Seções Cônicas e Reflexão

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
 
Por definição, as seções cônicas são a combinação de uma linha plana 
e de uma cônica. Como exemplo dessas seções, pode-se citar a 
circunferência, a parábola, a elipse e a hipérbole, que são muito usadas no 
cotidiano para construir faróis automotivos e antenas parabólicas (parábolas), 
espelhos de iluminação de consultórios odontológicos (elipses), telescópios 
de reflexão (hipérbole) e outros instrumentos. Isso se deve às propriedades 
que as seções cônicas possuem, como a reflexão, bastante útil nos espelhos 
de iluminação, além da translação e rotação do eixo, ambas presentes nos 
telescópios. 
Nesta aula, serão abordadas as propriedades de reflexão das seções 
e de translação e rotação de eixos, com representações gráficas e exemplos 
matemáticos por meio da relação entre as propriedades e suas respectivas 
equações. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
AULA 5 – REFLEXÃO, 
TRANSLAÇÃO E 
ROTAÇÃO 
 
 
5 REFLEXÃO, TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO 
O estudo das seções cônicas começou na Grécia Antiga, ele permitiu analisar 
a órbita dos corpos celestes e os fenômenos físicos. Mais adiante, surgiram os 
estudos de astronomia, como os do astrólogo alemão Johannes Kepler (1571 – 1630), 
que usou a elipse para descrever a trajetória dos planetas, enquanto o astrônomo 
italiano Galileu Galilei (1564 – 1642) desenvolveu seus estudos sobre a queda de 
corpos por meio das parábolas, que foram usadas para representar os movimentos 
dos projéteis (Steinbruch; Winterle, 2014). 
Todos esses estudos permitiram a compreensão das principais propriedades 
das seções cônicas, como a reflexão, a translação e a rotação, que serão mais 
aprofundadas nos tópicos seguintes. 
5.1 Propriedades de reflexão 
A reflexão das seções cônicas é uma propriedade que embasa a maioria das 
aplicações práticas dessas seções. Santos e Ferreira (2009) destacam o caso das 
parábolas nesse quesito, como mostra a Imagem 1. 
 
Imagem 1 – Propriedades de reflexão das parábolas 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Segundo a imagem acima, se F é o foco e P representa um ponto qualquer de 
uma parábola, os ângulos α e β, definidos pela tangente em P com segmentos PF e 
PQ (onde PQ é paralelo ao eixo da parábola), são iguais. A título de exemplo, os faróis 
parabólicos demonstram, na prática, a aplicação dessa propriedade. 
 
 
Ao girar uma parábola em torno de seu eixo, será obtida uma superfície 
chamada paraboloide circular reto, que permite a obtenção de um farol parabólico 
ao seccionar essa superfície por um plano perpendicular ao seu eixo. Quando a fonte 
de luz é posicionada sobre o foco do farol parabólico, todos os raios luminosos se 
refletem paralelamente ao seu eixo, como mostra a Imagem 1. Esse mesmo princípio 
também é aplicado na construção de antenas parabólicas, onde os receptores são 
colocados sobre o foco. 
Os holofotes, os faróis de carro e as lanternas possuem essa estrutura onde o 
emissor de luz fica no foco de uma parábola, voltado para um espelho parabólico 
localizado no fundo do objeto. Conforme dito anteriormente, essa superfície reflete 
raios luminosos paralelos ao eixo da parábola. 
Considere um farol parabólico com abertura circular, diâmetro de 48 cm e 
profundidade de 18 cm sobre seu eixo, como mostra a parte esquerda da Imagem 2. 
É possível identificar a que distância a lâmpada poderá ser posicionada sobre o eixo. 
 
Imagem 2 – Farol parabólico e seção transversal pelo seu eixo 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Quem compreende a propriedade de reflexão das parábolas, sabe que a 
lâmpada deve ser posicionada sobre o foco, assim, será preciso definir a distância do 
foco ao vértice, representado pelo valor de p. Para isso, deve-se selecionar uma seção 
transversal do farol que tenha seu eixo, assim como na Imagem 2. Conforme as 
medidas, pode-se analisar essa parábola, cuja equação é y² = 4px, que passa pelo 
ponto (18,24). Ao substituir as coordenadas desse ponto na equação da parábola, 
tem-se: 
 
𝑦2 = 4𝑝𝑥 
242 = 4 𝑥 18𝑝 
 
 
72𝑝 = 576 
𝑝 =
576
72
= 8 
 
Isso indica que a lâmpada deve ser posicionada sobre o eixo, a 8 cm do vértice. 
Além das parábolas, as elipses também possuem propriedades de reflexão com 
aplicações bem interessantes, como: 
 
➢ Galerias de sussurro: consiste em uma câmara de forma elipsoide, uma 
superfície de seções transversais elípticas, em que um sussurro emitido a partir 
de um dos focos pode ser ouvido com clareza no outro foco, a uma distância 
significativa, mesmo que esteja inaudível em pontos intermediários. Um 
exemplo dessa galeria está no domo da Catedral de Saint Paul, em Londres. 
➢ Litrotripsia extracorpórea: diz respeito a um tratamento usado em pacientes 
com cálculos renais, ele se baseia na aplicação de choques de ondas 
ultrassônicas, onde um refletor de seções transversais elípticas é posicionado 
de forma que a pedra (cálculo) esteja posicionada exatamente sobre um dos 
focos do refletor. As ondas ultrassônicas são produzidas no outro foco e 
refletem exatamente sobre a pedra, que será fragmentada gradualmente e, 
consequentemente, eliminada pela urina. 
 
A parte esquerda da Imagem 3 mostra um exemplo prático da reflexão das 
elipses, onde F1 e F2 são os focos e P representa um ponto qualquer da elipse. Os 
ângulos α e β, determinados pela tangente de P com os raios focais PF1 e PF2, são 
iguais. 
Agora, a propriedade de reflexão da elipse pode ser visualizada na parte direita 
da Imagem 3, onde foi posicionado um emissor de luz ou som sobre um dos focos, 
isso faz com que as ondas sejam refletidas exatamente sobre o outro foco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 3 – Propriedade de reflexão da elipse 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Outra seção circular que possui propriedade de reflexão é a hipérbole. A parte 
esquerda da Imagem 4 demonstra que, se F1 e F2 são os focos e P é um ponto 
qualquer da hipérbole, os ângulos α e β, determinados pela tangente de P com os 
raios focais PF1 e PF2, são iguais. 
Com base na propriedade de reflexão da hipérbole, que pode ser observada na 
parte direita da Imagem 4, se uma onda sonora ou um raio de luz se aproxima do lado 
convexo de um dos ramos da hipérbole, na direção do foco, ele será refletido 
exatamente sobre o outro foco. 
 
Imagem 4 – Propriedade de reflexão da hipérbole 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
5.2 Translação de eixos 
Santos e Ferreira (2009) conceituam a translação de eixos como a substituição 
de um dado sistema de coordenadas por outro sistema, sem alterar as respectivas 
direções dos eixos dados, cuja origem se localiza em um ponto de conveniência. A 
Imagem 5 demonstra um exemplo de translação. 
 
 
 
 
Imagem 5 – Translação de eixos 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
A parte esquerda da Imagem 5 demonstra um sistema de coordenadas uv com 
origem no ponto (x0,y0) do sistema de coordenadas xy. Já na parte direita, o ponto P 
foi assinalado como qualquer plano: no sistema uv, as coordenadas de P são P (u, v), 
enquanto no sistema xy, suas coordenadas são P (x, y). Em suma, a imagem acima 
permite notar que as relações entre as coordenadas do sistema xy e as do sistema uv 
são dadas por: 
 
{
𝑢 = 𝑥 − 𝑥0
𝑣 = 𝑦 − 𝑦0
 
 
Essas são as equações de translação de eixos. Algumas notações diferentes 
podem ser usadas para representar a mesma situação, como a apresentada por 
Winterle (2014), cuja escrita se difere um pouco, como será visto no exemplo a seguir. 
Considere o plano cartesiano xOy cujo ponto O’ (h, k) é arbitrário. Esse sistema 
será introduzido de modo que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de 
medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Ou. Com isso, todo ponto 
P do plano terá duas representações: P (x,y) no sistema xOy e P(x’,y’) no sistema 
x’O’y’, como mostra a Imagem 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 6 – Translação de eixos de Winterle 
 
Fonte: Adaptado de Winterle, 2014. 
 
Pode-se extrair da imagem acima as seguintes equações: x = x’ + h e y = y’ + 
k, ou x’= x – h e y’ = y – k, que são as fórmulas de translação. Nos subtópicos a seguir, 
serão abordadas algumas das principais aplicações da translação nas seções 
cônicas. 
 
5.2.1 Circunferência de raio r e centro (x0,y0) 
 
Um bom exemplo dessa aplicação está na Imagem 7, que mostra uma 
circunferência de raio r e centro no ponto (x0,y0). A equação dessa circunferência pode 
ser obtida da seguinte forma: se P é um ponto da circunferência, então |PC| = r. Por 
meio da fórmula da distância entre dois pontos, tem-se: 
 
|𝑃𝐶| = 𝑟 ∴ √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑟 ∴ (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑟2 
 
Essa é a equação reduzida de uma circunferência de raio r e no centro do 
ponto (x0,y0). 
 
 
 
 
 
 
Imagem 7 – Circunferência de raio r e no centro do ponto (x0,y0) 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
5.2.2 Elipse com centro em (x0,y0) 
 
As elipses analisadas serão aquelas com eixo maior na horizontal e as que 
possuem eixo maior na vertical. No caso daquelas com eixo maior na horizontal, a 
parte esquerda da Imagem 8 introduz um novo sistema de coordenadas uv, cuja 
origem fica no centro da elipse dada. Desse modo, em relação ao sistema uv, existe 
uma elipse de eixo maior horizontal e centro na origem, cuja equação é: 
 
𝑢2
𝑎2
+
𝑣2
𝑏2
= 1 
 
Ao substituir as variáveis u e v pelas equações de translação dos eixos dadas, 
será obtida a equação de uma elipse com eixo maior horizontal e centro no ponto 
(x0,y0) em relação ao sistema xy: 
 
(𝑥 − 𝑥0)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑦0)2
𝑏2
= 1 
 
 Suponha que, na elipse, o comprimento do eixo maior é 2a, já o do eixo menor 
é 2b e a distância focal é 2c. Na parte direita da Imagem 8, pode-se notar que, para 
uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto (x0,y0), tem-se: 
 
➢ os focos nos pontos F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0); 
➢ os vértices nos pontos V1 (x0 – a, y0) e V2 (x0 + a, y0); 
➢ as extremidades do eixo menor nos pontos P1 (x0, y0 – b) e P2 (x0, y0 + b). 
 
 
 
Imagem 8 – Elipse com eixo maior horizontal e centro em (x0,y0) 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Por sua vez, as elipses com eixo maior vertical e centro em (x0,y0), como 
mostra a parte esquerda da Imagem 9, configuram um caso parecido com as de eixo 
maior horizontal, pois a equação dessa elipse no sistema de eixos uv é: 
 
𝑣2
𝑎2
+
𝑢2
𝑏2
= 1 
 
Ao substituir as variáveis u e v pelas equações de translação de eixos dadas, 
será obtido: 
 
(𝑦 − 𝑦0)2
𝑎2
+
(𝑥 − 𝑥0)2
𝑏2
= 1 
 
Essa é a equação de uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto (x0,y0) 
em relação ao sistema xy. A parte direita da Imagem 9 demonstra que, para uma 
elipse desse tipo: 
 
➢ os focos são os pontos F1 (x0, y0 – c) e F2 (x0, y0 + c); 
➢ os vértices são os pontos V1 (x0, y0 – a) e V2 (x0, y0 + a); 
➢ as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (x0 – b, y0) e P2 (x0 + b, y0). 
 
5.2.3 Parábola com vértice em (x0,y0) 
 
A Imagem 10 ilustra uma parábola côncava para cima, com vértices no ponto 
V (x0,y0), cuja equação no sistema de eixos uv é u² = 4pv. Quando as variáveis u e v 
são substituídas pelas equações de translação de eixos dadas, será obtida: 
 
 
 
(𝑥 − 𝑥0)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑦0) 
 
Essa é a equação de uma parábola côncava para cima e vértices no ponto 
(x0,y0) em relação ao sistema xy. Ainda nessa parábola, pode-se observar que: 
 
➢ o foco é o ponto F (x0,y0 + p); 
➢ seu eixo é a reta vertical x = x0; 
➢ a diretriz é a reta horizontal y = y0 – p. 
 
Imagem 10 – Parábola côncava para cima com vértice em (x0,y0) 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
5.3 Rotação de eixos 
Winterle (2014) explana o funcionamento das propriedades de reflexão e de 
rotação dos eixos das seções cônicas. No caso da parábola, o autor cita o exemplo 
das antenas de TV e dos espelhos presentes nos faróis automotivos, no entanto, 
esses objetos não são formados por apenas uma parábola, mas de um paraboloide, 
que constitui a superfície de revolução obtida ao girar a parábola em torno de seu 
eixo. Todas as parábolas possíveis que integram um paraboloide possuem o mesmo 
foco F ilustrado na Imagem 11. 
 
 
 
 
 
Imagem 11 – Paraboloide 
 
Fonte: https://x.gd/rdivX 
 
Para a elipse, imagine uma superfície obtida ao girar a elipse em torno do eixo 
maior, denominado superfície elipsoide, e admite a parte interna como espelhada, 
caso uma fonte de luz seja colocada em um dos focos (F1), todos os raios irradiados 
por essa fonte serão refletidos no outro foco (F2), como mostra a imagem abaixo. 
 
Imagem 12 – Elipsoide 
 
Fonte: Adaptado de Winterle, 2014. 
 
Esse mesmo processo pode ser evidenciado caso a fonte luminosa seja 
substituída por uma fonte sonora, já que o som emitido de F1 vai se refletir nas paredes 
da elipsoide e se convergir em F2. Por fim, pode-se considerar a propriedade de 
reflexão da hipérbole como análoga à da elipse, isto é, a reta tangente t em um ponto 
P da hipérbole é bissetriz do ângulo formado pelos raios focais F1P e F2P, portanto, a 
= b, como mostra a parte esquerda da Imagem 13. 
 
 
 
 
 
Imagem 13 – Hiperboloide 
 
Fonte: Adaptado de Winterle, 2014. 
 
A superfície do hiperboloide pode ser obtida ao girar uma hipérbole em torno 
da reta que contém seu eixo real (a superfície é uma hiperboloide de duas folhas), e 
a parte externa da superfície é admitida espelhada, isso faz com que todo raio de luz 
incidente à superfície na direção de um dos focos seja refletido na direção de outro 
foco, como mostra a parte direita da Imagem 13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson, 2014. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.