3 Desc Simples Composto e Séries Pagto

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Profº Pedro F. Machado, MSc.
Matemática Financeira na HP-12c e Excel
Desconto Simples e 
Composto
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2
Conceito de 
descontos
 A chamada operação de desconto 
normalmente é realizada quando se 
conhece o valor futuro (FV) de um título 
(valor nominal, de face ou de resgate) e se 
quer determinar o seu valor atual (PV) .
 O desconto é a diferença entre o valor de 
resgate de um título (FV) e o seu valor 
presente (PV) na data da operação, ou seja: 
D = FV - PV.
 Assim como no caso dos juros, o valor do 
desconto também está associado a uma 
taxa e a determinado período de tempo.
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3
Desconto simples
 Também chamado de bancário ou comercial, é 
aquele em que a taxa incide sempre sobre o 
montante ou valor futuro (FV).
 É utilizado no Brasil de maneira ampla e 
generalizada, principalmente nas chamadas 
operações de "desconto de cheques ou de 
duplicatas" realizadas pelos bancos. 
 D= Desconto
 PV= Valor presente
 FV= Valor futuro
 d= Taxa de desconto
 n= Período
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4
Desconto simples
 O desconto é obtido multiplicando-se o valor de 
resgate do título pela taxa de desconto e pelo 
prazo a decorrer até o vencimento, ou seja:
 Para se obter o valor presente, também 
chamado de valor descontado, basta subtrair o 
valor do desconto do valor futuro do título, 
como segue:
ndFVD  ndFVD 
DFVPV  DFVPV 
5
5
Desconto simples 
– exemplo
 Qual o valor do Desconto Simples de um Título de R$ 
2.000,00, com vencimento para 90 dias, à Taxa de 
2,5% am?
 Dados: FV= R$ 2.000,00 d= 0,025 am n= 3 meses
 Resposta: D= R$ 150,00
ndFVD  ndFVD 
ENTRADA 2.000 0,025 3
TECLA
VISOR 0,00 2.000,00 50,00 150,00
FINf x xENTER
CLxCLx
6
6
Desconto simples 
Família de soluções
ndFVD  ndFVD  PVFVD  PVFVD 
 nd1FVPV   nd1FVPV  nd1
PVFV


nd1
PVFV


 
n
FV
PV
d


1  
n
FV
PV
d


1
nFV
Dd


nFV
Dd


 
d
FV
PV
n


1  
d
FV
PV
n


1
dFV
Dn


dFV
Dn


7
7
Exercícios de 
desconto simples
 1. Qual a taxa de desconto utilizada numa operação 
a 120 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e 
cujo valor atual é de R$ 880,00?
 Dados: FV= 1.000,00 PV= 880,00 n= 120 dias = 4 meses
 Resposta: d= 3% am
ENTRADA 1 880 1000 4 100
TECLA
VISOR 0,00 1,00 880,00 0,88 0,12 0,03 3,00
FINf ÷ –ENTER
CLxCLx
 
n
FV
PV
d


1  
n
FV
PV
d


1
ENTER ÷ x
8
8
Exercícios de 
desconto simples
 2. Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é 
descontada por um banco, gerando um crédito de 
R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a 
taxa cobrada pelo banco é de 3,2% am, determinar 
o prazo de vencimento da duplicata.
 Dados: FV= 6.800 PV= 6.000 d= 3,2 am
 Resposta: n= 3,68 meses
 
d
FV
PV
n


1  
d
FV
PV
n


1
ENTRADA 1 6.000 6.800 3,2 100
TECLA
VISOR 0,00 1,00 6.000,00 0,88 0,12 0,04 3,68
FINf ÷ –ENTER
CLxCLx
ENTER ÷ x
9
9
Exercícios de 
desconto simples
 3. Calcular o valor líquido creditado na conta de um 
cliente, correspondente ao desconto de uma 
duplicata no valor de R$ 34.000,00, com prazo de 41 
dias, sabendo-se que o banco está cobrando nessa 
operação uma taxa de desconto de 4,7% am.?
 Dados: FV= 34.000 d= 4,7% am ou 0,047 n= 41 dias 
 Resposta: PV= R$ 31.816,07
 nd1FVPV   nd1FVPV 
ENTRADA 1 0,047 41 30
TECLA
VISOR 0,00 1,00 0,05 41,00 1,37 0,06 0,94
FINf ENTER ÷ENTER
CLxCLx
ENTER x –
ENTRADA 34.000
TECLA
VISOR 31.816,07
x
10
10
Desconto 
composto
 Desconto composto é aquele em que a taxa de 
desconto incide sobre o montante ou valor 
futuro, deduzidos dos descontos acumulados 
até o período imediatamente anterior.
 É obtido em função de cálculos exponenciais.
 Assim, o valor líquido de um título, de prazo 
igual a n períodos unitários, calculado com base 
no desconto composto, é dado pela expressão:
ndFVPV )1(  ndFVPV )1( 
11
11
Desconto composto 
Família de soluções
ndFVPV )1(  ndFVPV )1(   nd1
PVFV

  nd1
PVFV


n
1
FV
PV1d 





n
1
FV
PV1d 





 
)d1ln(
FV
PVln
n


 
)d1ln(
FV
PVln
n


PVFVD  PVFVD    ndFVD  11.   ndFVD  11.
12
12
Desconto composto 
equivalente
 Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00, com 120 
dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa 
de 2,5% am, de acordo com o conceito de desconto 
composto. Calcular o valor líquido creditado na conta 
e o valor do desconto concedido.
 Dados: FV= R$ 28.800,00 n= 4 m d= 2,5% am ou 0,025
 Respostas: PV= 26.026,21 D= 2.773,79
n)d1(FVPV  n)d1(FVPV  PVFVD  PVFVD 
ENTRADA 1 0,025 4 28.800 28.800
TECLA
VISOR 0,00 1,00 0,98 0,90 26.026,21 26.026,21 2.773,79
FINf ENTER
CLxCLx
yx x– x≷y –
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Matemática Financeira na HP-12c e Excel
Séries de Pagamentos
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14
 Fluxo de Caixa pode ser entendido como uma 
sucessão de recebimentos ou pagamentos, em 
dinheiro, previstos para determinado período de 
tempo, ou seja, é o conjunto de entradas e saídas de 
dinheiro (caixa) ao longo do tempo.
 Esquematicamente o Fluxo de Caixa é representado por um 
diagrama
Fluxo de caixa
4 ... n3210
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15
 Exemplo
 Um banco concede um empréstimo de R$ 3.500,00 a um 
cliente, para pagamento em 5 prestações fixas iguais de 
R$ 900,00. Do ponto de vista do banco, a representação 
gráfica do fluxo de caixa é a seguinte:
 O eixo horizontal representa o tempo, sendo subdividido em 
períodos unitários (dia, mês, bimestre, ano, etc.). O ponto 
"0" é a data inicial ou data zero, a partir da qual, todas as 
demais se encontram relacionadas.
Fluxo de caixa
n = 5
4
900
i = ? %3.500
53210
900900900900
16
16
Fluxo de caixa
 As setas voltadas para cima representam as entradas 
de caixa e terão sinais positivos.
 As setas voltadas para baixo representam as saídas de caixa 
e terão sinais negativos. Do ponto de vista do cliente, a 
representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte:
 Apesar de ser relativamente óbvio, o conceito de diagrama 
de fluxo de caixa é extremamente relevante em finanças, já 
que todos os problemas de matemática financeira envolvem, 
em última análise, o desenho de tal diagrama. 
900
3
n = 5
900900900900
54210
i = ?3.500
17
17
Séries de 
pagamentos
 Chama-se de séries de pagamentos, 
séries de prestações, anuidades, renda 
certa ou seqüência de capitais, a toda 
seqüência de pagamentos ou 
recebimentos em datas previamente 
estipuladas.
 Uma série de pagamento é uniforme, quando 
todos os termos forem iguais, também 
chamada de renda constante ou renda fixa. 
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18
Séries de 
pagamentos
 Será estudado basicamente dois tipos de 
séries:
 Séries de pagamentos iguais com termos 
postecipados ou vencidos
 Quando os vencimentos dos seus termos ocorrerem no 
final de cada período.
 Séries de pagamentos iguais com termos 
antecipados
 Quando os vencimentos dos seus termos ocorrerem no 
início de cada período.
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19
Série de pagamentos 
postecipada
1)1( 
 ni
iFVPMT
1)1( 
 ni
iFVPMT
 
i)i1(
1i1PMTPV n
n



 
i)i1(
1i1PMTPV n
n



 
i
iPMTFV
n
11 

20
20
Série de pagamentos 
postecipada
 Determinar o valor presente de uma série de 5 
aplicações mensais iguais e consecutivas de R$ 100,00 
cada, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que aprimeira parcela é aplicada no final do primeiro mês.
 Dados: PMT= 100 n= 5 meses i= 4% am
 Resposta: PV= R$ 445,18
ENTRADA 100 5 4
TECLA
VISOR 0,00 0,00 100,00 5,00 4,00 -445,18
FINf PMT n i PV
 
i)i1(
1i1PMTPV n
n



 
i)i1(
1i1PMTPV n
n



ENDg
CLxCLx
21
21
Série de pagamentos 
antecipada
   
i
iiPMTPV
n)1(11 

   
i
iiPMTPV
n)1(11 

    )1(11 nii
iPVPMT 

    )1(11 nii
iPVPMT 

   i
i
iPMTFV
n


 111   i
i
iPMTFV
n


 111
22
22
Série de pagamentos 
antecipada
 A empresa Voe Bem lhe vende uma passagem aérea para 
o exterior no valor de R$ 1.900,00. Seu cartão de crédito 
vai lhe parcelar a compra em (1+6) vezes, cobrando por 
isso 3% ao mês. Calcule o valor das parcelas.
 Dados: PV= R$ 1.900,00 n= 7 meses i= 3% am
 Resposta: PV= 296,08
   
i
iiPMTPV
n )1(11 

   
i
iiPMTPV
n )1(11 

ENTRADA 1.900,00 7 3
TECLA
VISOR 0,00 0,00 BEGIN 1.900,00 7 3 -296,08
FINf PV n i PMTBEGg
CLxCLx
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23
Série de pagamentos 
– exercícios 
 1. Se você deseja obter R$ 1.000,00 dentro de um ano, quanto 
você deverá depositar por mês, numa caderneta de poupança 
que rende 0,7% am de juros? Considerar 12 depósitos iguais e 
postecipados. Calcular também com depósitos antecipados.
 Dados: FV= 1.000 n= 12 meses i= 0,7% am
 Resposta:
 Postecipado= R$ 80,17
 Antecipado= R$ 79,62
ENTRADA 1000 12 0,7
TECLA
VISOR 0,00 0,00 1.000,00 12,00 0,70 -80,17
FINf FV n i PMTENDg
CLxCLx
ENTRADA
TECLA
VISOR -80,17BEGIN -79,62
PMTBEGg
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24
Série de pagamentos –
aplicação útil
Você precisa obter 1.000.000!!!!!!!
 Fórmula para se obter R$ 1 Milhão 
aos 60 anos de idade
60 (sua idade) 12
1.000.000
 .7 (poupança) ; 
 ou com mais inteligência 1,5 .
Como ficar milionário?
ENTER – x n
FV
i PMT i PMT
i PMT
1 (DI)
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Referências 
bibliográficas
 ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 8. ed. 
São Paulo: Atlas, 2009.
 COELHO, Sílvio Teixeira. Matemática Financeira e Análise de Investimento. 
São Paulo: EDUSP, 1993.
 KASSAI, José Roberto et al. Retorno de Investimento. São Paulo: Atlas, 
1999.
 LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira usando Excel 5 e 7.
Treinamento, 1996.
 MATHIAS, W. Franco, GOMES José M. Matemática Financeira. São Paulo: 
Atlas, 1991.
 MACHADO, Daniel J. Matemática Financeira Aplicada. 6. ed. São Paulo: 
Própria, 1997.
 PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: 
Livros Técnicos e Científicos, 8ª. Ed.: Saraiva 2009. 
 VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 6ª ed.São Paulo: 
Atlas, 2000.
 ZENTGRAF, Walter. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 
1994.