                            B) 2
–3
                 c) 5
+4

                     RESP: a) 
(3,3,–5)        b) 
      c) 
(13,14,–23)

21) Determine um vetor da mesma direção de 
= 2
–
+2
 e que:
        a) tenha norma (módulo) igual a 9;
        b) seja o versor de 
;
        c) tenha módulo igual a metade de 
. 
RESP:   a)
=(6,–3,6)     b)
(2,–1,2)     c)
(2,‑1,2)

22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são     
=(4,2,–3) e 
=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4)  e D( 2,4,–3)

23)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
RESP: (2,2), (0,−4),   e (10,6)

24) Dados os vetores 
=(3,2), 
=(2,4)  e 
=(1,3), exprimir 
como a combinação linear de 
 e  
.                                                                                      RESP: 

25) Dados os vetores 
=(3,–2,1),
=(–1,1,–2) e 
=(2,1,–3), determinar as coordenadas do vetor    
=(11,–6,5) na base 
.                                   RESP: 

26)Escreva o vetor 
=(4,1,0) , na base 
,sendo 
=(1,0,0) ,
=(3,2,1) e 
=(1,1,1).                                                                    RESP: 

27)Dois vetores 
=(2,–3,6) e 
=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor 
 sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores 
e
,sabendo que 
= 
.                                         RESP: 
=(  3, 15,  12)

28) Dados os vetores 
=(1,–1,0), 
=(3,–1,1), 
=(2,2,1) e 
=(4,–3,1). Determinar o vetor 
=(x,y,z), tal que : (
+
)  
 e (
+
) 
.                                    RESP: 
=( –10,4,–3)



PRODUTO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR

29)  Sendo 
= ( 2,3,1) e  
= ( 1,4, 5) . Calcular:
      a) 

         b) (
–
)         c)(
 + 
)2         d) (3
– 2
)2           e) (2
‑3
)(
+2
) 
                                              RESP:  a) 19        b)18           c)94       d)66   e) –205   f)–28

30)Sendo 
=(2,–1,1), 
=(1,–2,–2) e 
=(1,1,–1). Calcular um vetor 
=(x,y,z), tal que    
 
= 4, 
 
= –9 e 
 
= 5.                                                            RESP: 
=(3,4,2)

31)Sejam os vetores 
=(1,–m,–3),
=(m+3,4–m,1)e 
=(m,–2,7).Determinar m para que 

=(
+
)
.                                                                                            RESP: m=2
32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).                                                                         RESP: –1 ou 

33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 

se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

O ângulo entre as retas paralelas aos vetores 
.
                                               RESP: a) Paralelogramo b) 
.

34) Os vetores 
 e 
 formam um ângulo de 600. Sabe-se que 
=8 e 
=5, calcule: