Exercicio resolvido de Algebra II

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Exercícios de Álgebra II
Curso: Matemática-Licenciatura
Questão 1:
a) Mostre que se D0 é subdomínio de D, então D e D0 possuem
unidade, e unidade de D0 = 1D0 = 1D = unidade de D.
Resolução: Pela de…nição de unidade 1 e 1
0
são diferentes de 0 e como
12 = 1 e 1
02 = 1
0
, a a…rmação segue imediatamente da proposição:
As únicas soluções da equação x2 = x em um domínio de integridade
são 0 e 1: PortantoD eD0 possuem unidade e unidade deD0 = 1D0 =
1D = D:
b) Dê um exemplo de um anel A e um subanel A0 de A, tal que
1A 6= 1A0 .
Resolução: Seja A = Mat2(R) e seja A0 =
��
a 0
0 0
�
: a � R
�
.
Claramente, A0 é um subanel de A. Vamos mostrar agora que, 1 =�
1 0
0 1
�
é a unidade de A = Mat2(R) enquanto 10 =
�
1 0
0 0
�
é a
unidade de A0. (Observe que 1 =2 B). De fato,�
a b
c d
�
:
�
1 0
0 1
�
=
�
1 0
0 1
�
:
�
a b
c d
�
=
�
a b
c d
�
para todo
a; b; c; d � R e
�
a 0
0 0
�
:
�
1 0
0 0
�
=
�
1 0
0 0
�
:
�
a 0
0 0
�
=
�
a 0
0 0
�
para a � R.
c) Seja f : A! B homomor…smo de anéis (B é o contradomínio de
f). Mostre que a unidade de B (1B) não é necessariamente igual a
unidade de Im f (1Im f ) :
Questão 2: Se K é um corpo onde car(K) = p, então dado a; b � K,
mostre que (a+ b)p = ap + bp.
Resolução: Vejamos que: (a + b)p =
Pp
i=0
�
p
i
�
aibp�i = ap + bp +Pp�1
i=1
�
p
i
�
aibp�i:
1
Temos que p=
�
p
i
�
= p!(p�1)!(p�i)!i! , para todo i � f1; :::; p� 1g. Como
�
p
i
�
=
pyi , segue que (a+ b)p =
Pp
i=0
�
p
i
�
aibp�i = ap + bp +
Pp�1
i=1
�
p
i
�
aibp�i = ap+bp+
P
p(yi:a
ibp�i) = ap+bp:Onde
P
p(yi:a
ibp�i) = 0,
pois car(K) = p: Portanto (a+ b)p = ap + bp.
Questão 3: Seja A um anel e L um subanel de A. Mostre que
car(L) � car(A): Dê um exemplo de um anel A e um subanel L de
A para os quais car(L) < car(A):
Resolução: A…rmação 1: Se ma = 0; 8 a � A então car(A)=m: Com
efeito, denotemos car(A) = n. Assim pelo algoritmo da divisão
existem q; r � Z tais que m = nq + r onde 0 � r < n. Assim, 8 a �
A temos: ma = (nq + r)a ) ma = (nq)a+ ra) 0 = (qn)a+ ra)
0 = q(na) + ra ) 0 = q:0 + ra ) ra = 0 8 a � A:Como ra = 0 8 a
� A e 0 � r < n onde n = car(A) segue que r = 0 ou seja m = nq.
Daí n=m ou seja car(A)=m. Seja car(A) = n, assim por de…nição
na = 0 8 a � A: Em particular na = 0 8 a � L. Como na = 0 8 a
� L, pela a…rmação 1 temos que car(L)=n, ou seja car(L)=car(A):
Logo car(L) � car(A):
Exemplo: Seja (Z4;�;�): Temos que car(Z4) = 4. Tome L =�
0; 2
	
; notemos que L é um subanel de (Z4;+;�). Vejamos que
2:0 = 2:0 = 0 e 2:2 = 2:2 = 0: Assim car(L)=2 ) car(L) = 1 ou
car(L) = 2. Como 1:2 = 2 6= 0 segue que car(L) = 2: Portanto
car(L) < car(A):
Questão 4: Sejam A um anel comutativo e I; J ideais em A.
a) Mostre que IJ � I \ J: Em particular, mostre que se I + J = A
então IJ = I \ J .
Resolução: Tome a � IJ qualquer. Assim 3 xi � J e yi � J tais que
a = x1 y1 + x2y2 + ::: + xnyn: Como xi � I (ideal de A) e yi � A,
segue que xiyi � I. (1 � i � n): Logo x1 y1 + x2y2 + ::: + xnyn � I
ou seja a � I: Analogamente como yi � J e xi � A segue que xi yi
� J . Logo x1 y1 + x2y2 + ::: + xnyn � J , ou seja a � J . Portanto
concluímos que a � I \ J . Como a � IJ é arbitrário segue que IJ �
I \ J .
b) Mostre que I [ J é um ideal em A se, e somente se, I � J ou J
� I.
2
Resolução: Suponha que I [ J é um ideal de A e J I. De J I,
existe x � J tal que x =2 I. Daí x � I [ J . Por outro lado tome y � I
qualquer, deste modo y � I [ J . Como I [ J é um ideal de A, segue
que x � y � I [ J . Logo x � y � I ou x � y � J . Se x � y = a � I
) x = a+ y: Como a, y � I (ideal de A) segue que x = a+ y � I ou
seja x � I (absurdo!). Logo x� y = a � J ) y = x� a. Como x; a
� J (ideal de A) segue que x � a � J , ou seja y � J . Como y � J é
arbitrário segue que I � J .
Questão 5: Um polinômio P (x) deixa resto 4 quando dividido por
x+1 e resto 2x+3 quando dividido por x2+1. Obtenha o resto da
divisão por (x+ 1)(x2 + 1):
Resolução: Temos:
�
p = q1(x
2 + 1) + (2x+ 3)
q1 = q2(x+ 1) + r(x)
�
: Assim,
p = [q2(x+ 1) + r] (x
2 + 1) + (2x + 3) ) p = q2(x + 1)(x2 + 1) +
r(x2 + 1) + (2x + 3): Por D’Alambert, r(x) = q1(�1): Mas p(x) =
q1(x)(x
2 +1)+ (2x+3)) p(�1) = q1(�1):2+ 1) 4 = 2:q1:(�1)+
1) 2:q1(�1) = 3) q1:(�1) = 32 :
Portanto p = q2(x+1)(x2+1)+ 32x
2+2x+ 92 : Logo r(x) =
3
2x
2+2x+ 92 :
Questão 6: Mostre que Q[x]<x2�2>
�= Q �p2� :
Resolução: Seja � =
p
2 e 	 : Q [x]! R
p(x) 7!p(�)
:
	(x2 � 2) = (p2)2 � 2 = 0; logo é núcleo. Pelo Teorema 1, página
89 do livro de Adilson, temos:
i) Im(	) = Q
�p
2
�
; Q � Q �p2� � R e N(	) =< x2 � 2 >
ii) � é transcendente sobre K , N(	) = f0g ;
iii) se � é algébrico sobre K e p(x) = irr(�;K) então N(	) =
K[x]:p(x) é um ideal maximal de K[x]:
Observe que p(x) = x2�2 é irredutível em Q[x]: Assim pelo Teorema
4 página 76, segue que J = K[x]:p(x) é maximal.
Portanto temos que Q[x]<x2�2>
�= Q[
p
2]:
Questão 7: Se � = �6 + 5�3 � 1, responda se � é algébrico ou
transcendente sobre Q:
3
Resolução: Suponha � algébrico sobre Q ) [Q(�) : Q] <1:
Seja p(x) = x6 + 5x3 � 1 � � � Q(�)[x] é tal que p(�) = 0: Então
irr(�;Q(�)) � 6) [Q(�) : Q(�)] = [Q(�)(�) : Q(�)] � 6:
Assim, [Q(�) : Q] <1 e [Q(�) : Q(�)] < 6) [Q(�) : Q] <1) �
é algébrico sobre Q, Absurdo!
4