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UTFPR - Universidade Tecnolo´gica Federal do Parna´
Pato Branco
Engenharias
Lista de Exerc´ıcios
Eatabilidade de sistemas de equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira Ordem
Determine os pontos cr´ıticos do sistemas autoˆnomos planos:
1)
{
x′ = x+ xy,
y′ = −y − xy, 2)
{
x′ = y2 − x,
y′ = x2 − y,
3)
{
x′ = 3x2 − 4y,
y′ = −y + x, 4)
{
x′ = x2ey,
y′ = y(ey − 1),
Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema e determine se ha´ soluc¸a˜o perio´dica ou em arco.
1)
{
x′ = x+ 2y, com, X(0)=(2,-2)
y′ = 4x+ 3y,
2)
{
x′ = 4x− 5y, com, X(0)=(4,5)
y′ = 5x− 4y,
3)
{
x′ = 5x+ y, com, X(0)=(-1,2)
y′ = −2x+ 3y,
Dada a Matriz A dos coeficientes, determine a soluc¸a˜o geral do sistema X ′ = AX e discuta em
cada caso a natureza da soluc¸a˜o em uma vizinhanc¸a de (0, 0).
1)A =
( −2 −2
−2 −5
)
2)A =
(
1 −1
1 1
)
3)A =
( −6 5
−5 4
)
4)A =
(
2 −1
3 −2
)
Classifique o ponto cr´ıtico (0, 0) do sistema linear dado, calculando os autovalores.
1)
{
x′ = −5x+ 3y,
y′ = 2x+ 7y,
2)
{
x′ = −5x+ 3y,
y′ = −2x+ 5y, 3)
{
x′ = −3
2
x+ 1
4
y,
y′ = −x− 1
2
y,
4)
{
x′ = 0, 02x− 0, 11y,
y′ = 0, 10x− 0, 05y,