Lista_prob1_2

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Lista de Exerc´ıcios 2
MAT02248 - Probabilidade I
Exerc´ıcio 1. Considere o seguinte experimento: joga-se um dado equilibrado 3 vezes, joga-se uma moeda
justa 3 vezes, tira-se 6 bolas ao acaso, sem reposic¸a˜o, de dentro de uma urna contendo 5 bolas brancas e
5 bolas vermelhas e anota-se o resultado. Defina uma varia´vel aleato´ria X como a soma dos dados mais
a soma das caras obtidas mais o nu´mero de bolas brancas obtidas.
(a) Codifique o experimento de maneira adequada e obtenha uma fo´rmula de definic¸a˜o para a varia´vel
X. Qual a imagem de X?
(b) Obtenha a imagem inversa do valor 27 pela varia´vel aleato´ria.
(c) Obtenha a imagem inversa do valor 4 pela varia´vel aleato´ria.
(d) Obtenha a imagem inversa do valor 3 pela varia´vel aleato´ria.
Exerc´ıcio 2. (Func¸a˜o de distribuic¸a˜o truncada). Seja F uma func¸a˜o de distribuic¸a˜o cont´ınua com den-
sidade f satisfazendo f(x) > 0 em um intervalo qualquer I. Sejam a, b ∈ I com a < b e defina uma nova
func¸a˜o G atrave´s de
G(x) :=
1
F (b)− F (a)
∫ x
a
f(x)dx, se x ∈ [a, b],
e 0 caso contra´rio.
(a) Determine o domı´nio e a imagem de G.
(b) Mostre que G define uma func¸a˜o de distribuic¸a˜o em [a, b]. Obs.: G e´ chamada de func¸a˜o de
distribuic¸a˜o truncada em [a, b] relativa a` F .
Exerc´ıcio 3. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com densidade fX e sejam a > 0 e b ∈ R. Mostre
que a densidade de Y = aX + b e´
fY (y) =
1
a
fX
(
y − b
a
)
para todo y ∈ R.
Exerc´ıcio 4. para cada caso, determine todos os k’s tais que a func¸a˜o dada seja a densidade de alguma
varia´vel aleato´ria:
(a)
f(x) :=
{
kx(1− x) se 0 < x < 1
0 c.c.
(b)
f(x) :=

6x(1−x)
k se 0 < x < k
0 c.c.
Exerc´ıcio 5. Mostre que a func¸a˜o
f(x) =
1√
2pi
e−
x2
2 , x ∈ R
e´ a densidade de alguma varia´vel aleato´ria. (Dica basta mostrar que(∫
R
f(x)dx
)2
=
(∫
R
f(x)dx
)
×
(∫
R
f(y)dy
)
=
1
2pi
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e−(x
2+y2)/2dxdy = 1.
Para isso utilize coordenadas polares (θ, ρ), onde x = ρ cos(θ) e y = ρ sin(θ).)
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