ALA Espaços Vetoriais

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Milene Pimenta 
Observação: 
Os elementos do espaço vetorial V são 
chamados vetores. 
Exemplos de Espaços Vetoriais 
Propriedades da Adição 
Propriedades da Multiplicação por 
um escalar 
Propriedades dos Espaços Vetoriais 
Subespaços Vetoriais 
Sejam V um espaço vetorial e S um 
subconjunto não-vazio de V. 
 
 
S é um subespaço vetorial de V se S 
é um espaço vetorial em relação à 
adição e à multiplicação por escalar 
definidas em V. 
Teorema: Um subconjunto S não 
vazio, de um espaço vetorial V é um 
subespaço vetorial de V se estiverem 
satisfeitas as condições. 
Demonstração: 
Observação: 
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Exemplo 3: 
Combinação Linear 
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Soma de dois Subespaços Vetoriais 
Exemplo: 
Soma direta de dois Subespaços Vetoriais 
Exemplo: 
Interseção de dois Subespaços Vetoriais 
Exemplo: 
Subespaços Gerados 
Exemplos: 
Dependência e independência linear 
 Definição: Seja V um espaço vetorial. 
 Os vetores v1, v2, . . ., vm, Î V dizem-se 
linearmente dependentes, se existem 
escalares α1, α2, ... , αm Î ℝ, não 
simultaneamente nulos, tais que α1v1 + 
α2v2 + ... + αmvm = 0. 
 Caso contrário, se diz que os vetores são 
linearmente independentes . 
Base e dimensão: 
Definição: Um conjunto S = {u1, u2, ..., um} de 
vetores é uma base de V, se valem as 
seguintes condições: 
 
i) Os vetores u1, u2, ... , um são linearmente 
independentes. 
ii) O vetores u1, u2, ... , um geram V. 
Definição: Um conjunto B = {u1, u2, ... , un} 
de vetores é uma base de V, 
 se todo vetor v ∈ V pode se escrever de 
maneira única como combinação linear 
dos vetores da base. Neste caso, 
dizemos que o espaço vetorial V tem 
dimensão finita n, ou que é n-
dimensional e se escreve dim V = n. 
Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão 
finita. Então, toda base de V tem o mesmo 
número de elementos. 
 
Por definição, o espaço vetorial {0} tem dimensão 0. 
 
Quando um espaço vetorial não tem dimensão finita 
dizemos que este espaço é de dimensão infinita. 
Exemplos: 
•{( 1,0), (0,1)} é uma base do R2 ( base canônica) 
•{( 1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base do R3 ( base canônica) 
•{( 1,1,1), (1,0,1), (1,1,0 )} é uma base do R3 
•{( 1,0), (0,1), (1,1)} não é uma base do R2 . O conj unto ger a 
o R2 , mas não é L.I. 
Teorema: Sej am v1, v2, . . .vn vetor es não nul os que ger am 
um espaço vetor ial V. Então, entr e v1, v2, . . .vn podemos 
extr air uma base par a V. 
 
Teorema: Sej a V espaço vetor ial sobr e R e V = [v 1, v2, 
. . . .vn ]. Então qual quer subconj unto de V com mais de n 
vetor es é necessar iamente L.D. 
Exempl os : 
•Tr ês vetor es no pl ano ( R2) são sempr e L.D. 
•Quatr o vetor es no espaço ( R3) são sempr e 
L.D. 
Observação : O Teor ema anter ior é equival ente a “Um espaço 
vetor ial ger ado por n vetor es tem no máximo n vetor es L.I.” e tem 
como conseqüência que 
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo 
número de vetores. Este númer o é chamado de dimensão de V 
e denotado por dim V. 
Definição. 
Diz -se que uma base b = {v 1, v 2, . . . , vn} de um 
espaço vetor ial eucl idiano V é base ortonormal 
 
se vi . vj = , 
 
 
isto é, b é uma base or togonal com vetor es unitár ios. 
 
Base Ortonormal 
 
Componentes de um Vetor 
 
Teor ema. 
Fixada uma base b = {v 1, v 2, . . , vn} de um espaço 
vetor ial V, cada vetor v Î V se escr eve de for ma única 
como combinação l inear dos vetor es da base b , isto é, 
existem e são únicos os escal ar es 
 a1, a2, . . . , an, tal que 
v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn 
Definição. 
Os escal ar es a1, a2, . . , an, que compar ecem no 
teor ema anter ior , são chamados coordenadas de v em 
relaç ão à base b . Usamos, como expr essão dessa 
idéia, a notação 
 
 
 
que é l ida do seguinte modo: as coor denadas do vetor 
v, em r el ação a base b, são a1, a2, . . . e an.