Equação da Reta no Plano

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
 
O estudo da reta no plano é algo bastante comum no ramo da 
geometria analítica. Nos campos de estatística, engenharia ou qualquer outra 
disciplina que envolve a construção de retas por meio de pontos, exige o uso 
de retas no plano bidimensional. 
Nesta aula, serão abordadas as retas no plano mediante equações, 
além da demonstração dos desenhos dessas retas no plano cartesiano, 
também por meio de equações. Finalmente, serão relacionadas as duas retas 
relativamente a suas posições no plano. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
AULA 6 – RETA NO 
PLANO 
 
 
6 RETA NO PLANO 
Santos e Ferreira (2009) afirmam que as retas são representadas mediante 
equações, que podem ser obtidas por pontos no plano cartesiano e relações com os 
vetores, como mostra a Imagem 1. 
 
Imagem 1 – Reta r orientada pelo vetor v e com pontos A e P 
 
Fonte: Adaptado de Winterle, 2014. 
 
Na construção de equação da reta com o uso de vetores, serão desenvolvidas 
as equações vetoriais, no entanto, o foco da aula será falar da construção dessa 
equação por meio dos pontos, que precisa do uso de, ao menos, dois pontos para 
definir um segmento de reta ou uma reta completa, como mostra a Imagem 2. 
 
Imagem 2 – Retas formadas por meio de dois pontos 
 
Fonte: Adaptado de Santos e Ferreira, 2009. 
 
Considere uma reta formada por dois pontos, um deles está localizado na 
origem, enquanto o outro está na coordenada B (5,5) e a intenção é saber quais 
 
 
pontos pertencem à reta que tem como base esses pontos. 
Foi dito que um dos pontos de referência está na origem, portanto, a reta vai 
passar pelo ponto (0,0), já o segundo teve sua localização especificada em (5,5). Os 
outros pontos precisam estar em coordenadas que são iguais nos valores de x e y, 
desse modo, alguns dos pontos que pertencem a essa reta são os seguintes: 
 
Quadro 1 – Pontos da reta do exemplo 
Ponto x y 
A -2 -2 
C -1 -1 
D 1 1 
E 2 2 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
A Imagem 3 ilustra os pontos supracitados no plano cartesiano. 
 
Imagem 3 – Representação dos pontos de uma reta no plano cartesiano 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
 
Pelo fato dos valores de x e y precisarem ser iguais para pertencer à reta, é 
possível afirmar que a relação/equação capaz de representá-la é x = y. Com isso, todo 
valor igual a y será igual a x. No entanto, existem equações de reta que não são tão 
facilmente previsíveis e, para determiná-las, deve-se realizar os procedimentos 
descritos no exemplo a seguir: considere uma reta que passa pelos pontos A (1,-1) e 
 
 
B (3,3). Nesse contexto, uma equação de reta é, basicamente, descrita pela seguinte 
equação: 
 
𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏 
 
Onde a e b representam as constantes que precisam ser inseridas ou 
encontradas com base nos pontos fornecidos. O valor de a, denominado coeficiente 
angular, é dado por: 
 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
 
 
Sendo assim, para o exemplo, o valor de a é: 
 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
3 − (−1)
3 − 1
=
4
2
= 2 
 
Por sua vez, o valor de b recebe o nome de coeficiente linear e é definido pela 
substituição de um dos pontos na equação de reta base, combinado com o coeficiente 
angular calculado: 
 
𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏 
3 = 2 . 3 + 𝑏 
−𝑏 = −3 + 2 . 3 . (−1) → 𝑏 = 3 − 2 . 3 
𝑏 = 3 − 6 = −3 
 
Portanto, a equação da reta será y = 2x – 3. Vale ressaltar que, no momento 
da construção de qualquer equação, a inserção dos valores de um ponto deve se dar 
nas posições indicadas, assim como o valor dos coeficientes calculados. Se tiver 
inversão ou troca de alguma posição, toda a equação da reta será inválida. 
6.1 Representação de retas no plano cartesiano 
Como dito anteriormente, as retas podem ser construídas a partir de dois 
 
 
pontos do plano cartesiano. No tópico anterior, a Imagem 3 possui uma reta r 
construída a partir de dois pontos A (x0,y0) e B (x1,y1), tais pontos também possibilitam 
o cálculo do coeficiente angular da reta, que representa o valor da tangente referente 
ao ângulo de inclinação α: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝛼 = tan(𝛼) =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
 
Com o coeficiente angular encontrado, é possível construir a equação da reta 
da seguinte forma: 
 
𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏 
 
O valor de b, denominado coeficiente linear, representa o valor de translação 
da reta no sentido do eixo y. Se a reta passar pela origem, esse valor será igual a 
zero. Para encontrar o valor de b, deve-se substituir o valor de y e x por um dos pontos 
que compõem a reta. Para compreender melhor, considere que será preciso encontrar 
o ângulo de inclinação da reta, formada pelos pontos A (1,3) e B (2,5), e a equação 
da reta. O ângulo é dado pela equação: 
 
𝛼 = tan(𝑎) =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
tan(𝛼) =
5 − 3
2 − 1
=
2
1
= 2 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan(2) ≅ 63,435° 
 
O valor do coeficiente angular indica o valor da tangente do ângulo. Se for 
colocada a função inversa com esse valor, o valor do ângulo pode ser dado em graus 
ou radianos. Outro ponto que merece atenção é com relação ao arredondamento e ao 
número de casas decimais, uma vez que os valores podem variar com base nos 
valores inseridos. Por sua vez, a equação da reta é a seguinte: 
 
𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥 
3 − 2 . 1 = 1 
 
 
𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
A Imagem 4 demonstra que os pontos A, B e P formaram a reta no plano, 
enquanto o ângulo α representa a inclinação da reta. Note que, quando o coeficiente 
angular é positivo, a reta é ascendente, mas se ele for negativo, a reta será 
descendente. 
 
Imagem 4 – Retas com coeficiente angular positivo e negativo 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
6.2 Relações entre retas 
Caso sejam obtidas equações de retas onde o coeficiente linear é igual a zero, 
a reta vai passar pela origem do sistema. No entanto, se o coeficiente angular for igual 
a zero, o valor da tangente do ângulo de inclinação também será igual a zero, isto é, 
o único valor do ângulo que satisfaz essa tangente é zero grau. 
Segundo Steinbruch e Winterle (2014), existem retas sem as variáveis x ou y, 
onde x é igual a uma constante ou y igual a uma constante. Quando isso ocorre, essa 
reta será paralela aos eixos cartesianos. Caso não tenha x, a reta estará paralela ao 
eixo x e, se não tiver y, a reta será paralela ao eixo y. A Imagem 5 apresenta as retas 
r e s paralelas aos eixos x e y, respectivamente. 
 
 
 
 
 
Imagem 5 – Retas r e s, paralelas aos eixos x e y 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
 
Para melhorar a compreensão, considere as seguintes retas: 
 
➢ r: x = 10. 
➢ s: y = 8. 
➢ t: y = -x. 
 
Para saber a quais eixos elas são paralelas, deve-se observar quais eixos ela 
não apresenta. No caso da primeira reta (r), ela tem o valor constante x = 10, portanto, 
ela assume todos os valores de y na mesma posição x de 10, isso faz dela uma reta 
paralela ao eixo y, como mostra a Imagem 6. 
 
Imagem 6 – Reta r paralela ao eixo y 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
 
 
Por sua vez, a segunda reta (s) tem o valor constante y = 8, portanto, ela 
assume todos os valores de x na mesma posição y de 8, isso faz dela uma reta 
paralela ao eixo x, como mostra a Imagem 7. 
 
Imagem 7 – Reta s paralela ao eixo x 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
 
Por fim, os valores da terceira reta (t) valem x e y simultaneamente, além de 
contar com um coeficiente angular no valor de -1. Desse modo, a reta t não tem 
relação de paralelismo aos eixos coordenados do plano cartesiano, como mostra a 
Imagem 8. 
 
Imagem 8 – Reta t sem paralelismo 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
 
 
Além disso, as retas variam suas inclinações conforme o coeficiente angular. 
Caso os coeficientes angulares sejam iguais em retas diferentes, essas retas terão o 
mesmo grau de inclinação e, portanto, são paralelas. Se oscoeficientes angulares 
forem diferentes, tem-se um ângulo de diferença entre as retas comparadas. 
Pelo fato de cada reta ter um ângulo correspondente em relação ao eixo 
horizontal, caso a diferença entre esses ângulos seja igual a 90° (ou a um múltiplo de 
90, como 180), será observado um caso de ortogonalidade entre retas. A Imagem 9 
ilustra retas com inclinações diferentes em função de coeficientes angulares distintos. 
Nessa imagem, as retas r e s são paralelas (coeficiente angular igual a 4), enquanto 
as retas s e u são ortogonais entre si (coeficientes angulares iguais a 1 e -1). 
 
Imagem 9 – Retas com inclinações diferentes 
 
Fonte: Adaptado de Medeiros, 2019. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MEDEIROS, E. C. Estudo da reta no plano. Porto Alegre: Grupo A, 2019. 
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
STEINBRUCH, A. C.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2014. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.