Teoria dos Números Lista 1

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1 Marcar para revisão
Um divisor comum de dois números inteiros  e  é todo número inteiro 
 de modo que  e . Assim, determinando os divisores comuns de  e
 , obtemos:
a b d ≠ 0
d ∣ a d ∣ b 10
−12
{−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10}.
{−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}.
{−6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{−2, −1, 1, 2}.
{−12, −10, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12}.
Resposta incorreta
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Questão 1
de
10
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Incorretas (8)
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1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Números Inteiros e… Sair
02/06/2026, 10:52 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6a1edff59bf26a477d9089f0/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6a1edff59bf26a477d9089f0/gabarito/ 1/10
A
B
C
D
E
D(10) = {−10, −5, −2, −1, 1, 2, 5, 10}
D(−12) = D(12) = {−12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(−12, 10) = {−2, −1, 1, 2}
2 Marcar para revisão
Os axiomas de Peano definem propriedades fundamentais dos números
naturais. Resolvendo a equação  Obtemos:( 10
2x
) = ( 10
x + 1
) ≠ 0
 ou x = 2 x = 3.
 ou x = 1 x = 2.
 ou x = 1 x = 3.
 ou x = 1 x = 4.
 ou x = 2 x = 10.
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Gabarito Comentado
Temos que ou os denominadores são iguais ou os números binomiais
são complementares e, portanto, a soma dos denominadores deve ser
igual ao numerador comum.
Denominadores iguais:
Números binomiais são complementares:
Assim, temos que   ou 
2x = x + 1
x = 1
2x + x + 1 = 10
3x = 9
x = 3
x = 1 x = 3.
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A
B
C
D
E
3 Marcar para revisão
Os números naturais são uma sequência familiar que todos nós usamos no
dia a dia. Determinando o(s) valore(s) inteiro(s) positivo(s)  de modo
que tenhamos  como um quadrado perfeito, obtemos:
n ≤ 5
n! + 2
4.
2.
5.
3.
1.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
 não é quadrado perfeito
 é quadrado perfeito
 não é quadrado perfeito
 não é quadrado perfeito
 não é quadrado perfeito
O único valor inteiro positivo  de modo que tenhamos  como
um quadrado perfeito é o 2.
n = 1
1! + 2 = 3
n = 2
2! + 2 = 4
n = 3
3! + 2 = (3 ⋅ 2 ⋅ 1) + 2 = 8
n = 4
4! + 2 = (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) + 2 = 26
n = 5
5! + 2 = (5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) + 2 = 122
n ≤ 5 n! + 2
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A
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C
D
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4 Marcar para revisão
O Algoritmo da Divisão é um procedimento fundamental utilizado para dividir
dois inteiros, obtendo um quociente e um resto. Determinando o quociente 
 e o resto  da divisão de 36 por -9, satisfazendo as condições do algoritmo
da divisão, obtemos:
q
r
 e q = −4 r = 4.
 e q = 0 r = −4.
 e q = −4 r = 9.
 e q = −4 r = 0.
 e q = 4 r = 0.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
36 = 9 ⋅ 4 + 0 ∴ 36 = (−9) ⋅ (−4) + 0
q = −4 er  = 0
5 Marcar para revisão
Enquanto a sequência de números naturais é familiar para muitos, poucos
param para considerar as propriedades intrínsecas que essa sequência
possui. O Princípio da Boa Ordenação é uma dessas propriedades,
estabelecendo um alicerce crucial na teoria dos números. Considerando o
Princípio da Boa Ordenação, analise as afirmativas:
I.    é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não
negativos . Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto 
 possui elemento mínimo, .
II.   é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros
não negativos . Pelo Princípio da Boa Ordenação, o
A = {3, 5, 7, 9, ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯} A
3 = minA
A = {2, 4, 8, 16, 32 ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
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A
B
C
D
E
conjunto  possui elemento mínimo, .
III.    : Conjunto dos inteiros não positivos,  é um
subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos
. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto  possui
elemento mínimo, .
É correto apenas o que se afirma em:
A 2 = minA
Z− Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯} A
0 = minA
III, apenas.
II, apenas.
I, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
 é elemento mínimo do subconjunto , ou ainda,
, e se .
I - Verdadeira.  é um subconjunto não vazio do
conjunto dos inteiros não negativos   . Pelo Princípio da
Boa Ordenação, o conjunto  possui elemento mínimo, .
II - Verdadeira.  é um subconjunto não vazio do
conjunto dos inteiros não negativos  . Pelo Princípio da
Boa Ordenação, o conjunto  possui elemento mínimo, .
III - Falsa.  : Conjunto dos inteiros não positivos, 
 é um subconjunto não vazio do conjunto dos inteiros não negativos
. Pelo Princípio da Boa Ordenação, o conjunto 
 possui elemento mínimo, .
Na verdade, temos que
 : Conjunto dos inteiros não negativos, ou seja, dos maiores ou iguais
a zero   .
 : Conjunto dos inteiros não positivos, ou seja, dos menores ou iguais
a zero   .
a0 A ⊂ Z
a0 = minA : a0 ≤ a, ∀a ∈ A ⊂ Z a0 ∈ A
A = {3, 5, 7, 9, ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
3 = minA
A = {2, 4, 8, 16, 32 ⋯}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯}
A 2 = minA
Z− Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0}
Z+ = {0, 1, 2, 3, ⋯} A
0 = minA
Z+
(≥ 0)
Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, ⋯}
Z−
(≤ 0)
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A
B
C
D
E
Z− = {x ∈ Z ∣ x ≤ 0} = {⋯ , −3, −2, −1, 0}
6 Marcar para revisão
A indução matemática é uma ferramenta poderosa e elegante que permite
provar declarações sobre uma sequência infinita de casos. Utilizando
indução matemática para mostrar que  vale a proposição
 analise as afirmativas:
I.  Para  não é válido. De fato, a desigualdade vale somente a partir de 
.
II.  A Hipótese de Indução nos afirma que vale para :
III. Na Etapa Indutiva precisamos mostrar que vale para :
É correto apenas o que se afirma em:
∀n ∈ N
P(n) : + + + ⋯ + ≤ 1,
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
n
n = 1
n = 4
k : 2
k−1
≤ k!
(k + 1)
+ + + ⋯ + + = (1 + + + + ⋯ + ) ≤ (1 + 1) = 1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
1
2
k+1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
1
2
I, apenas.
II, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Vamos mostrar que,  vale a proposição 
 é verdadeiro. De fato,   É válido.
(2) Hipótese de indução.
Considere que a proposiçãoé válida para .
.
∀n ∈ N
P(n) : + + + ⋯ + ≤ 1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
n
(1) P(1)  ≤ 1
1
2
k
+ + + ⋯ + ≤ 1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
n
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A
B
C
D
E
(3) Etapa Indutiva
Vamos mostrar que a proposição é válida para .
Precisamos mostrar que
Vamos iniciar então a prova, colocando  em evidência:
Pela hipótese de indução:
k + 1
+ + + ⋯ + + ≤ 1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
1
2
k+1
1
2
+ + + ⋯ + + = (1 + + + + ⋯ + )1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
1
2
k+1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
+ + + ⋯ + + = (1 + + + + ⋯ + )≤ (1 + 1) = 1
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
1
2
k+1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
1
2
k
1
2
7 Marcar para revisão
A relação de divisibilidade é um conceito fundamental em teoria dos
números e descreve uma relação particular entre dois inteiros. Com base
na Relação de Divisibilidade em  é somente correto afirmar que:Z
2 ∣ 8.
8 ∣ 2.
−8 ∣ 2.
−18 ∣ 3.
2 ∤ 20.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
 CORRETO  pois 
 ERRADO. , pois não existe um inteiro  de modo que 
.
2 ∣ 8 2 ∣ 8, 8 = 2 ⋅ 4
8 ∣ 2 8 ∤ 2 q 2 = 8q
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A
B
C
D
E
 ERRADO. , pois não existe um inteiro  de modo que
 .
 ERRADO. , pois não existe um inteiro  de modo
que .
  ERRADO.  pois .
−8 ∣ 2 −8 ∣ 2 q
2 = −8q
−18 ∣ 3 −18 ∤ 3 q
3 = −18q
2 ∤ 20 2 ∣ 20 20 = 2 ⋅ 10
8 Marcar para revisão
Embora a divisibilidade possa inicialmente parecer uma simples operação
aritmética, ela carrega consigo implicações profundas em teoria dos
números, criptografia, e até mesmo na música. Sobre a relação de
divisibilidade no conjunto dos números inteiros, analise as afirmativas:
I.   O inteiro 5 divide 0, pois .
II.   O inteiro 0 divide 8.
III.   O inteiro 1 divide ,   .
É correto apenas o que se afirma em:
0 = 0 ⋅ 5
n ∀n ∈ N
I e III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
II, apenas.
I, II e III.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
I VERDADE. O inteiro 5 divide 0, pois 
II FALSO. O inteiro 0 NÃO divide , pois não existe um inteiro  de
modo que .
III VERDADE. O inteiro 1 divide , , pois 
0 = 0 ⋅ 5
8.0 ∤ 8 q
9 = 0q
n ∀n ∈ N n = 1 ⋅ n
02/06/2026, 10:52 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6a1edff59bf26a477d9089f0/gabarito/
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A
B
C
D
E
9 Marcar para revisão
Cada número inteiro encontra-se em um de dois reinos distintos: o dos
números pares e o dos números ímpares. Qualquer que seja um inteiro ,
considerando os números inteiros  e , é somente correto afirmar que:n n + 5
Os números inteiros  e  tem a mesma paridade.n n + 5
Tem paridades distintas.
Os números inteiros  e  sempre são pares.n n + 5
Os números inteiros  e  sempre são ímpares.n n + 5
Não é possível determinar a paridade desses números.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Considerando  o quociente e  o resto da divisão de   por , temos
que
Somando 5 a igualdade,
Os números deixam restos diferentes na divisão por 2, tem, portanto,
paridades distintas.
q r n 2
n = 2q + r
0 ≤ r 0}
Z
∗
= {x ∈ Z ∣ x ≠ 0}
I, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito
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Gabarito Comentado
Conjunto dos inteiros não negativos, ou seja, dos maiores ou iguais a
zero .  
Conjunto dos inteiros positivos  .
Conjunto dos inteiros não nulos, ou seja, diferentes de zero .
(≥ 0)
Z+ = {x ∈ Z ∣ x ≥ 0}
(> 0)
Z
∗
+ = {x ∈ Z ∣ x > 0}
(≠ 0)
Z
∗
= {x ∈ Z ∣ x ≠ 0}
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