Lista 1 {Matrizes, Determinantes, Sistema Lineares}

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Primeira Lista de GAAV
(1) Considere o sistema linear abaixo
x+ 2y + z = 0
2x+ 5y + 3z = 0
−x+ y + az = 0
(a) O sistema pode ser impossível? Explique.
(b) Para que valores de a o sistema tem infinitas soluções?
(c) Para que valores de a o sistema tem solução única?
(2) Considere o sistema linear
x− 2y − z = 0
4x+ 3y + 4z = 1
6x− y + (a2 − 2)z = a+ 20
Para o sistema dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não
tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(3) Considere o sistema linear abaixo

x+ y + 3z = 2
x+ 2y + 4z = 3
x+ 3y + az = b
(a) Para que valores de a e b o sistema não tem solução?
(b) Para que valores de a e b o sistema tem infinitas soluções?
(c) Para que valores de a e b o sistema tem solução única?
(4) Dado o sistema linear
ax+ y + z = a
−x+ ay + z = a
x+ y + az = 0
Ache todos os valores de a para os quais o sistema resultante
(a) não tem solução
(b) tem solução única
(c) tem infinitas soluções.
(5) Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta.
(a) Se B = AAtA−1, então det(A) = det(B).
(b) det(A+B) = det(A) + det(B).
(c) Se A é invertível e AB = AC então B = C.
(d) Se det(A2) = 1 então detA = 1.
(e) Se X1 e X2 são soluções do sistema AX = B então
1
3
X1 +
2
3
X2 é outra solução.
(f) det(BtA) = detAdetB para quaisquer matrizes A e B, n× n .
(g) Se duas matrizes comutam, então suas transpostas também comutam.
(h) Se AB é uma matriz invertível, então A e B são invertíveis.
2
(i) Seja B uma matriz simétrica e seja A uma matriz tal que A−1 = At. Mostre que
ABA−1 é uma matriz simétrica.
(j) Mostre que A é invertível se, e somente se, B = AtA é invertível.