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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DE PARANA´ CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 1ra PROVA Prof. Iva´n Gonza´les 9 de outubro de 2015 ALUNO : PERGUNTAS: OBS: Escolher duas perguntas entre (3), (4) e (5). 1.) [2 ptos] Seja S o conjunto de todos os pontos (x, y) 6= (0, 0) em R2 e defina F (x, y) = P~i+Q~j = −y x2 + y2 ~i+ x x2 + y2 ~j, um campo de forc¸as. Mostre que ∂Q ∂x = ∂P ∂y , e calcule o trabalho realizado pela forc¸a ao mo- vimentar uma part´ıcula uma u´nica volta ao longo da cirncunfereˆncia x2+y2 = 1 em sentido anti-hora´rio. O campo e´ conservativo?. 2.) [2 ptos] Seja ~r = x~i+ y~j + z~k e r = ‖~r‖. Veri- fique que a. ∇(1/r) = −~r/r3 . b. ∇ ln r = ~r/r2. 3.) [1.5 ptos] Se C : x2 + (y − 3)2 = 1, calcule∮ C −[(y − 3)2 + 3x2y − ln(x2 + ex)]dx+ (2x3 + sin √ 1 + y2)dy. 4.) [1.5 ptos] Calcule a integral∫ C (1 + xy2)dx− x2ydy onde C e´ o arco de para´bola y = x2 de (−1, 1) a (1, 1). 5.) [1.5 ptos] a) Se C e´ o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que∫ C xdy − ydx = x1y2 − x2y1. b) Se os ve´rtices de um pol´ıgono na ordem an- tihora´ria sa˜o (x1, y1), (x2, y2), · · · (xn, yn), mos- tre que a a´rea do pol´ıgono e´ 12 [(x1y2 − x2y1) + (x2y3−x3y2)+· · ·+(xn−1yn−xnyn−1)+(xny1− x1yn)]. c) Determine o a´rea do penta´gono com ve´rtices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (0, 2) e (−1, 1). 6.) [2 ptos] Calcule o valor da integral∫ C −y x2 + y2 dx+ x x2 + y2 dy. em cada caso? [a.] C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 1. [b.] C e´ a elipse x2 + y 2 4 = 1. 7.) [2 ptos] Considere o campo vetorial F (x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz). [a.] Sabendo que F define uma forc¸a con- servativa, encontre um potencial f para F . [b.] Calcule o trabalho de F ao longo da espiral parametrizada pelo camino g(t) = (5 cos t, 5 sin t, t2), com t ∈ [0, pi/4]. 1
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