Lista 1 - Vetores

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Geometria e Representação Gráfica
Profa. Msc. Paula de Oliveira Ribeiro
Lista 1 de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I - 2013.2
Vetores
1. A figura 1 é constituída de 9 quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Figura 1 – Figura do exercício 1.
(I) Diga se é verdadeira ou falta cada uma das seguintes afirmações:
(a)
−−→
AB =
−−→
OF (f)
−−→
AO = −−−→MG (k) −−→AB ⊥ −−→EG (p)
∣∣∣∣−−→AC∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−−→FP∣∣∣∣
(b)
−−→
AM =
−−→
PH (g)
−−→
KN = −−→FI (l) −−→AM ⊥ −→BL (q)
∣∣∣∣−→IF∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−−→MF∣∣∣∣
(c)
−−→
BC =
−−→
OP (h)
−−→
AC//
−→
HI (m)
−−→
PE ⊥ −−→EC (r)
∣∣∣∣−→AJ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−−→AC∣∣∣∣
(d)
−→
BL = −−−→MC (i) −−→JO//−−→LD (n) −−→PN = −−−→NB (s)
∣∣∣∣−−→AO∣∣∣∣ = 2 ∣∣∣∣−−→NP∣∣∣∣
(e)
−−→
DE = −−−→ED (j) −→AJ//−−→FG (o) −−→AO = −−−→MG (t)
∣∣∣∣−−→AM∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−→BL∣∣∣∣
(II) Determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
(a)
−−→
AC +
−−→
CN (e)
−−→
AC +
−−→
EO (i)
−−→
MO − −−→NP
(b)
−−→
AB +
−−→
BD (f)
−−→
AM +
−→
BL (j)
−−→
BC − −−→CB
(c)
−−→
AC +
−−→
DC (g)
−−→
AK +
−−→
AN (k)
−→
LP +
−−→
PN +
−−→
NF
(d)
−−→
AC +
−−→
AK (h)
−−→
AO − −−→OE (l) −→BL + −−→BN + −−→PB
2. Seja o vetor ~v , 0. Determinar o vetor paralelo a ~v, tal que:
(a) tenha o mesmo sentido de ~v e módulo 4;
(b) tenha sentido contrário ao de ~v e modulo 8.
1
3. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
(a) Se ~u = ~v, então
∣∣∣~u∣∣∣ = ∣∣∣~v∣∣∣;
(b) Se
∣∣∣~u∣∣∣ = ∣∣∣~v∣∣∣, então ~u = ~v;
(c) Se ~u//~v, então ~u = ~v;
(d) Se ~u = ~v, então ~u//~v;
(e) Se ~w = ~u + ~v, então
∣∣∣~w∣∣∣ = ∣∣∣~u∣∣∣ + ∣∣∣~v∣∣∣;
(f) Se
∣∣∣~w∣∣∣ = ∣∣∣~u∣∣∣ + ∣∣∣~v∣∣∣, então ~u, ~v e ~w são paralelos;
(g) Se
−−→
AB =
−−→
DC, então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo 1;
(h)
∣∣∣5~v∣∣∣ = ∣∣∣−5~v∣∣∣ = 5 ∣∣∣~v∣∣∣;
(i) Os vetores 3~v e −4~v são paralelos e de mesmo sentido;
(j) Se ~u//~v,
∣∣∣~u∣∣∣ = 2 e ∣∣∣~v∣∣∣ = 4, então ~v = 2~u ou ~v = −2~u;
(k) Se
∣∣∣~v∣∣∣ = 3, o versor de −10~v e −~v3 ;
4. Determine o vetor ~x nas figuras em função de ~u e ~v:
Figura 2 – Figura do exercício 4.
5. Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra é o ponto P(2, 3). Ela
caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3). Calcular a distância que a formiga andou.
6. Calcule a distância entre os pontos abaixo:
(a) A(0, 0) e B(3, 4);
(b) A(1, 13) e B(6, 1);
(c) A(7, 0) e B(1, 8);
(d) A(−6, 13) e B(−1, 1).
7. Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto:
(a) A(1 + x, y − 2x + 2) e B(−3,−1 + 3y);
(b) A(2x + y, y − 5) e B(x2 − 4, 2y − 9);
(c) A(x − y − 3, x + y − 3) e B(2x, 3y).
8. Dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que
contêm AC), tal que AB = 2BC.
1 Corresponde a um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são iguais e paralelos.
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9. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V =
(3, 0,−3), sabendo-se que sua origem está no ponto P = (2, 3,−5).
10. Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta:
(a) A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3,−5);
(b) A = (−1, 1, 3),B = (4, 2,−3) e C = (14, 4,−15);
11. Verifique se o vetor ~w é combinação linear (soma de múltiplos escalares) de ~u:
(a) ~u = (9,−12,−6), ~v = (−1, 7, 1) e ~w = (−4,−6, 2);
(b) ~u = (5, 4,−3), ~v = (2, 1, 1) e ~w = (−3,−4, 1);
12. Quais dos seguintes vetores são paralelos: ~u = (6,−4,−2), ~v = (−9, 6, 3) e ~w = (15,−10, 5).
13. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w, tal que:
(a) 4(~u − ~v) + 13 ~w = 2~u − ~w;
(b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u);
14. Dados os pontos A(1, 2), B(3, 4) e C(−5, 6), calcule os vetores: ~u = ~0A − ~AB, ~v = ~0C − ~BC e
~w = 2 ~BA − 3 ~CB.
15. Dados os vetores ~u = (1,−2), ~v = (−1, 4) e ~w = (−5, 3). Determine os números k1 e k2 tais que
~w = k1~u + k2~v.
16. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2,−1). Determine D tal que ~DC = ~AB.
17. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e~v é de 60◦, determine o ângulo formado pelos vetores:
(a) ~u e −~v (b) −~u e 2~v (c) −~u e −~v (d) 3~u e 5~v
18. Dados os vetores ~u = 2~i − 3~j, ~v =~i − ~j e ~w = −2~i + ~j, determine:
(a) 2~u − ~v;
(b) ~v − ~u + 2~w;
(c) 12~u − 2~v − ~w;
(d) 3~u − 12~v − 12 ~w;
19. Apresente um vetor genérico que satisfaça a condição:
(a) paralelo ao eixo x (e) ortogonal ao eixo dos y
(b) representado no eixo dos z (f) ortogonal ao eixo dos z
(c) paralelo ao plano xy (g) ortogonal ao plano xy
(d) paralelo ao plano yz (h) ortogonal ao plano xz
20. Dados os vetores ~u = 3~i − 5~j + 8~k e ~u = 4~i − 2~j − ~k, calcule ~u · ~v.
21. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determine a de modo que
~u · ~v = (~u + ~v) · ~w.
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22. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a, 2) tenha módulo 4.
23. Determine o valor de a para que ~u = (a,−2a, 2a) seja um versor.
24. Sendo |~u| = 2, |~v| = 3 e 120◦ o ângulo entre ~u e ~v, calcular:
(a) ~u · ~v (b) |~u + ~v| (c) |~u − ~v|
25. Seja o cubo de aresta a, representado pela figura 3. Determine:
(a)
−−→
OA · −−→OC (d)
∣∣∣∣−−→OB∣∣∣∣ e ∣∣∣∣−−→OG∣∣∣∣
(b)
−−→
OA · −−→OD (e) −−→EG · −−→CG
(c)
−−→
OE · −−→OB (f) (−−→ED · −−→AB)−−→OG
Figura 3 – Figura do exercício 25.
26. Dados os vetores ~a = (2, 1, α), ~b = (α + 2,−5, 2) e ~c = (2α, 8, α), determinar o valor de α para
que o vetor ~a + ~b seja ortogonal ao vetor ~c − ~a.
27. Dados os vetores ~u = (2,−1, 1), ~v = (1,−1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcule:
(a) ~w × ~v (e) (~u × ~v) · (~u × ~v)
(b) ~v × (~w − ~u) (f) (~u × ~v) · ~w
(c) (~u + ~v) × (~u − ~v) (g) (~u × ~v) × ~w
(d) (2~u) × (3~v) (h) (~u + ~v) · (~u × ~w)
28. Determinar o valor de k para que os vetores ~u = (−2, 3) e ~v = (k,−4) sejam: (a) paralelos; (b)
ortogonais.
29. Dados os vetores ~a = (1, 2, 1) e ~b = (2, 1, 0), calcular:
(a) 2~a × (~a + ~b); (b) (~a + 2~b) × (~a − 2~b).
30. Dados os vetores ~v = (a, 5b,− c2 ) e ~w = (−3a, x, y), determinar x e y para que ~v × ~w = ~0.
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