Lista 3 - Módulo 1 - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 Lista 3 1.o/2013
1) Considere a sequeˆncia (an) definida por a1 = 1 e an+1 = 4−
1
an
.
a) Calcule os treˆs primeiros termos da sequeˆncia, e verifique que a1 < a2 < a3.
b) Use induc¸a˜o para mostrar que (an) e´ uma sequeˆncia crescente.
c) Usando o item anterior e o valor de a1, mostre que (an) e´ limitada superiormente.
d) Conclua que (an) e (an+1) sa˜o convergentes, e convergem para o mesmo limite.
e) Use o item anterior e a definic¸a˜o da sequeˆncia para determinar o valor do limn→∞ an.
2) Considere (an) uma sequeˆncia limitada, digamos,
α ≤ an ≤ β, e sejam
An = {aj ; j ≥ n} e yn = supAn .
a) Verifique que (yn) e´ uma sequeˆncia mono´tona.
b) Verifique que existe limn→∞ yn = L. Weierstrass
(1815-1897)
Bolzano
(1781-1848)
c) Mostre que, dado ǫ > 0, existe um nu´mero finito de ı´ndices n tais que an > L+ ǫ.
d) Mostre que, dado ǫ > 0, existe um nu´mero infinito de ı´ndices n tais que an > L− ǫ.
e) Use os itens anteriores para mostrar que L e´ ponto de acumulac¸a˜o de (an).
3) Considere uma sequeˆncia (an) tal que a1 ≥ a2 ≥ a3 . . . e an → 0. Nesse caso, a se´rie
alternada
∑
∞
n=1(−1)
n+1an e´ convergente! Para mostrar esse fato, observe que as reduzidas de
ordem par podem ser escritas tanto na forma s2n = (a1−a2)+ (a3−a4)+ · · ·+(a2n−1−a2n)
como na forma s2n = a1 − (a2 − a3) − . . . (a2n−2 − a2n−1) − a2n. Analogamente para as
reduzidas de ordem impar, onde se tem ainda que s2n+1 = s2n + a2n+1.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que (s2n) e´ uma sequeˆncia na˜o-decrescente.
b) Obtenha nu´meros a e b tais que a ≤ s2n ≤ b, e conclua que existe s = lim s2n.
c) Justifique a afirmac¸a˜o de que (s2n+1) e´ uma sequeˆncia na˜o-crescente.
d) Verifique que (s2n+1) e´ limitada inferiormente, e conclua que existe i = lim s2n+1.
e) Finalmente, verifique que s = i para concluir que a se´rie altenada e´ convergente.
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4) Dada uma sequeˆncia (an), seja (bn) a sequeˆncia definida por bn =
∑n
j=1 |aj+1 − aj |.
a) Verifique que, se (bn) e´ limitada, enta˜o (bn) e´ convergente.
b) Use o crite´rio de Cauchy para mostrar que, se (bn) e´
limitada, enta˜o (an) e´ convergente.
c) Verifique se (bn) e´ limitada para a sequeˆncia an =
1
n
.
d) Verifique se (bn) e´ limitada para a sequeˆncia an =
2n
n!
.
e) Verifique se (bn) e´ limitada para a sequeˆncia an =
−(−1)n
n
. Augustin-Louis Cauchy
(1789-1857)
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