fabioTese matriz

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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO 
FÁBIO SIMIAO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O 
ENSINO MÉDIO E O SUPERIOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2010 
 
 
 
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO 
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA 
FÁBIO SIMIAO 
 
 
 
 
 
 
 
 
A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O 
ENSINO MÉDIO E O SUPERIOR 
 
 
 
 
 
 
 
Dissertação apresentada como 
exigência parcial à Banca Examinadora 
da Universidade Bandeirante de São 
Paulo - UNIBAN, para a obtenção do 
título de Mestre em Educação 
Matemática, sob a orientação da Prof.ª 
Dra. Tânia Maria Mendonça Campos e 
co-orientação da Prof.ª Dra. Marlene 
Alves Dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2010 
 
 
S61n Simiao, Fábio 
A noção de matriz na transição entre o ensino médio e o 
superior / Fábio Simião - São Paulo: [s.n.], 2010. 
323 f. il. ; 30 cm. 
 
Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação 
em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São 
Paulo, Curso de Educação Matemática. 
 
Orientadora: Profª. Drª. Tânia Maria Mendonça Campos. 
Co-Orientadora: Profª. Drª. Marlene Alves Dias. 
 
1. Matrizes 2. Licenciatura em Matemática 3. Mudança 
de quadro I. Título 
CDD: 512.9434 
 ii 
FÁBIO SIMIÃO 
A NOÇÃO DE MATRIZ NA TRANSIÇÃO ENTRE O 
ENSINO MÉDIO E O SUPERIOR 
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE 
DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-
GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
Presidente e Orientador 
Nome: Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos 
Titulação: Doutora em Matemática 
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo 
Assinatura: _________________________________________________ 
 
2ª Examinador 
Nome: Professora Doutora Divanizia do Nascimento Souza 
Titulação: Doutora em Tecnologia Nuclear 
Instituição: Universidade Federal de Sergipe 
Assinatura: _________________________________________________ 
 
3ª Examinador 
Nome: Professora Doutora Monica Karrer 
Titulação: Doutora em Educação Matemática 
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo 
Assinatura: _________________________________________________ 
 
Biblioteca 
Bibliotecário:_______________________________________________ 
Assinatura:________________________________ DATA ___/___/___ . 
São Paulo, ___ de __________ de ____. 
 
 iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou 
parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. 
 
Assinatura:________________________________ Local e Data:___________________
 
 
 
 iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao meu amado pai José Simião Filho. 
 
 v 
AGRADECIMENTOS I 
À Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos, pelos apontamentos 
efetuados no decorrer do curso, pelo apoio que acredito ter ultrapassado as 
orientações acadêmicas, por suas palavras e cobranças que me conduziram a 
novos paradigmas. 
À Professora Doutora Marlene Alves Dias, pelas horas de coorientação, pelo 
carinho, pela compreensão, pela condução do caminho a ser percorrido e pelas 
observações no decorrer desta trajetória, compartilhando comigo sua experiência e 
sabedoria. 
À Professora Doutora Mônica Karrer e à Professora Doutora Divanizia do 
Nascimento Souza, pelas valiosas contribuições oferecidas a esta pesquisa. 
A todos os professores do Projeto de Mestrado em Educação Matemática da 
Universidade Bandeirante de São Paulo, em especial aos professores Doutora 
Angélica da Fontoura Garcia Silva, Doutor Alessandro Jacques Ribeiro, Doutora 
Maria Elisabette Brisola Brito Prado, Doutora Silmara Alexandra da Silva, Doutora 
Vera Helena Giusti de Souza e Doutor Vincenzo Bongiovanni, pelos momentos de 
atenção, carinho e observação. 
A toda a Secretaria de Pós-Graduação da Uniban – Campo de Marte, em especial 
aos profissionais Fabrício Flores e Guilherme Galvão de Menezes, pelo serviço 
prestado aos estudantes e aos professores. 
À Biblioteca da Uniban – Campo de Marte, representada pela Bibliotecária 
Antônia Irene Bié Alexandre de Azambuja, pelo excelente trabalho prestado e pela 
atenção dada a todos os estudantes. 
A presença de todos foi importante para finalização desta dissertação. 
O autor. 
 
 
 
 vi 
AGRADECIMENTOS II 
Aos meus familiares, em especial à minha Mãe Maria Teresinha Simião, às 
minhas irmãs Márcia Cristina Simião e Mércia Regina Simião, à minha Companheira 
Ruth Martins da Silva e a meu Filho Gustavo Martins Simião, pelos momentos de 
colaboração com o meu estudo. 
Aos meus amigos e colegas que me conduziram, me compreenderam e me 
apoiaram, em especial, Celso Aparecido Alves, Ed Carlos Luiz da Silva, Eliezer 
Antônio da Silva, Elvis Ferreira Duarte, José Valdo Souza de Santana, Kleber 
Aparecido Guilherme Oliveira, Lucia Helena Nobre Barros, Marcio Dorigo, Paulo 
Pagano, Raquel Factori Canova e Sirlene Neves de Andrade. 
A todos os professores do meu “Primeiro Grau” (Escola Estadual Professor 
Francisco Antonio Martins Junior) e do “Colegial” (Escola Estadual Doutor Luiz 
Arrobas Martins), que mesmo sem condições não mediram forças para nos ensinar. 
A todos os professores do Ensino Superior, que me ajudaram em todos os 
sentidos, em especial aos Professores do Curso de Matemática da Universidade 
Presbiteriana Mackenzie, que me ensinaram a refletir e a buscar o significado. 
Ao Professor Mestre Fausto Hossamu Mizutani, por suas significativas aulas de 
Física Geral; acredito que estas foram importantes para minha vida. 
À Professora Doutora Vera Lucia Antonio Azevedo, por sua articulação 
matemática, pela amizade e orientação ao meu trabalho de conclusão de 
Bacharelado em Matemática e pela imensa ajuda para consecução deste trabalho. 
A todos que contribuíram em alguma medida para minha formação e para a 
construção desta pesquisa. 
O autor 
 
 
 
 vii 
AGRADECIMENTOS III 
A todas as Escolas Estaduais do Estado de São Paulo em que trabalhei como 
professor e coordenador pedagógico, em especial, à Escola Estadual Professor 
Humberto Alfredo Pucca, à Escola Estadual Professor João Silva, à Escola Estadual 
Pastor Cícero Canuto de Lima, à Escola Estadual Professor Francisco Antonio 
Martins Junior, à Escola Estadual Professor Orlando Mendes de Moraes, à Escola 
Estadual Professora Amélia Kerr Nogueira e à Escola Estadual Oswald de Andrade. 
À Diretoria de Ensino Sul 2, pelo competente trabalho realizado em sua jurisdição, 
em especial à Dirigente Regional de Ensino Maria Ligia Fernandes Branco; aos 
supervisores de ensino; aos professores coordenadores pedagógicos; aos 
assistentes técnicos; e a todos os funcionários, que me acolheram e me ajudaram. 
Ao Diretor Professor Valmir Rodrigues e a Vice-diretora Professora Maria 
Angélica S. Carmo, pelos momentos de atenção e luta. 
Ao Centro Universitário Anhanguera Educacional - Unidade Campo Limpo, em 
especial aos coordenadores de curso, aos professores e aos funcionários, por 
acreditarem em meu desenvolvimento profissional. 
Ao Centro de Ensino a Distância de São Paulo, em especial à Professora e 
Diretora Virginia Christina Torres e à Mantenedora, Professora Silvia Oliveira de Sá, 
que contribuíram imensamente para o meu progresso profissional. 
À Professora Leda Maria de S. F. Farah,
pelo belo trabalho de correção; desejo 
ter alcançado suas expectativas, quando mudei algumas colocações. 
Acredito que o apoio de todos foi fundamental à minha formação profissional e 
pessoal. 
O autor 
 
 
 
 
 viii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos nós somos capazes de aprender e 
superar nossas dificuldades. 
Professora Doutora Tânia Maria 
Mendonça Campos 
 
 ix 
RESUMO 
SIMIÃO, F. A noção de matriz na transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior. 
2010. 323f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Educação 
Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2010. 
Nesta pesquisa consideram-se as organizações matemáticas e didáticas associadas à 
noção de matriz, suas operações e propriedades, com o objetivo de identificar o que se 
espera como conhecimento prévio, pelo menos mobilizável, desse conteúdo 
matemático dos estudantes, na transição entre o Ensino Médio e o Superior. Para tanto, 
analisar-se-ão documentos oficiais, livros didáticos, Caderno do professor e do aluno e 
propostas institucionais para o desenvolvimento dessa noção no Ensino Médio. 
Considerar-se-á também qual a importância dessa noção para a disciplina de Álgebra 
Linear no Ensino Superior. Tal estudo é conduzido por meio de uma grade de análise 
construída para esse fim, em que se utilizam as ferramentas teóricas escolhidas como 
referência para esta pesquisa. Os resultados da análise mostram que a noção de 
matriz, suas operações e propriedades são trabalhadas, enquanto ferramenta explícita, 
para o desenvolvimento de tarefas associadas a outras noções matemáticas no Ensino 
Médio, e que esse trabalho pode servir de apoio para a introdução da Álgebra Linear 
em IRn no Ensino Superior. 
Palavras-chave: licenciatura em Matemática; matrizes; mudança de quadro; níveis 
de conhecimento; relações institucionais e pessoais. 
 
 
 
 
 
 
 x 
ABSTRACT 
SIMIÃO, F. The notion of matrix in the transition from High School to Higher 
Education. 2010. 323f. Master’s dissertation – Post-graduate program in Mathematics 
Education, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2010. 
This research considered mathematical and teaching organizations associated to the 
notion of matrix, its operations and properties, aiming at identifying what is expected as 
students’ prior, at least mobilized, knowledge of this mathematics concept in the 
transition from High School to Higher Education. In order to do so, official documents, 
course books, teachers’ and students’ books as well as institutional proposals for the 
development of this notion in High School will be analysed. The importance of this notion 
for the Linear Algebra course in Higher Education will also be considered. Such study is 
conducted through an analysis grid prepared for this purpose where theoretical tools 
chosen as reference for this research are used. The results of the analysis reveal that 
the notion of matrix, its operations and properties are worked as explicit tool for the 
development of tasks associated to other mathematical notions in High School and that 
this project can be used as a support for the introduction of linear algebra in R (real 
numbers) at Higher Education. 
Key words: Mathematics teaching course; matrices; change of picture; levels of 
knowledge; institutional and personal relationships. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xi 
LISTA DE ABREVIATURAS 
AL Álgebra Linear 
CASP Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, referente à Nova Proposta 
Curricular de 2008 
CNLDEM Catálogo Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio 
CHS Carga Horária 
DCNEM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio 
DCNM Diretrizes Curriculares Nacionais para o Curso de Matemática, 
Licenciatura e Bacharelado 
EFEI-MG Escola Federal de Engenharia Itajubá – Minas Gerais 
EM Ensino Médio 
ENADE Exame Nacional de Desempenho de Estudante 
ES Ensino Superior 
IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
OCNEM Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio 
NPCSP Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo 
GAV Geometria Analítica e Vetores 
GA Geometria Analítica 
INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
MACK Universidade Presbiteriana Mackenzie 
MEC Ministério da Educação Cultura e Desporto 
PNELEM Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio 
PCN Parâmetro Curricular Nacional 
PCNEM Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio 
PCN+ Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio (complementar) 
SARESP Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 
SBM Sociedade Brasileira de Matemática 
SEE-SP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo 
UNIBAN Universidade Bandeirante de São Paulo 
USP Universidade de São Paulo 
UFSCAR Universidade Federal de São Carlos 
VGA Vetores e Geometria Analítica 
 
 
 xii 
 LISTA DE FIGURAS pág 
Figura 1 Tarefa de vestibular ............................................................................................ 41 
Figura  2 Tarefa sobre ferramenta implícita e explícita ..................................................... 46 
Figura  3 Exemplo de tarefa enunciado no quatro numérico ............................................. 50 
Figura  4 Exemplo de quadro matricial numérico .............................................................. 51 
Figura  5 Tarefa referente ao quadro matricial numérico .................................................. 52 
Figura  6 Exemplos de representação algébrica de uma matriz ....................................... 53 
Figura  7 Tarefa da segunda fase do vestibular da Unicamp (2010) ................................ 54 
Figura  8 Tarefa sobre relação algébrica funcional ........................................................... 55 
Figura  9 Tarefa sobre quadro da geometria métrica plana .............................................. 56 
Figura  10 Tarefa sobre quadro da geometria plana ........................................................... 57 
Figura  11 Tarefa sobre determinante ................................................................................. 58 
Figura  12 Tarefa sobre determinante ................................................................................. 59 
Figura  13 Tarefa de quadro dos sistemas lineares ............................................................ 60 
Figura  14 Tarefa de nível técnico ....................................................................................... 63 
Figura  15 Exemplo de tarefa de nível técnico .................................................................... 64 
Figura  16 Tarefa sobre nível mobilizável ............................................................................ 65 
Figura  17 Tarefa sobre nível mobilizável ............................................................................ 65 
Figura  18 Tarefa sobre nível mobilizável ............................................................................ 66 
Figura  19 Tarefa referente ao nível disponível ................................................................... 67 
Figura  20 Tarefa de adição entre matrizes ......................................................................... 73 
Figura  21 Tarefa exemplificando objeto não ostensivo ...................................................... 74 
Figura  22 Tarefa de multiplicação ...................................................................................... 75 
Figura  23 Exemplo enunciado no quadro numérico ........................................................... 140 
Figura  24 Exemplo no quadro matricial numérico ..............................................................
142 
Figura  25 Exemplo de uma matriz no quadro matricial algébrico ...................................... 143 
Figura  26 Exemplo de enunciado no quadro algébrico funcional ....................................... 144 
Figura  27 Exemplo no quadro da geometria plana ............................................................ 145 
Figura  28 Exemplo no quadro da geometria analítica ........................................................ 146 
Figura  29 Exemplo no quadro dos determinantes .............................................................. 147 
Figura  30 Exemplo no quadro dos sistemas de equações lineares ................................... 149 
Figura  31 Exemplo sobre ostensivos .................................................................................. 150 
Figura  32 Exemplo referente ao nível técnico .................................................................... 152 
Figura  33 Exemplo de tarefa do nível mobilizável .............................................................. 153 
Figura  34 Solução da tarefa da Figura 33 .......................................................................... 154 
 
 xiii 
Figura  35 Exemplo de tarefa correspondente ao nível disponível ..................................... 155 
Figura  36 Exercício correspondente a tarefa 1 ................................................................... 158 
Figura  37 Solução do exercício da Figura 36 ..................................................................... 159 
Figura  38 Exemplo referente a tarefa 1 .............................................................................. 159 
Figura  39 Solução do exemplo da Figura 38 ...................................................................... 160 
Figura  40 Exemplo referente a tarefa 2 .............................................................................. 160 
Figura  41 Solução do exemplo da Figura 40 ...................................................................... 161 
Figura  42 Exemplo da tarefa 3 ........................................................................................... 162 
Figura  43 Solução do exemplo da Figura 42 ...................................................................... 162 
Figura  44 Exemplo da tarefa 4 ........................................................................................... 163 
Figura  45 Solução do exemplo da Figura 44 ...................................................................... 164 
Figura  46 Exemplo da tarefa 4 ........................................................................................... 165 
Figura  47 Solução do exemplo da Figura 46 ...................................................................... 165 
Figura  48 Exemplo de tarefa 5 ........................................................................................... 166 
Figura  49 Solução do exemplo da Figura 48 ...................................................................... 166 
Figura  50 Exemplo de tarefa 5 ........................................................................................... 167 
Figura  51 Solução do exemplo da Figura 50 ...................................................................... 167 
Figura  52 Exemplo de tarefa 6 ........................................................................................... 168 
Figura  53 Solução do exemplo da Figura 52 ...................................................................... 169 
Figura  54 Exemplo de tarefa 7 ........................................................................................... 170 
Figura  55 Solução do exemplo da Figura 54 ...................................................................... 170 
Figura  56 Exemplo de tarefa 7 ........................................................................................... 171 
Figura  57 Solução do exemplo da Figura 56 ...................................................................... 172 
Figura  58 Exemplo de tarefa 7 ........................................................................................... 173 
Figura  59 Solução do exemplo da Figura 58 ...................................................................... 173 
Figura  60 Exemplo de tarefa 7 ........................................................................................... 174 
Figura  61 Solução do exemplo da Figura 60 ...................................................................... 175 
Figura  62 Exemplo de tarefa 8 ........................................................................................... 176 
Figura  63 Solução do exemplo da Figura 62 ...................................................................... 176 
Figura  64 Exemplo de tarefa 9 ........................................................................................... 177 
Figura  65 Solução do exemplo da Figura 64 ...................................................................... 177 
Figura  66 Exemplo de tarefa 9 ........................................................................................... 178 
Figura  67 Solução do exemplo da Figura 66 ...................................................................... 178 
Figura  68 Exemplo de tarefa 9 ........................................................................................... 179 
Figura  69 Solução do exemplo da Figura 68 ...................................................................... 179 
 
 xiv 
Figura  70 Exemplo de tarefa 10 ......................................................................................... 180 
Figura  71 Solução do exemplo da Figura 70 ...................................................................... 180 
Figura  72 Exemplo de tarefa 10 ......................................................................................... 181 
Figura  73 Solução do exemplo da Figura 72 ...................................................................... 181 
Figura  74 Exemplo de tarefa de multiplicação de matrizes ................................................ 192 
Figura  75 Exemplo dos processos computacionais ........................................................... 198 
Figura  76 Ostensivo de representação escritural do discurso de gestos ........................... 204 
Figura  77 Tarefa apresentada na situação 1 ...................................................................... 208 
Figura  78 Tarefa apresentada na situação 2 ...................................................................... 209 
Figura  79 Tarefa apresentada na situação 3 ...................................................................... 209 
Figura  80 Tarefa apresentada na situação 4 ...................................................................... 210 
Figura  81 Tarefa associada ao braço mecânico ................................................................. 221 
Figura  82 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 233 
Figura  83 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 234 
Figura  84 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 234 
Figura  85 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 235 
Figura  86 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 236 
Figura  87 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 236 
Figura  88 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 237 
Figura  89 Tarefa do SARESP .............................................................................................
237 
Figura  90 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 238 
Figura  91 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 239 
Figura  92 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 239 
Figura  93 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 240 
Figura  94 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 240 
Figura  95 Tarefa do SARESP ............................................................................................. 241 
Figura  96 Solução do exemplo da Figura 95 ...................................................................... 241 
Figura  97 Tarefa do ENEM ................................................................................................. 244 
Figura  98 Tarefa da FUVEST ............................................................................................. 247 
Figura  99 Tarefa da FUVEST ............................................................................................. 247 
Figura  100 Tarefa da FUVEST ............................................................................................. 248 
Figura  101 Tarefa da FUVEST ............................................................................................. 248 
Figura  102 Tarefa do ENADE ............................................................................................... 252 
Figura  103 Tarefa do ENADE ............................................................................................... 253 
Figura  104 Tarefa do ENADE ............................................................................................... 254 
 
 xv 
 LISTA DE QUADROS pág. 
Quadro 1 Base nacional comum dos currículos do Ensino Médio .................................. 85 
Quadro  2 Objetivo das competências e habilidades ........................................................ 86 
Quadro  3 Reflexão sobre os parâmetros e a noção de matriz ........................................ 96 
Quadro  4 Noções que podem ser revisitadas .................................................................. 100 
Quadro  5 Objetivos da diretriz ......................................................................................... 112 
Quadro  6 Descrição do perfil profissional ........................................................................ 113 
Quadro  7 Competências e habilidades do estudante em matemática ............................ 113 
Quadro  8 Competências e habilidades do educador matemático ................................... 114 
Quadro  9 Estrutura do curso de matemática ................................................................... 114 
Quadro  10 Eixo de disciplinas ........................................................................................... 115 
Quadro  11 Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores I ................................ 117 
Quadro  12 Bibliografia básica e complementar de GAV I ................................................. 118 
Quadro  13 Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores II ............................... 119 
Quadro  14 Bibliografia básica e complementar de GAV II ................................................ 119 
Quadro  15 Ementa da disciplina de Cálculo Numérico ..................................................... 120 
Quadro  16 Ementa da disciplina de Geometria Analítica e Vetores III .............................. 121 
Quadro  17 Bibliografia básica e complementar de GAV III ............................................... 121 
Quadro  18 Ementa da disciplina de Álgebra Linear .......................................................... 122 
Quadro  19 Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear .................................... 122 
Quadro  20 Ementa da disciplina de Álgebra Linear .......................................................... 125 
Quadro  21 Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear .................................... 126 
Quadro  22 Ementa da disciplina de Vetores e Geometria Analítica .................................. 128 
Quadro  23 Bibliografia básica e complementar de VGA ................................................... 128 
Quadro  24 Ementa da disciplina de Álgebra Linear A ....................................................... 129 
Quadro  25 Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear A ................................ 129 
Quadro  26 Ementa da disciplina de Geometria Analítica .................................................. 131 
Quadro  27 Bibliografia básica de Geometria Analítica ...................................................... 132 
Quadro  28 Ementa da disciplina Introdução à Álgebra Linear .......................................... 133 
Quadro  29 Bibliografia básica e complementar de Álgebra Linear .................................... 134 
Quadro  30 Definição dos itens da grade ........................................................................... 157 
Quadro  31 Conteúdos desenvolvidos na obra, relacionados as noções de matrizes ....... 191 
Quadro  32 Outras tarefas mobilizadas na obra de Elon Lages Lima et al. ....................... 197 
Quadro  33 Conteúdos desenvolvidos na obra com relação às noções de matrizes ......... 199 
Quadro  34 Outras tarefas mobilizadas n obra de Luiz Roberto Dante .............................. 206 
 
 xvi 
Quadro  35 Conteúdos desenvolvidos no Caderno com relação às noções de matrizes .. 210 
Quadro  36 Outras tarefas desenvolvidas na obra – Caderno do aluno ............................. 213 
Quadro  37 Conteúdos desenvolvidos na obra com relação às noções de matrizes ......... 215 
Quadro  38 Outras tarefas mobilizadas na obra de Carlos Alberto Callioli ......................... 217 
Quadro  39 Conteúdos desenvolvidos na obra com relação às noções de matrizes ......... 218 
Quadro  40 Outras tarefas mobilizadas na obra de Howard Anton .................................... 221 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xvii
 LISTA DE TABELAS pág.
Tabela 1 Conteúdo referente aos três eixos – PCN + ........................................................ 094 
Tabela  2 Conteúdo referente a Nova Proposta da SEE-SP (2008) ................................... 104 
Tabela  3 Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – PCN + ................................... 107 
Tabela  4 Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – OCNEM ................................. 108 
Tabela  5 Conteúdo – Relações Institucionais Esperadas – NPCSP .................................. 109 
Tabela  6 Extrato da grade curricular – MACK .................................................................... 117 
Tabela  7 Extrato da grade curricular – UFSCAR ................................................................ 127 
Tabela  8 Extrato da grade curricular – USP ....................................................................... 131 
Tabela  9 Livros de Álgebra Linear utilizado pelas Universidades investigadas ................. 135 
Tabela  10 Grade de análise ................................................................................................. 156 
Tabela  11 Dez tarefas comumente encontradas no Ensino Médio ...................................... 157 
Tabela  12 Obras didáticas investigadas na pesquisa .......................................................... 188 
Tabela  13 Tarefas
desenvolvidas na obra de Elon Lages Lima ........................................... 195 
Tabela  14 Tarefas desenvolvidas na obra de Luiz Roberto Dante ...................................... 200 
Tabela  15 Tarefas desenvolvidas na obra – Caderno do Aluno .......................................... 211 
Tabela  16 Tarefas desenvolvidas na obra de Carlos Alberto CAllioli ................................... 215 
Tabela  17 Tarefas desenvolvidas na obra de Howard Anton ............................................... 219 
Tabela  18 Eixos dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio .................. 228 
Tabela  19 Avaliações analisadas ......................................................................................... 229 
Tabela  20 Panorama das aplicações ................................................................................... 230 
Tabela  21 Conteúdos do Ensino Médio mobilizados no SARESP ....................................... 231 
Tabela  22 Conteúdos do Ensino Médio mobilizados no ENEM ........................................... 242 
Tabela  23 Conteúdos do Ensino Médio mobilizados na FUVEST ....................................... 245 
Tabela  24 Conteúdos do Ensino Superior mobilizados no ENADE ..................................... 250 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 xviii
 LISTA DE ANEXOS Pág. 
Anexo I Solução da tarefa apresentada na Figura 1 ................................................ 273 
Anexo  II Solução da tarefa apresentada na Figura 2 ................................................ 274 
Anexo  III Outro método de solução apresentada na Figura 2 .................................... 275 
Anexo  IV Outro método de solução apresentada na Figura 2 .................................... 276 
Anexo  V Outro método de solução apresentada na Figura 2 .................................... 277 
Anexo  VI Representação no Eixo Cartesiano ............................................................. 278 
Anexo  VII Solução da tarefa apresentada na Figura 3 ................................................ 279 
Anexo  VIII Solução da tarefa apresentada na Figura 5 ................................................ 280 
Anexo  IX Solução parcial da tarefa apresentada na Figura 7 ..................................... 281 
Anexo  X Solução da tarefa apresentada na Figura 8 ................................................ 282 
Anexo  XI Solução da tarefa apresentada na Figura 9 ................................................ 283 
Anexo  XII Solução da tarefa apresentada na Figura 10 .............................................. 284 
Anexo  XIII Solução da tarefa apresentada na Figura 12 .............................................. 285 
Anexo  XIV Solução final da tarefa apresentada na Figura 7 ......................................... 286 
Anexo  XV Solução da tarefa apresentada na Figura 15 .............................................. 287 
Anexo  XVI Solução da tarefa apresentada na Figura 17 .............................................. 288 
Anexo  XVII Solução da tarefa apresentada na Figura 18 .............................................. 289 
Anexo  XVIII Solução da tarefa apresentada na Figura 19 .............................................. 290 
Anexo  XIX Solução da tarefa apresentada na Figura 20 .............................................. 291 
Anexo  XX Rubrica sobre aprendizagem, competência e habilidade – PCN ................ 292 
Anexo  XXI Rubrica sobre competência e habilidade para disciplinas do EM – PCN .... 292 
Anexo  XXII Objetivo da matemática no Ensino Médio – PCN ........................................ 294 
Anexo  XXIII Competência e habilidade em matemática – PCN ...................................... 295 
Anexo  XXIV Investigação e compreensão – PCN ........................................................... 296 
Anexo  XXV Contextualização sóciocultural – PCN ....................................................... 297 
Anexo  XXVI Três principais competências – PCN + ....................................................... 298 
Anexo  XXVII Representação e Comunicação – PCN + .................................................... 299 
Anexo  XXVIII Investigação e compreensão – PCN + ........................................................ 301 
Anexo  XXIX Contextualização sociocultural – PCN + ..................................................... 303 
Anexo  XXX Sinopse dos livros Mello (2005) e Boulos (2005) ........................................ 305 
Anexo  XXXI Sinopse do livro Winterle (2000) .................................................................. 306 
Anexo  XXXII Diagrama de capítulos da obra de Callioli (1983) ........................................ 307 
Anexo  XXXIII Sinopse dos livros Anton (2006) e Steimbruch (1997) ................................ 308 
Anexo  XXXIV Sinopse do livro de Caroli (1978) ................................................................ 308 
 
 xix 
Anexo  XXXV Sinopse dos livros de Boldrini (1980) e Coelho (2005) ............................... 308 
Anexo  XXXVI Sinopse do livro de Leithold (1997) ............................................................. 309 
Anexo  XXXVII Sinopse dos livros de Barone (1988) e Banchoff (1992) ............................. 309 
Anexo  XXXVIII Solução da tarefa apresentada na Figura 23 .............................................. 311 
Anexo  XXXIX Solução da tarefa apresentada na Figura 24 .............................................. 312 
Anexo  XL Solução da tarefa apresentada na Figura 26 .............................................. 313 
Anexo  XLI Solução da tarefa apresentada na Figura 27 .............................................. 314 
Anexo  XLII Solução da tarefa apresentada na Figura 28 .............................................. 315 
Anexo  XLIII Solução da tarefa apresentada na Figura 29 .............................................. 316 
Anexo  XLIV Solução da tarefa apresentada na Figura 30 .............................................. 317 
Anexo  XLV Solução da tarefa apresentada na Figura 31 .............................................. 318 
Anexo  XLVI Solução da tarefa apresentada na Figura 32 .............................................. 319 
Anexo  XLVII Solução da tarefa apresentada na Figura 35 .............................................. 320 
Anexo  XLVIII Descrição dos livros de matemática segundo CNLDEM (2009) .................. 321 
Anexo  XLIX Definição das noções trabalhadas no Ensino Médio ................................... 323 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xx 
SUMÁRIO 
Introdução ............................................................................................................ 023
Capítulo 1: Problemática, objetivo e metodologia da pesquisa 029
 1.1 Contexto da pesquisa ................................................................................. 029
 1.2 Problemática da pesquisa ........................................................................... 032
 1.3 Objetivo da pesquisa ................................................................................... 034
 1.4 Metodologia da pesquisa ............................................................................ 035
 
Capítulo 2: Referencial teórico da pesquisa 038
 2.1 Considerações iniciais sobre o capítulo ...................................................... 038
 2.2 A noção de quadro de Douady ................................................................... 040
 2.3 A abordagem teórica em termos de nível de conhecimento e algumas 
noções da teoria antropológica do didático ................................................. 061
 2.3.1 Os três níveis de conhecimento esperado dos estudantes, 
conforme
Robert (1997, 1998) .......................................................... 062
 2.3.2 Alguns elementos da teoria antropológica do didático ..................... 069
 2.4 Considerações finais sobre o capítulo ........................................................ 076
 
Capítulo 3: Análise das relações institucionais esperadas – Ensino Médio 078
 3.1 Considerações iniciais sobre o capítulo ...................................................... 078
 3.2 A noção de topos do professor e do estudante de Chevallard e Grenier ... 080
 3.3 Novo Ensino Médio ..................................................................................... 081
 3.4 Diretrizes curriculares nacionais para o Ensino Médio ............................... 083
 3.4.1 Parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio .................. 087
 3.4.1.1 Parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio 
(2000) ...................................................................................
 
087
 3.4.1.2 Parâmetros curriculares nacionais (+) – Ensino Médio........ 091
 3.4.2 Reflexões sobre a abordagem da noção de matriz no Ensino Médio 096
 3.5 Orientações curriculares para o Ensino Médio ........................................... 097
 
 xxi 
 3.6 Nova proposta curricular do Estado de São Paulo, 2008 ........................... 102
 3.7 Considerações finais sobre o capítulo ........................................................ 106
 
Capítulo 4: Análise das relações institucionais esperadas – Ensino Superior 111
 4.1 Considerações iniciais sobre o capítulo....................................................... 111
 4.2 Diretrizes curriculares nacionais para o curso de matemática .................... 112
 4.3 Plano de ensino – Análise das noções de matrizes no E. Superior ............ 115
 4.3.1 Universidade Presbiteriana Mackenzie ............................................. 116
 4.3.2 Universidade Bandeirante de São Paulo .......................................... 124
 4.3.3 Universidade Federal de São Carlos ................................................ 127
 4.3.4 Universidade de São Paulo ............................................................... 130
 4.4 Considerações finais sobre o capítulo ........................................................ 135
 
Capítulo 5: Grade de análise 138
 5.1 Considerações iniciais sobre o capítulo ...................................................... 138
 5.2 Exemplos das ferramentas didáticas que compõem a grade de análise .... 138
 5.3 A grade de análise ...................................................................................... 156
 5.4 Exemplos de funcionamento da grade de análise ...................................... 158
 5.5 Considerações finais sobre o capítulo ........................................................ 182
 
Capítulo 6: Análise das relações institucionais existentes 184
 6.1 Considerações iniciais sobre o capítulo ...................................................... 184
 6.2 A análise das obras didáticas ..................................................................... 188
 6.3 Análise da obra de Elon Lages Lima et al. .................................................. 189
 6.3.1 Comentários e análise ...................................................................... 189
 6.4 Análise da obra de Luiz Roberto Dante....................................................... 197
 6.4.1 Comentários e análise ...................................................................... 197
 6.5 Análise do Caderno do aluno ...................................................................... 207
 6.5.1 Comentários e análise ...................................................................... 207
 
 xxii
 6.6 Análise da obra de Carlos Alberto Callioli et al. .......................................... 214
 6.6.1 Comentários e análise ...................................................................... 214
 6.7 Análise da obra de Howard Anton .............................................................. 217
 6.7.1 Comentários e análise ...................................................................... 217
 6.8 Considerações finais sobre o capítulo......................................................... 222
 
Capítulo 7: Análise das relações pessoais esperadas dos estudantes por 
meio das macroavaliações: SARESP, ENEM, FUVEST e ENADE 226
 7.1 Considerações iniciais sobre o capítulo ...................................................... 226
 7.2 Relações institucionais esperadas e existentes x Relações pessoais 
esperadas ................................................................................................... 
 
228
 7.3 Análise das avaliações escolhidas .............................................................. 229
 7.4 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – 
SARESP ......................................................................................................
 
230
 7.4.1 Comentários e Análise .................................................................... 230
 7.5 Exame Nacional do Ensino Médio .............................................................. 242
 7.5.1 Comentários e Análise .................................................................... 242
 7.6 Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST ................................. 244
 7.6.1 Comentários e Análise ..................................................................... 244
 7.7 Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ....................................... 249
 7.7.1 Comentários e Análise ..................................................................... 249
 7.8 Considerações finais sobre o capítulo ........................................................ 255
Considerações e perspectivas futuras .............................................................. 258
Referências bibliográficas .................................................................................. 263
Anexos .................................................................................................................. 273
 
 
23 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Quando estudante do Ensino Superior, fui capaz de observar que minhas 
dificuldades na disciplina de Álgebra Linear estavam associadas à falta de 
conhecimentos de algumas noções que não tinham sido introduzidas no Ensino 
Médio ou que os conhecimentos de que eu dispunha não eram suficientes para 
compreender os novos conceitos e articulá-los com os conhecimentos prévios que 
se consideravam disponíveis, em particular, em Álgebra Linear. 
Apesar de ser um impedimento para muitos estudantes, isso me estimulou a 
procurar outros meios para resolver o problema, ou seja, identificava quais 
conhecimentos eram necessários, mas naquela ocasião decorava alguns teoremas 
para conseguir êxito nas avaliações propostas pelo professor. Devido à imaturidade 
como estudante, não conseguia detectar os reais motivos relacionados àquele 
“fracasso”: precisar decorar para alcançar sucesso na prova por não me apropriar do 
conhecimento significativo das tarefas propostas em Álgebra Linear. 
Na mesma época, já atuava como professor, em caráter excepcional, no Ensino 
Fundamental e no Ensino Médio, nas disciplinas da área de ciências exatas, o que 
me levou a estudar temas relacionados ao ensino da Matemática, não apenas para 
aprender e conseguir sucesso no Ensino Superior, mas para ensinar, de modo 
satisfatório, para os estudantes que estavam sob minha responsabilidade e de cuja 
aprendizagem, naquele momento, eu era mediador. 
Voltando à minha trajetória no Ensino Superior, observo que, na época, utilizava-
se o livro de Álgebra Linear de
Callioli et al. e lembro-me de que o professor da 
disciplina iniciava os conteúdos presentes na obra com as noções de sistemas 
lineares, utilizando diretamente as regras do escalonamento, o que me fez desistir 
algumas vezes, devido à falta de conhecimento relacionado às noções matriciais. 
Ao refazer a disciplina, verificava, como estudante, que bastava decorar os 
teoremas propostos no livro e pela professora e, por meio de técnicas, refazer de 
modo parecido as tarefas associadas; e, assim, tinha como resultado a aprovação 
na disciplina, com notas relativamente altas, mas que não refletiam o conhecimento 
que eu poderia pelo menos mobilizar em relação às noções e aos conceitos 
24 
 
 
desenvolvidos naquela disciplina. Hoje percebo que as atitudes apresentadas por 
mim e por meus colegas não eram adequadas para uma aprendizagem com 
significado. 
Ao concluir o curso de Matemática, trabalhei alguns anos como contratado, tendo 
sido efetivado no ano de 2004, como professor de Matemática da rede de ensino do 
estado de São Paulo. 
No ano de 2006, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo ofereceu aos 
professores de algumas áreas cursos de especialização, e tive a oportunidade de 
cursar o proposto pela PUC-SP. Nesse momento, conheci amigos e professores que 
me ajudaram a compreender as possíveis mudanças para o ensino da Matemática. 
Nesse curso, foi abordada a questão do pensamento e sua relação com a 
Educação Matemática e, após seu término, já Especialista em Educação 
Matemática, comecei a atuar de forma diferente, agora preocupado em oferecer aos 
alunos as reais possibilidades de ensino e aprendizagem, considerando a 
importância do pensamento e do raciocínio matemático para os estudantes tanto do 
Ensino Fundamental como do Ensino Médio. 
O curso de Especialização possibilitou-me adotar novos paradigmas relacionados 
ao ensino da Matemática e, como professor, atuar para que o estudante consiga, 
pelo menos, mobilizar seus conhecimentos de forma significativa. 
A partir da minha nova experiência, iniciei o mestrado acadêmico em Educação 
Matemática e, em função das linhas de pesquisa e das propostas de cada uma 
delas, escolhi a linha de Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações, 
por identificar-me com o projeto sobre a transição entre o Ensino Médio e o Superior, 
que corresponde ao projeto mais amplo em que o meu projeto de pesquisa está 
inscrito. 
 Assim, propus este trabalho, que tem como objetivo identificar as relações 
institucionais esperadas, existentes e as relações pessoais que se supõe tenham 
sido desenvolvidas no processo de ensino e aprendizagem das noções de matrizes, 
suas operações e propriedades, na transição entre o Ensino Médio e o Superior. 
25 
 
 
O estudo dessas relações pode auxiliar professores e estudantes a melhor 
compreender as dificuldades encontradas, quando da introdução da disciplina de 
Álgebra Linear, de forma que os professores possam reconhecer quais 
conhecimentos sobre matrizes, suas operações e propriedades podem servir de 
apoio para o desenvolvimento dessa disciplina e para que os estudantes possam 
encontrar outros meios para dedicar-se com autonomia a sua própria recuperação, 
revisitando conhecimentos prévios supostos pelo menos mobilizáveis, quando 
ingressam no Ensino Superior. 
1Considerado o objetivo da pesquisa e justificada sua pertinência, escolhe-se 
analisar, via documentos oficiais, tanto para o Ensino Médio como para o Ensino 
Superior, as relações institucionais esperadas dos professores e dos estudantes 
dessas duas etapas escolares, identificando o trabalho destinado a cada um deles 
no processo de ensino e aprendizagem, considerando a noção de “topos”, que 
significa o papel do professor e do estudante para o desenvolvimento das propostas 
e das expectativas institucionais. 
Analisam-se, ainda, as relações institucionais existentes, via livros didáticos e 
materiais didáticos propostos nas relações institucionais esperadas, para verificar a 
coerência entre essas duas relações e a possibilidade de considerar, como 
conhecimentos prévios pelo menos mobilizáveis para apoiar a introdução das 
noções de Álgebra Linear no Ensino Superior, o que se desenvolveu no Ensino 
Médio. Para melhor identificar esses conhecimentos, estudam-se ainda as relações 
pessoais esperadas dos estudantes e verificam-se quais as expectativas em relação 
às marcas das relações institucionais sobre as pessoais, ou seja, o que realmente se 
espera como conhecimento prévio dos estudantes que terminam o Ensino Médio, 
em relação às noções de matrizes, suas operações e propriedades. 
 Sendo assim, propôs-se o método da análise documental, escolhendo para isso 
os documentos oficiais que indicam o trabalho a ser realizado; por exemplo, a Nova 
Proposta Curricular do Estado de São Paulo para o Ensino Médio e os planos de 
ensino de algumas universidades para o Ensino Superior, entre outros documentos 
                                                            
1  Finalizada  esta  breve  síntese  de  minha  trajetória  escolar  pessoal  e  profissional,  passo  a  relatar  o 
desenvolvimento deste  trabalho,   que  contou  com  a  contribuição de muitos  atores; por  essa  razão, o  foco 
adotado passará a ser de terceira pessoa.  
26 
 
 
analisados e que correspondem às relações institucionais esperadas. Para a 
análise das relações institucionais existentes e das relações pessoais esperadas dos 
estudantes, utiliza-se o mesmo método e escolhem-se alguns livros didáticos do 
Ensino Médio e do Superior e as macroavaliações que sobrevivem atualmente em 
nosso sistema de ensino. Para essas análises, constrói-se uma grade de análise, 
seguindo a forma apresentada por Dias (1998) em sua tese sobre a articulação de 
ponto de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear. 
Apresentado o projeto da pesquisa e seu desenvolvimento, iniciam-se a descrição 
e a discussão do material estudado nos diferentes capítulos. 
O primeiro capítulo expõe a problemática, o objetivo e a metodologia da pesquisa, 
precedidos de um breve contexto que descreve a realidade e as dificuldades da 
introdução de novos conceitos de Álgebra Linear por meio de trabalhos existentes, o 
que permite expor a problemática desta pesquisa e os questionamentos que ajudam 
a delimitar o objeto de pesquisa e seu objetivo; e propor a metodologia adequada 
para seu desenvolvimento. 
No segundo capítulo, apresenta-se o referencial teórico escolhido para 
fundamentar as análises desenvolvidas na pesquisa. Ressalta-se que a noção de 
quadro e mudança de quadro, conforme definição de Douady (1984, 1992), é central 
para este trabalho, mas foi complementada pela Teoria Antropológica do Didático de 
Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard (1999) e pela abordagem teórica em termos 
de níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo definição de Robert 
(1997, 1998), como outros meios para melhor compreender as expectativas 
institucionais em relação ao que se espera do trabalho a ser desenvolvido por 
professores e estudantes. 
O terceiro capítulo trata das relações institucionais esperadas no Ensino Médio, 
que foram analisadas, nos documentos oficiais para o Ensino Médio escolhidos para 
o estudo, por meio da ferramenta didática “topos”, introduzida por Chevallard e 
Grenier (1997). 
No quarto capítulo apresentam-se as relações institucionais esperadas para o 
Ensino Superior, seguindo a mesma forma de análise proposta no capítulo 3 para o 
Ensino Médio. 
27 
 
 
No quinto capítulo apresenta-se a grade de análise com exemplos e as tarefas 
usuais, que sobrevivem atualmente nas diferentes instituições.
Essa grade é 
utilizada para efetuar as análises das relações institucionais existentes e subsidiar 
nas análises das relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o 
Ensino Médio e o Superior. 
O sexto capítulo trata das relações institucionais existentes tanto para o Ensino 
Médio como para o Ensino Superior. Ali se analisam a pertinência e a coerência 
dessas relações com as expectativas institucionais e os conhecimentos que podem 
ser considerados como pelo menos mobilizáveis pelos estudantes num curso de 
introdução à Álgebra Linear. 
O sétimo e último capítulo trata das análises das macroavaliações que permitem 
identificar, da mesma forma que no sexto capítulo, a pertinência e a coerência 
dessas relações com o trabalho que se supõe venha sendo realizado no Ensino 
Médio e as expectativas institucionais a serem desenvolvidas no Ensino Superior. 
Nesse mesmo capítulo, apresentam-se as questões sobre Álgebra Linear 
encontradas no exame de avaliação do Ensino Superior, o que permite colocar em 
evidência as necessidades em termos das noções de matrizes e transformações 
lineares desenvolvidas em Álgebra Linear e os conhecimentos prévios adquiridos no 
Ensino Médio que podem auxiliar os estudantes a melhor compreender e interpretar 
essas transformações. 
Finalmente, apresentam-se as considerações finais e as perspectivas futuras, 
mostrando o resultado das análises e as possibilidades reais de trabalho com os 
conhecimentos prévios que se supõem disponíveis. 
Aqui observa-se que a noção de matrizes, suas operações e propriedades mesmo 
sendo desenvolvidas considerando os aspectos tecnológicos da teoria dos espaços 
vetoriais, ou seja, para o conjunto das matrizes, são trabalhadas as operações de 
adição e multiplicação por escalar com as respectivas propriedades, o que permite 
utilizar esse conhecimento como apoio para a introdução da noção de espaço 
vetorial. 
A multiplicação de matrizes pode ser considerada uma ferramenta explícita pelo 
menos mobilizável, quando da introdução da matriz de uma transformação linear. A 
28 
 
 
noção de transformação linear não é trabalhada explicitamente no Ensino Médio, 
mas já existem materiais didáticos que utilizam esse conceito para motivar o estudo 
das matrizes nessa etapa escolar, como o faz Dante (2004, 2005b). 
Ressalta-se que o estudo da noção de matrizes, suas operações e propriedades, 
assim como os procedimentos associados à sua introdução no Ensino Médio, 
podem ser utilizados para alavancar o ensino da disciplina de Álgebra Linear, pois 
os resultados deste estudo mostram que essas noções são consideradas nas 
relações institucionais existentes e cobradas nas macroavaliações, enquanto 
ferramentas explícitas para a execução de tarefas associadas a outras noções 
matemáticas desenvolvidas no Ensino Médio. Portanto, este trabalho pode servir de 
apoio para a introdução da Álgebra Linear em IRn no Ensino Superior, mas é preciso 
avançar na pesquisa, de forma a encontrar novas tarefas e novas práticas que 
permitam levar em conta as novas organizações dos conhecimentos, as novas 
formas de pensar matematicamente, as novas linguagens e os novos modos de 
comunicação próprios da disciplina e da formação matemática dos futuros 
professores de matemática que, na realidade, correspondem às novas expectativas 
institucionais impostas pela própria disciplina de Álgebra Linear, quando de sua 
introdução no Ensino Superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
CAPÍTULO 1 
PROBLEMÁTICA, OBJETIVO E METODOLOGIA DA PESQUISA 
1.1 Contexto da pesquisa 
O interesse em pesquisar sobre as noções de matrizes, suas operações e 
propriedades na transição entre o Ensino Médio e o Superior é advindo 
primeiramente da minha experiência enquanto estudante, quando precisei procurar 
diferentes meios para recuperar conceitos e noções que não eram disponíveis 
quando iniciei meus estudos universitários. 
Além disso, em minha prática em sala de aula, tenho vivenciado esse problema, 
pois muitos de meus alunos não são capazes de sequer mobiliar conhecimentos que 
se supõe tenham sido trabalhados nas séries anteriores, seja porque realmente não 
foram tratados ou pela forma com que foram desenvolvidos, em função das várias 
organizações matemáticas e didáticas a que foram submetidos. 
Ao iniciar o mestrado em Educação Matemática e ao acompanhar a apresentação 
dos projetos dos diferentes grupos, interessei-me pelo projeto CAPES–COFECUB, 
mais especificamente, pelo eixo que desenvolve um estudo sobre a transição entre o 
Ensino Médio e o Superior e cuja proposta é pesquisar as questões associadas a 
essa transição para dois domínios da Matemática: Álgebra Linear e Análise 
Matemática. 
Dessa forma, escolheu-se estudar os problemas dessa transição para uma noção 
específica, ou seja, a noção de matriz, suas operações e propriedades e sua 
aplicação enquanto ferramenta explícita do trabalho matemático para o ensino do 
conceito de transformação linear. 
Alguns trabalhos já vêm sendo realizados nesse sentido e considera-se que as 
afirmações de Artigue (2004), ao analisar as condições do ensino universitário na 
França, são muito próximas às encontradas nas universidades brasileiras. Segundo 
a autora, existem muitos desafios, dos quais ela ressalta três que indicam a 
necessidade de atenção dos pesquisadores de Educação Matemática, a saber: 
- uma massificação do ensino que confronta a universidade com públicos 
diferentes daqueles que ela estava habituada a receber; 
30 
 
 
- uma crescente defasagem em relação ao ensino secundário que, sendo o 
primeiro a sentir os efeitos da massificação, tentou adaptar-se a essa nova 
realidade, buscando atualizar tanto as propostas curriculares quanto as práticas 
pedagógicas; 
- uma evolução tecnológica que afeta não só as práticas matemáticas, mas 
também os meios de ação didática. 
A autora afirma ainda que, frequentemente, os professores universitários 
desconhecem as evoluções do ensino secundário e rejeitam o uso de recursos 
tecnológicos familiares aos estudantes do secundário. Essa situação também se 
assemelha ao contexto brasileiro. 
Como já se observou acima, os desafios apresentados pela autora não são 
específicos do contexto francês. Diferentes trabalhos de pesquisa desenvolvidos na 
França, no Brasil e em outros países sobre essas questões da transição entre o 
Ensino Médio e o Superior permitem compreender alguns desses desafios e projetar 
possíveis respostas (ARTIGUE, 2001; ARTIGUE; DIAS, 1995; CAMPOS, 2005; 
DIAS et al., 2008; GUEUDET, 2007). 
Além disso, essas pesquisas mostram que as respostas, quando existem, não 
são universais, pois estão relacionadas às diversas culturas de ensino e às 
condições com as quais os diferentes sistemas de ensino devem lidar. Mas essa 
diversidade é, ao mesmo tempo, uma oportunidade, pois ela nos ajuda a questionar 
aquilo que, por razões históricas e culturais, aparece frequentemente como próprio 
da situação e não problemático, conforme Artigue (2004). 
No caso específico do sistema educativo brasileiro, sabe-se, por meio de 
inúmeras macroavaliações institucionais, que essa transição é vivida entre 
estudantes e professores de forma problemática, pois, de um lado, encontra-se o 
estudante, que tem dificuldades em mobilizar as noções básicas; e, de outro, o 
professor, que tenta entender qual a verdadeira problemática com relação ao 
processo ensino e aprendizagem e está sempre procurando novos meios de tratar 
esse problema. 
É fato que existem problemas específicos, no que diz respeito à disciplina de 
Álgebra Linear, mas escolhe-se estudar a noção de matriz, suas operações e 
propriedades, pois é uma ferramenta importante
num curso de introdução à Álgebra 
Linear, em particular, quando se considera a matriz de uma transformação linear. 
31 
 
 
Isso conduz ao estudo das relações institucionais esperadas e existentes no 
Ensino Médio e no Ensino Superior, ou seja, dos diferentes tipos de tarefas e das 
técnicas associadas desenvolvidos no Ensino Médio e das tecnologias usadas para 
descrever, explicar e justificar essas técnicas. O objetivo é compreender como se 
pode trabalhar esses conceitos em Álgebra Linear — mais especificamente, quando 
se considera o curso de Licenciatura em Matemática —, de forma a articular os 
conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio, que podem ser considerados como 
conhecimentos prévios pelo menos disponíveis para aqueles que ingressam no 
Ensino Superior. 
Os resultados desta pesquisa podem auxiliar na proposta de um curso de Álgebra 
Linear em que os conhecimentos prévios em relação à noção de matriz, suas 
operações e propriedades servem de ferramenta explícita para o desenvolvimento 
dos conceitos dessa disciplina e tornam-se, assim, mais elaborados e estáveis em 
termos de significado; e, por sua interação com os novos conhecimentos, 
possibilitam que estes últimos adquiram significado para o aprendiz, como afirma 
Moreira (2005). 
Dessa forma, o estudo comparado das propostas institucionais para o Ensino 
Médio e o Superior, que corresponde às relações institucionais esperadas, e a 
análise dos livros didáticos indicados para essas duas etapas escolares podem 
auxiliar a compreender o que pode ser mudado para auxiliar os estudantes dos 
cursos de licenciatura em matemática a identificar nas teorias desenvolvidas no 
Ensino Superior as técnicas e as tecnologias utilizadas no Ensino Médio, como 
exposto acima. Isso poderá conduzi-los a escolher a discussão mais adequada para 
descrever e explicar o futuro trabalho matricial com seus estudantes. 
Observa-se aqui que esta investigação é inovadora no contexto brasileiro, uma 
vez que não se encontrou nenhum documento que trate da transição entre o Ensino 
Médio e o Ensino Superior relacionado às noções de matrizes, suas operações e 
propriedades. Nem mesmo os trabalhos de Álgebra Linear tratam do tema da 
transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para as noções matriciais, 
procurando selecionar os conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio que 
podem ser revisitados no Ensino Superior e apoiar a introdução de novos 
conhecimentos. 
32 
 
 
Apresentado o contexto da pesquisa, passa-se à descrição da problemática. 
1.2 Problemática da Pesquisa 
Nesta pesquisa procura-se identificar, por meio do estudo documental das 
relações institucionais esperadas e existentes, como estão sendo articuladas as 
noções matriciais, suas operações e propriedades e entender, por meio do estudo 
das macroavaliações, quais as relações pessoais esperadas dos estudantes que 
terminam o Ensino Médio. Este estudo pode auxiliar a proposta de novas tarefas que 
mobilizem e articulem conhecimentos prévios desenvolvidos no Ensino Médio e que 
podem servir de apoio para o desenvolvimento de um curso introdutório de Álgebra 
Linear, em particular, quando se estuda o conceito de matriz de uma transformação 
linear. 
Dessa forma, pode-se trabalhar com as possíveis e reais dificuldades enfrentadas 
pelos estudantes na transição entre o Ensino Médio e o Superior, pois as avaliações 
institucionais, que na pesquisa são utilizadas para estudar a conformidade entre o 
que se propõe e o que se espera como conhecimento pelo menos mobilizável dos 
estudantes, auxiliam na identificação do que realmente pode ser considerado como 
conhecimento prévio de apoio à introdução da matriz de uma transformação linear 
no Ensino Superior. 
Observa-se aqui que as macroavaliações são uma forma de considerar as 
dificuldades encontradas pelos estudantes no processo de ensino e aprendizagem 
da Álgebra Linear, pois, muitas vezes, eles se submetem a decorar os teoremas, os 
procedimentos e os métodos desenvolvidos na disciplina, para obter êxito nas 
avaliações, mas não são capazes de descrever, explicar, justificar e controlar o 
trabalho realizado, o que se torna evidente quando os estudantes são confrontados 
com tarefas em que precisam buscar, entre seus conhecimentos, aquele que permite 
solucionar a questão. 
Considerando o trabalho de Oliveira (2005, p. 12), que afirma haver “[...] grandes 
dificuldades apresentadas pelos alunos na aprendizagem das noções elementares 
da Álgebra Linear”, colocam-se as seguintes questões: Quais são estas noções 
elementares? É possível desenvolver um rol de tarefas que possibilitem aos 
33 
 
 
estudantes ao menos articular as noções básicas como ferramentas explícitas para 
desenvolver tarefas da Álgebra Linear? 
A partir deste questionamento inicial, considera-se, nesta pesquisa, que o 
trabalho introduzido no Ensino Médio sobre as noções de matrizes, suas operações 
e propriedades, pode favorecer o processo de ensino e aprendizagem na disciplina 
de Álgebra Linear; ou seja, pode oferecer meios que possibilitem aos estudantes 
utilizar os conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio como prévios, pelo menos 
mobilizáveis, na introdução de novos conhecimentos no Ensino Superior, pois tais 
conhecimentos prévios servem de subsunçores2, quando interagem com novos 
conhecimentos, como afirma Moreira (2005). 
Isso conduziu ao seguinte questionamento: 
1º) É possível construir um rol de tarefas sobre as noções matriciais, suas 
operações e propriedades, para que o estudante possa mobilizar os 
conhecimentos adquiridos no Ensino Médio, utilizando-os como conhecimentos 
prévios, funcionando como ferramentas explícitas, quando da introdução de novos 
conceitos associados à disciplina de Álgebra Linear? 
2º) A análise de tarefas por meio de uma grade de análise pode facilitar esse 
trabalho e provocar a reflexão? 
Esses dois questionamentos são importantes, pois as avaliações institucionais 
têm mostrado uma defasagem entre os conhecimentos esperados dos estudantes 
que iniciam o Ensino Superior e o que eles são realmente capazes de mobilizar. 
Dessa forma, nesta pesquisa procura-se compreender que conhecimentos 
associados à noção de matriz, suas operações e propriedades, podem ser 
considerados como pelo menos mobilizáveis, quando se introduzem os conceitos e 
as propriedades associados à Álgebra Linear, em particular, na introdução da noção 
de matriz de uma transformação linear que está associada à composta por duas 
transformações lineares. 
                                                            
2 “Os conhecimentos relevantes da estrutura cognitiva que servem de ancoradouro para a nova 
informação são denominados subsunçores” (MOREIRA, 2005, p.7). 
34 
 
 
Sendo assim, com relação aos questionamentos acima, esta pesquisa está 
subsidiada pelo questionamento mais específico, considerado em função da noção 
escolhida para ser nela desenvolvida: 
i) A noção de matriz, suas operações e propriedades são propostas para serem 
trabalhadas com os estudantes do Ensino Médio? 
ii) Que nível de conhecimento é esperado dos estudantes para o trabalho com 
essas noções? 
iii) Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o 
desenvolvimento dessas noções no Ensino Médio? 
iv) Os estudantes do Ensino Médio são ao menos capazes de mobilizar os 
conhecimentos de matrizes, suas operações e propriedades, quando terminam o 
Ensino Médio? Isto é, que relações pessoais eles desenvolvem em função das 
relações institucionais esperadas e existentes? 
v) É possível determinar um sistema de tarefas e práticas utilizadas no Ensino 
Médio que possam servir de apoio para o trabalho
em Álgebra Linear no Ensino 
Superior, em particular, quando se trata do objeto matemático: transformações 
lineares e o espaço das matrizes? 
Dessa forma, nesta pesquisa, analisam-se as deficiências relativas ao ensino da 
matemática na transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior, no que se refere 
às noções de matrizes, suas operações e propriedades e a sua relação com as 
possíveis dificuldades encontradas pelos estudantes do Ensino Superior, em função 
das organizações matemáticas e didáticas propostas. 
A seguir, descreve-se o objetivo da pesquisa. 
1.3 Objetivo da Pesquisa 
O objetivo desta pesquisa é identificar, por meio de uma análise documental, as 
propostas para as diferentes relações institucionais esperadas e existentes para o 
tratamento das noções de matrizes, suas operações e propriedades; descrever 
algumas tarefas identificadas para a introdução dessa noção no Ensino Médio; e, 
35 
 
 
por meio do mesmo estudo, em relação ao trabalho a ser realizado na disciplina de 
Álgebra Linear no Ensino Superior, verificar a possibilidade de utilizar, como 
subsunçores para o desenvolvimento dessa disciplina, o que se supõe como 
conhecimento prévio pelo menos mobilizável pelos estudantes do primeiro ano do 
curso de Licenciatura em Matemática. 
Observa-se que a representação da transformação linear por uma matriz permite 
estudar as operações com essas transformações por meio das operações de 
matrizes, o que, muitas vezes, facilita o cálculo, como é o caso da transformação 
composta que, quando definida por meio das matrizes das transformações que a 
compõem, exige apenas que o estudante mobilize seus conhecimentos sobre a 
multiplicação de matrizes e suas propriedades. Isso mostra a importância das 
matrizes das transformações lineares e da utilização da ferramenta matriz, suas 
operações e propriedades. Esse trabalho, certamente, pode ser desenvolvido com o 
apoio dos conhecimentos que se supõem trabalhados no Ensino Médio. 
Apresentado o objetivo da pesquisa, passa-se à metodologia utilizada para 
executá-la. 
1.4 Metodologia da Pesquisa 
Escolheu-se desenvolver neste estudo uma pesquisa documental para identificar 
as relações institucionais esperadas e existentes para o processo de ensino e 
aprendizagem das noções de matriz, suas operações e propriedades na transição 
entre Ensino Médio e o Superior e verificar as regularidades e as diferenças 
existentes entre as relações pessoais que se espera que os estudantes 
desenvolvam e o que lhes é proposto. 
Para isso, utilizam-se os documentos oficiais para o Ensino Médio: Diretrizes 
Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 1998), Parâmetros Curriculares 
Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2000, 2002), Orientações Curriculares para 
o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo 
(SÃO PAULO, 2008); e para o Ensino Superior: Diretrizes Curriculares Nacionais 
para os Cursos de Matemática (BRASIL, 2001), Lei 1302, aprovada em 06 de 
novembro de 2001, além dos planos de ensino da disciplina de Álgebra Linear das 
36 
 
 
universidades: Universidade Presbiteriana Mackenzie, Universidade Bandeirante do 
Brasil, Universidade Federal de São Carlos e Universidade de São Paulo. Esses 
documentos permitem a análise das relações institucionais esperadas. 
As relações institucionais existentes são analisadas por meio de livros didáticos 
indicados no Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM – 
2009), dos quais foram escolhidos para análise: A Matemática do Ensino Médio, de 
Elon Lages Lima et al. (2006); Matemática, de Luiz Roberto Dante (2005b); e o 
Caderno do Estudante, da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO 
PAULO, 2008 – 2009). Para o Ensino Superior, as obras selecionadas são: Álgebra 
linear e aplicações, de Callioli, C. A. et al. (1983) e Álgebra linear contemporânea, de 
Anton, H. et al., tradução de Claus Ivo Doering (2006). 
Para as relações pessoais esperadas dos estudantes foram consideradas as 
seguintes macroavaliações para o Ensino Médio: Avaliação do Rendimento Escolar 
do Estado de São Paulo – SARESP, Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM, 
exame da Fundação Universitária para o Vestibular – FUVEST. Para o Ensino 
Superior, escolheu-se o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. 
O estudo foi desenvolvido em sete fases: 
1. Estudo dos trabalhos de pesquisa existentes, no contexto brasileiro, francês e 
outros, sobre a problemática em questão, ou seja, a transição entre o Ensino 
Médio e o Superior. 
2. Escolha e estudo do referencial teórico adotado como ferramenta de análise 
para a pesquisa. 
3. Análise das relações institucionais esperadas de professores e estudantes do 
Ensino Médio e Superior, para a introdução da noção de matriz, suas operações e 
propriedades, via documentos oficiais descritos acima. 
4. Construção de uma grade de análise, inspirada na grade de Dias (1998), para 
análise das relações institucionais existentes. A grade de análise é um 
instrumento para identificar tanto as relações institucionais esperadas e existentes 
como as expectativas em termos de conhecimentos prévios esperados dos 
estudantes que iniciam o curso superior, ou seja, o que se supõe tenha sido 
trabalhado no Ensino Médio e pode servir de base aos professores do Ensino 
Superior que, em geral, desconhecem as novas propostas do Ensino Médio e têm 
37 
 
 
dificuldade em identificar os conhecimentos em que se devem apoiar, quando 
constroem seus planos de ensino. 
5. Análise das relações institucionais existentes, por meio da grade de análise 
construída com esse objetivo, via livros didáticos indicados acima. 
6. Análise das relações pessoais esperadas dos estudantes via 
macroavaliações, apresentadas anteriormente. 
7. Análise comparativa dos resultados encontrados. 
Apresentados o contexto, a problemática, o objetivo e a metodologia da pesquisa, 
considerar-se-á, no capítulo que segue o referencial teórico escolhido para 
desenvolver as análises propostas. 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 2 
REFERENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA 
 
2.1 Considerações iniciais sobre o capítulo 
Este trabalho tem por objetivo analisar as relações institucionais esperadas e 
existentes no processo de ensino e aprendizagem da noção de matriz, suas 
operações e propriedades que, em geral, são introduzidas no Ensino Médio e 
revisitadas no Ensino Superior. 
Essa análise é executada por meio do estudo das propostas institucionais e de 
livros didáticos que servem de material de apoio para professores e estudantes do 
Ensino Médio e do Superior e das avaliações institucionais que permitem identificar 
as relações pessoais esperadas dos estudantes, comparar as expectativas 
institucionais com as pessoais e verificar se são coerentes. 
Tenta-se compreender como o objeto matriz é introduzido no Ensino Médio e 
quais conhecimentos podem auxiliar na introdução das noções dos conteúdos 
desenvolvidos na disciplina Álgebra Linear no Ensino Superior. 
Para isso, escolhem-se algumas ferramentas de análise didática como referencial 
teórico para efetuar os estudos propostos. Inicia-se pela noção de quadro e 
mudança de quadro, conforme definição de Douady (1984, 1992), que é considerada 
central nesta pesquisa, pois nela trabalha-se a noção de matriz como objeto 
matemático, estudando suas propriedades e teoremas; ou seja, ela é considerada 
no que denominamos quadro das matrizes. É importante lembrar que as matrizes 
podem ser utilizadas apenas como ferramentas para a resolução de problemas de 
outros quadros, como, por exemplo, quando elas são usadas para resolver tarefas 
que