CIII_Aula 4_testesconvergência

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Aula 4 
Testes de convergência – 
Parte 1 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
Na última aula... 
 
 
2 
• Encontramos a soma de uma série através do 
cálculo do limite de uma forma fechada da n-
ésima soma parcial. 
• MAS... Nem sempre os termos podem ser 
anulados e a forma fechada nem sempre pode 
ser encontrada... 
• Precisamos de alternativas!!!! Idéia: 
 
 
1) Verificar se a série 
converge 
2) Aproximar a soma por 
soma parcial 
 
Aula de hoje: 
 
• Testes de convergência!!!!! 
Teste da divergência. 
 Teste da integral. 
3 
Teste da divergência 
Dado o k-ésimo termo em uma série infinita 
(chamado de termo geral da série), temos: 
TEOREMA: (O teste da Divergência) 
 
 a) Se , então a série diverge.* 
 
b) Se , então a série pode convergir 
ou divergir. 
 *Demonstração na lousa. 
4 
lim 0k
k
u

 k
u
lim 0k
k
u


ku
 
Exemplo 1*: 
Verifique se a série 
 
 
 
 é convergente ou divergente. 
 
 *lousa 
 
 OBS: Se esse fosse o termo geral de uma sequência, ao 
invés de uma série, ela seria convergente ou divergente?? 
 
 
1
1 2 3
... ...
1 2 3 4 1k
k k
k k


     
 

5 
Propriedades algébricas das séries 
infinitas: 
Teorema: 
a) Se e são séries convergentes, então a 
soma ou a subtração dessas séries tambem 
são convergentes e podem ser escritas por: 
6 
ku kv
1 1 1
1 1 1
( )
( )
k k k k
k k k
k k k k
k k k
u v u v
u v u v
  
  
  
  
  
  
  
  
 
b) Se c é uma constante não nula, então ambas 
as séries e convergem ou divergem. 
No caso da convergência, a soma está 
relacionada por 
7 
ku kcu
1 1
k k
k k
cu c u
 
 
 
c) A convergência ou a divergência não é 
afetada pela retirada de um número finito de 
termos da série. Em particular, para qualquer 
número inteiro positivo K, as séries abaixo 
ambas convergem ou divergem: 
8 
1 2 3
1
1 3
...
...
k
k
k K K K
k K
u u u u
u u u u



 

   
   


Exemplo 2* 
Ache a soma da série: 
 
 
 
 
 
*lousa 
9 
1
1
3 2
4 5k kk



 
 
 

Resumindo... 
• Testes para convergência: 
Teste da divergência; 
Propriedades algébricas 
 
• Próxima aula: 
Teste da integral 
Série de Taylor 
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