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A RETA EQUAÇÃO VETORIAL e EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 1º) No plano ( IR2 ) Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto ),( 00 yxA e tem a direção do vetor não nulo ),( bav = . Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la como veremos a seguir. r 0 X Y v A Seja ),( yxP um ponto qualquer de “r”. ( P é ponto variável sobre “r”). Por construção qualquer vetor AP é paralelo ao vetor v . Assim, para cada ponto P o vetor AP é proporcional ao vetor v , onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real t chamada parâmetro. Assim, IRtvtAP ∈= , ou ou ou P P P P A 0 X Y r v IRtvtAP ∈+= , ( ) ( ) ( ) IRtbatyxyx ∈+= ,,,, 00 Equação Vetorial da Reta “r” Daí, Equações Paramétricas da Reta “r” Por exemplo: A reta “r” que passa pelo ponto )2,1(−A e tem a direção do vetor )2,2( −=v tem equação vetorial ( ) ( ) IRt,t22t,21yx,r ∈−+−=∴ Atribuindo valores reais para o parâmetro t obtemos pontos de da reta “r”: rAPt ∈−=⇒= )2,1(0 rBPt ∈=⇒= )0,1(1 rCPt ∈−=⇒= )2,3(2 rDPt ∈−=⇒−= )4,3(1 rEPt ∈=⇒= )1,0( 2 1 IRt tbyy taxx ∈ += += , 0 0 ( ) ( ) ℜ∈++= ttbytaxyx ,,, 00 2º) No espaço ( IR3 ) O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os vetores uma 3ª componente. Consideremos a reta “r”determinada por: o ponto ),,( 000 zyxA o vetor não nulo ),,( cbav = Sendo ),,( zyxP um ponto qualquer (variável) de “r” temos: IRtvtAP ∈= , ou ou v r A 0 Y X Z IRtvtAP ∈+= , ( ) ( ) ( ) IRtcbatzyxzyx ∈+= ,,,,,,, 000 Equação Vetorial da Reta “r” Daí, Equações Paramétricas da Reta “r” IRt tczz tbyy taxx ∈ += += += , 0 0 0 ( ) ( ) IRttcztbytaxzyx ∈+++= ,,,,, 000 # Reta Definida por Dois Pontos # A reta definida por dois pontos A e B, tem a direção do vetor AB . Exemplo: A reta r, determinada pelos pontos A(1, -2, -3) e B(3, 1 , - 4), tem a direção do vetor AB = v = (2, 3, -1) E as equações paramétricas −−= +−= += t3z 3t2y 2t1x com direção do vetor v e passa pelo ponto A Analogamente −−= += += t4z 3t1y 2t3x com direção do vetor v e passa pelo ponto B EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA Das equações paramétricas, supondo abc ≠ 0, vem: c zzt b yyt a xxt 1 1 1 − = − = − = Logo c zz b yy a xx 111 − = − = − Exemplo As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a direção do vetor v = (2, 2, -1) são: 1 5z 2 y 2 3x − + == − EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA Às equações simétricas da reta c zz b yy a xx 111 − = − = − Pode-se dar outra forma, isolando as variáveis y e z e expressando em função de x Assim b yy a xx 11 − = − c zz a xx 11 − = − 11 yxa bx a by +−= 11 zxa cx a cz +−= Fazendo: Fazendo: m a b = pa c = nyx a b 11 =+− qzxa c 11 =+− Vem: Vem: nmxy += qpxz += Estas equações são as equações reduzidas da reta RETAS PARALELAS AOS PALNOS E AOS EIXOS COORDENADOS I) Se uma das componentes de v é nula Paralela ao plano e aos eixos II) Se duas componentes de v são nulas Paralela ao eixo do vetor kouji , ÂNGULO DE DUAS RETAS Chama-se ângulo de duas retas (θ) r1 e r2o menor ângulo diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 . Observamos que θ ∈ [0 , 90º] CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS A condição de paralelismos das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores diretores de r1 e r2. v2m.v1 = ou 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores 1v e 2v que definem as direções dessas retas, isto é: v1 . v2 = 0 A2 A1 r2 r1 v2 v1 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores v1 , v2 e 21 AA forem coplanares, isto é, (v1 ,v2 , 21 AA ) = 0 ou seja (v1 ,v2 , 21 AA ) = 0 zzyyxx cba cba 121212 222 111 = −−− POSIÇÃO RELATIVAS DE DUAS RETAS Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são coplanares. Caso contrário são denominadas reversas. As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou coincidentes) ou concorrentes. Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser: * Concorrentes : r1 ∩ r2 = {P} Paralelas: Distintas : r1 ∩ r2 = φ Coincidentes : r1 ≡ r2 • Reversas: Isto é, não situadas no mesmo plano, nesse caso r1 ∩ r2 = φ O PLANO EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano pi e )0,0,0( , ≠++= →→→→→ nkcjbian um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano pi pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor →AP é ortogonal a →n . O ponto P pertence a pi se, e somente se : 0. = →→ APn Tendo em vista que: 0),,).(,,( : ),,,( ),,( 111 111 =−−− −−−== →→ zzyyxxcba ficaequaçãoazzyyxxAPecban 0)()()( 111 =−+−+− zzcyybxxa ou, ainda: 0111 =−−−++ czbyaxczbyax A B Fazendo: :,111 vemdczbyax =−−− 0=+++ dczbyax . Esta é a equação geral ou cartesiana do plano pi . ♦ Observações: a) Da forma com que definimos o plano pi, vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal cbacomacban ,, , ),,( pi= → não simultaneamente nulos. Qualquer vetor ,0, ≠ → knk é também vetor normal ao plano. b) Sendo →n um vetor ortogonal ao plano pi, ele será ortogonal a qualquer vetor representado no plano. Em particular, se →→ 21 vev são vetores não colineares, e paralelos ao plano, em virtude de →n ser ortogonal, ao mesmo tempo, a →→ 21 vev , tem-se: →→→ = 21 vxvn . c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral 0=+++ dczbyax representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano pi é dado por: ,05423: =+−+ zyxpi um de seus vetores normais é: ).4,2,3( −= → n Este mesmo vetor → n é também normal a qualquer plano paralelo a pi. Assim, todos os infinitos planos paralelos a pi têm equação geral do tipo: ,0423 =+−+ dzyx na qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d está identificado quando se conhece um ponto do plano. DETERMINAÇÃO DE UM PLANO Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir apresentadas. Assim, existe apenas um plano que: 1.) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores →→ 21 vev não colineares. Neste caso: →→→ = 21 vxvn . 2.) Passa por dois pontosA e B e é paralelo a um vetor →v não colinear ao vetor →AB . Neste caso: ; →→→ = ABxvn 3.) passa por três pontos A, B e C não em linha reta. Neste caso: →→→ = ACxABn 4.) contém duas retas r1 e r2 concorrentes. Neste caso: →→→ = 21 vxvn , sendo →→ 21 vev vetores diretores de r1 e r2 ; 5.) contém duas retas r1 e r2 paralelas. Neste caso: ,211 →→→ = AAxvn sendo 1 → v um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2. 6.) contém uma reta r e um ponto .rB ∉ Neste caso: →→→→ = vdoABxvn sen, um vetor diretor de r e A∈ r. Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor normal →n sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base do plano. ⇒ Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto )4,3,1( −A e é paralelo aos vetores ).1,1,1( )2,1,3( 21 −=−= →→ vev 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos )1,2,1( )1,1,0();1,1,2( CeBA −− . 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta )1,2,3( 3 4 : − = = Bpontooe y x r . PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação 0=+++ dczbyax na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano pipi ),,( , anormalvetorumcbansendo = → . Quando uma ou duas das componentes de →n são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares. i) Plano que passa pela origem Se o plano 0=+++ dczbyax passa pela origem: 0 ,00.0.0. ==+++ déistodcba Assim a equação: 0=++ czbyax representa a equação de um plano que passa pela origem. i i) Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cban = → é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano pi é paralelo ao mesmo eixo: I) se xxcbna 0//0),,0(,0 pi∴⊥== → e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: .0=++ dczby A figura mostra o plano de equação: .0632 =−+ zy Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ;0=++ dczax III) os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: .0=++ dbyax ♦ Observações: a) A equação 042 =−+ yx , como vimos, representa no espaço 3ℜ um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 2ℜ , representa uma reta. b) Se na equação : 0 ,0 0 =+ ==++ byaxequaçãoa dfizemosdbyax representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z. ii i) Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal ),,( cban = → são nulas, → n é colinear a um dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( === →→→ koujoui ,e, portanto, o plano pi é paralelo ao plano dos outros dois vetores: I) se yxkcccnba 0//)1,0,0(),0,0(,0 pi∴===== →→ e a equação geral dos planos paralelos ao plano x0y é: . :,0 ,0 c dzvemccomodcz −=≠=+ Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4. A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 0400 =−++ zyx na qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e )1,0,0(= → k é um vetor normal ao plano. Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os planos 2: ; 3: 21 == xy pipi respectivamente EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Seja A (x0 , y0, z0) um ponto doe um plano e ( ) ( )222111 ,,,, cbavecbau == dois vetores não colineares. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores veu se ,e somente se, existem números reais h e t tais que : vtuhAP += Escrevendo a equação em coordenadas, obtemos: (x-x0 , y – y0 , z – z0 ) = h(a1 , b1 , c1 ) + t (a2 , b2 ,c2) Donde: ++= ++= ++= tchczz tbhbyy tahaxx 210 210 210 Estas são as equações paramétricas do plano. ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS Sejam os planos 0dzcybxa e 0dzcybxa 22222 11111 =+++pi =+++pi : : Então, ( )1111 cban ,,= e ( )2222 cban ,,= são vetores normais a 1pi e 2pi , respectivamente (figura abaixo) Chama-se ângulo de dois planos 1pi e 2pi o menor ângulo que um vetor normal de 1pi forma com um vetor normal de 2pi . Sendo θ este ângulo, tem-se: 21 21 . . cos nn nn =θ ou 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121cos cbacba ccbbaa ++⋅++ ++ =θ POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE DOIS PLANOS Sejam os planos 0dzcybxa e 0dzcybxa 22222 11111 =+++pi =+++pi : : Então, ( ) 11111 cban pi⊥= ,, e ( ) 22222 cban pi⊥= ,, As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é: I) Se 2 1 2 1 2 1 2121 c c b b a ann ==∴pipi //,// Obs.: a) Se além das igualdades anteriores se tiver também 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a === os planos 1pi e 2pi serão coincidentes porque, nesse caso, a equação de 2pi é obtida de 1pi mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de 1pi . II) Se 0ccbbaann 2121212121 ===∴⊥pi⊥pi , POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Para a reta r e o plano pi anteriores, temos: I. Se nvr ⊥pi ,// O paralelismo de r e pi implica a ortogonalidade dos vetores nev 2. Se nvr //,/ pi⊥ O perpendicularismo de r e pi implica o paralelismo dos vetores nev . Exemplo: Verificar se a reta 12 1 3 2: − = − + = − zyxr é perpendicular ao plano 05369: =+−−pi zyx . CONDIÇÕES PARA QUE UMA RETA ESTEJA CONTIDA NUM PLANO Uma reta r esta contida num plano pi se: I. O vetor diretor v de r é ortogonal ao vetor n , normal ao plano pi; II. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano. Obs.: Uma reta r está também contida num plano pi se dois pontos A e B pertencentes a r pertencem a esse plano. Exemplo : Verificar se a reta −−= += += tz ty tx r 23 1 2 : está contida no plano 0123: =−++pi zyx . Solução: (a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se pi∈A : ( ) 00 01616 013.212.3 0123 = =−−+ =−−++ =−++ zyx Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano pi. Mas só essa condição não é suficiente para garantir que pi∈r . (b) Verificar se o ( )2,1,1 −=rv é ortogonal a ( )2,1,3=n (vetor normal ao plano pi). ( ) ( ) 04132,1,32,1,1 =−+=−= nvr . Logo, rv é ortogonal a n ; Conclusão: Como rA∈ e pi∈A , e rv é ortogonal a n , então podemos afirmar que a reta r pertence ao plano pi. INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta. Sejam 1pi e 2pi planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 1pi e 2pi resolveremos o sistema composto por suas equações. Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos 0725:1 =++−pi zyx e 0433:2 =++−pi zyx . Solução: Montamoso seguinte sistema: =++− =++− 0433 0725 zyx zyx O sistema acima é indeterminado. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos. Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre. Como fazer então: ( ) =++− =++− ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminarem zyx zyx 0433 0725 y) caso (no variáveis das uma isolamosyx zyx zyx →=−−− =++− =−−+− + 032 0433 0725 32 −−= xy Agora substituímos 32 −−= xy na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema. Substituindo 32 −−= xy na equação 0725 =++− zyx , teremos: ( ) 07645 073225 =++++ =++−−⋅− zxx zxx Agora isolando z, teremos: 139 −−= xz As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos 1pi e 2pi serão: −−= −−= 139 32 : xz xy r INTERSEÇÃO DE RETA E PLANO A intersecção entre uma reta r e um plano pi é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano pi. Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta 3 4 2 3: −=−= zyxr com o plano 09253: =−−+pi zyx . 1º passo: obter as equações reduzidas da reta r. Neste exemplo faremos y e z em função de x. 32 2 3 += = − xy xy e 43 3 4 −= = + xz xz Logo as equações reduzidas de r são: −= += 43 32 : xz xy r Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e pi, então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de pi: =−−+ −= += 09253 43 32 zyx xz xy Resolve-se este sistema substituindo 32 += xy e 43 −= xz na equação 09253 =−−+ zyx . ( ) ( ) 0147 098615103 0943.232.5.3 =+ =−+−++ =−−−++ x xxx xxx 2−=x Para 2−=x ( ) 32.2 +−=y e ( ) 42.3 −−=z 1−=y 10−=z Logo I (-2, -1, -10) Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados (a) Seja o plano 0632: =−++pi zyx Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com os eixos. Assim: I) Se y = z = 0, 3062 =∴=− xx e ( )0,0,31A é a interseção do plano pi com o eixo dos x. II) Se x = z = 0, 2063 =∴=− yy e ( )0,2,01A é a interseção do plano pi com o eixo dos y. III) Se x = y = 0, 606 =∴=− zz e ( )6,0,01A é a interseção do plano pi com o eixo dos z. z y x ( )0,2,02A ( )6,0,03A ( )0,0,31A (b) Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 e z = 0, basta fazer, na equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então: 0632: =−++pi zyx I) Se 063,0 =−+= zyx , a reta +−= = 63 0 :1 yz x r é a interseção de pi com o plano yOz. II) Se 062,0 =−+= zxy , a reta +−= = 62 0 :1 xz y r é a interseção de pi com o plano xOz. III) Se 0632,0 =−+= yxz , a reta +−= = 2 3 2 0 :1 xy z r é a interseção de pi com o plano xOy. Sejam os planos Posições de Paralelismo e Perpendicularismo de dois planos Sejam os planos Posições de Paralelismo e Perpendicularismo entre reta e plano O paralelismo de r e implica a ortogonalidade dos vetores 2. Se O perpendicularismo de r e implica o paralelismo dos vetores . Condições para que uma reta esteja contida num plano
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