Lista de Derivadas

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UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral I CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS
ATUALIZADA EM 16 DE MAIO DE 2010
Derivadas
Definição
f ′(a) =
dy
dx
= lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
= lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a .
Derivadas Imediatas
1. (k)′ = 0, ∀ k ∈ C;
2. (xn)′ = nxn−1;
3. (ax)′ = ax · ln(a),
em particular, (ex)′ = ex ;
4. (sen(x))′ = cos(x);
5. (cos(x))′ = − sen(x);
6. (tg(x))′ = sec2 x ;
7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ;
8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x);
9. (cossec(x))′ = − cotg(x) · cossec(x);
10. (loga x)′ =
1
x · ln(a) , ∀x ∈ R
∗
+, 0 < a 6= 1,
em particular, (ln x)′ = 1
x
;
11. (arcsen x)′ = 1√
1− x2 ;.
12. (arccos(x))′ = −1√
1− x2 ;
13. (arctg(x))′ = 1
1 + x2
;
Regras da derivação
1. d
dx
(f ± g) = d
dx
f ± d
dx
g ;
2. d
dx
(f · g) = g · d
dx
f + f · d
dx
g ;
3. d
dx

f
g
‹
=
g
d
dx
f − f d
dx
g
g 2
.
Equações das Retas Tangente e Normal
1. Da reta TANGENTE: y − f (a) = f ′(a)(x − a);
2. Da reta NORMAL: y − f (a) = −1
f ′(a)
(x − a).
1. Usando a definição, determinar f ′(x), sendo:
(a) f (x) = x − 2
x + 3
(b) f (x) = 3√x
2. Usando a definição, determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indica-
dos. Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) f (x) = x2 − 1; x = 1, x = 0.
(b) f (x) = x2 − 3x + 6; x = −1, x = 2.
(c) f (x) = 1
x
; x =
1
3
, x = 3.
(d) f (x) = 2√x ; x = 0, x = 3, x = a, a > 0.
3. Usando a definição, determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 − x2, que seja paralela à
reta y = 1− x .
4. Usando a definição, encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x2 − 2x + 1 no
ponto (−2, 9).
5. Usando a definição, encontrar a equação da reta tangente e normal à curva y = x3 − 1 que seja
perpendicular à reta y = −x .
6. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
(a) f (x) = 1− 4x2
(c) f (x) = 1√
2x − 1
(b) f (x) = 1− x
x + 3
(d) f (x) = 3√x + 3
7. Dada a função f (x) =
(
x − 1, se x ≥ 0
x , se x < 0
, verificar se existe f ′(0). Esboçar o gráfico.
8. Dada a função f (x) = 2x2 − 3x − 2, determinar os intervalos em que:
(a) f ′(x) > 0 (b) f ′(x) < 0
9. Usando as regras de derivação, encontrar a derivada das funções dadas:
(a) f (x) = 2
3
(5x − 3)−1(5x + 3)
(c) f (t) = 3t
2 + 5t − 1
t − 1
(e) f (t) = (t − a)
2
t − b
(b) f (u) = (4u2 − a)(a − 2u)
(d) f (x) = x + 1
x + 2
(3x2 + 6x)
(f) f (x) = 1
2
x4 +
2
x6
10. Dadas as funções f (x) = x2+Ax e g(x) = Bx , determinar A e B de tal forma que
(
f ′(x) + g ′(x) = 1 + 2x
f (x)− g(x) = x2.
11. Encontrar a equação da reta tangente à curva y = 2x + 1
3x − 4 no ponto de abscissa x = −1.
12. Encontrar a equação da reta normal à curva y = (3x2 − 4x)2 no ponto de abscissa x = 2.
13. Seja y = ax2 + bx . Encontrar os valores de a e b sabendo que a tangente à curva no ponto (1, 5) tem
inclinação m = 8.
14. Nos exercícios abaixo, calcular a derivada:
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2
(a) f (x) = 2x√
3x − 1
(c) f (t) = et/2(t2 + 5t)
(e) f (x) = 1
2
ln

1 + x
1− x
‹
(g) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1)
(i) f (θ) = sen2 θ + cos2 θ
(k) f (x) = sen(x + 1)
ex
(m) f (x) = arcsen(x/2)
x + 1
(b) f (x) = 2e3x2+6x+7
(d) f (t) =
√
et − 1√
et + 1
(f) f (u) = cos(π/2− u)
(h) f (θ) = 1 + cos(2θ)
2
(j) f (x) = 3 sec
2 x
x
(l) f (t) = t arccos(3t)
(n) f (x) = arctg

1
1− x2
‹
15. Encontrar f ′(x), sendo:
f (x) =
(
2x − 1, se x ≤ 1
1 + 1
1−x
, se x > 1.
16. Calcular f ′(0), se f (x) = e−x cos(3x).
17. Calcular f ′(1), se f (x) = ln(1 + x) + arcsen(x/2).
18. Mostrar que a função y = xe−x satisfaz a equação xy ′ = (1− x)y .
19. Mostrar que a função y = 1
1 + x + ln x
satisfaz a equação xy ′ = y(y ln x − 1).
20. Obtenha a regra do produto para (uv)′ derivando a fórmula
ln(uv) = ln u + ln v .
21. Provar que:
(a) Se y = cotg x , então y ′ = −cossec2 x .
(b) Se y = sec x , então y ′ = sec x · tg x .
22. Nos exercícios abaixo, calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada:
(a) y = ax3 + bx2 + cx + d ; n = 3.
(b) y = √3− x2; n = 2.
(c) y = e2x+1; n = 3.
(d) y = 2 ln(2x); n = 2.
23. Calcular y ′ = dy
dx
das seguintes funções definidas implicitamente:
(a) x3 + x2y + y2 = 0
(c) y3 = x − y
x + y
(b) √x +√y = √a
(d) tg y = xy
24. Calcular a derivada y ′ = dy
dx
das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais
valores de t, y ′ está definida?
(a)
(
x = t2
y = t3, t ∈ (0, +∞).
(c)
(
x = 2t − 1
y = t3 + 5, t ∈ R.
(b)
8
<
:
x = cos 2t
y = sen 2t, t ∈
h
0,
π
2
i
.
(d)
8
<
:
x = cos3 t
y = sen3 t, t ∈
�
−π
2
, 0
�
.
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3
25. Determinar a equação da reta tangente à elipse
(
x = 2 cos t
y = 3 sen t, t ∈ [0, 2π] no ponto P
‚√
2,
3
√
2
2
Œ
.
26. encontrar ∆y e dy para os valores dados:
(a) y = 1
2x2
; ∆x = 0, 001 e x = 1.
(b) y = 5x2 − 6x ; ∆x = 0, 02 e x = 0.
(c) y = 2x + 1
x − 1 ; ∆x = 0, 1 e x = −1.
27. Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.
(a) √150 (b) 3√63, 5 (c) 4√13
28. Calcular a diferencial das seguintes funções:
(a) y = ln(3x2 − 4x) (b) y = x + 1
ex
(c) y = sen(5x2 + 6)
29. Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm. Se o
lado da caixa é de 2 cm, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária.
30. Use diferencial para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3 cm a
3, 1 cm.
31. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que
cada um de seus lados mede 1200m, com um erro máximo de 10m. Usando diferencial, determinar
o possível erro no cálculo da área do terreno.
32. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f (t) = 16t + t2,
0 ≤ t ≤ 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h], 0 ≤ b ≤ 8.
(b) Achar a velocidade média durante os intervalos de [3; 3, 1] e [3; 3, 01].
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
(d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
(e) Determinar a aceleração do corpo num instante t qualquer.
33. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu
movimento retilíneo é y = b
t
+ ct, onde y é o deslocamento e t é o tempo.
(a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2?
(b) Qual é a equação da aceleração?
34. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação
x = 3t2 − t3, em que x vem expresso em metros e t em segundos.
(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?
(c) Qual a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?
35. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de
decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física, use a equação y(t) = v0t − 1
2
g t2 para determinar a posição
y do corpo, onde v0 é a velocidade inicial e g ∼= 9, 8m/s2).
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4
36. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas ϕ(t) =
8
<
:
20 +
1
2
(t + 4)2, se 0 ≤ t ≤ 60
24, 4t + 604, se 0 ≤ t ≤ 90,
onde t é medido em dias.
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50?(b) Quanto a ave aumentará no 51o dia?
(c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80?
37. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial é 90.000 litros e
depois de um tempo de t horas este volume diminui 2500t2 litros, determinar:
(a) o tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
(b) a taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];
(c) a taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
38. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de
p(t) = 20− 5
t + 1
milhares.
(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
(b) Qual será, aproximadamente, a variação real sofrida durante o 18o mês?
39. Seja r a raiz cúbica de um número real x . Encontre a taxa de variação de r em relação a x quando x
for igual a 8.
40. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t − t1/2 litros no recipiente. Qual a taxa de
gotejamento de líquido no recipiente, em litros/hora, quando t = 16 horas?
41. O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento
da circunferência em relação ao tempo?
Gabarito
1.
(a) f ′(x) = 5
(x + 3)2
(b) f ′(x) = 1
3
3
√
x2
2.
(a) 2x − y − 2 = 0; y = −1
(b) 5x + y − 5 = 0; x − y + 2 = 0
(c) 9x + y − 6 = 0; x + 9y − 6 = 0
(d) x = 0; x −√3y + 3 = 0; x −√ay + a = 0
3. 4x + 4y − 5 = 0
4. 6x + y + 3 = 0; x − 6y + 56 = 0
5. 3
√
3x − 3
√
3y − 3
√
3− 2 = 0; 3
√
3x − 3
√
3y − 3
√
3 + 2 = 0
6.
(a) f ′(x) = −8x (b) f ′(x) = −4
(x + 3)2
(c) f ′(x) = −1
(2x − 1)√2x − 1
(d) f ′(x) = 1
3 3
È
(x + 2)2
7. ?
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 5
8.
(a) (3/4, +∞) (b) (−∞, 3/4)
9.
(a) f ′(x) = −20
(5x − 3)2
(b) f ′(u) = −24u + 8au + 2a
(c) f ′(t) = 3t
2 − 6t − 4
(t − 1)2
(d) f ′(x) = 6x
3 + 27x2 + 36x + 12
(x + 2)2
(e) f ′(t) = t
2 − 2bt − a2 + 2ab
(t − b)2
(f) f ′(x) = 2x3 − 12
x7
10. A = B = 1/2
11. 11x + 49y + 4 = 0
12. x + 64y − 1026 = 0
13. a = 3; b = 2
14.
(a) f ′(x) = 3x − 2
(3x − 1)√3x − 1
(c) f ′(t) = t
2 + 9t + 10
2
et/2
(e) f ′(x) = 1
1− x2
(g) f ′(θ) = −2 sen (2θ2 − 3θ + 1)(4θ − 3)
(i) f ′(θ) = 0
(k) f ′(x) = cos(x + 1)− sen(x + 1)
ex
(m) f ′(x) = 1
(x + 1)2

x + 1√
4− x2 − arcsen(x/2)
‹
(b) f ′(x) = 12(x + 1)e3x2+6x+7
(d) f ′(t) = e
t
(et + 1)
√
e2t − 1
(f) f ′(u) = sen (π/2− u)
(h) f ′(θ) = − sen (2θ)
(j) f ′(x) = 6x sec
2 (x) tg (x)− 3 sec2 (x)
x2
(l) f ′(t) = −3t√
1− 9t2 + arccos(3t)
(n) f ′(x) = 2x
x4 − 2x2 + 2
15. f ′(x) =
8
<
:
2, se x < 1
1
(1− x)2 , se x > 1.
16. −1
17. 1
2
+
1√
3
18. ?
19. ?
20. ?
21. ?
22.
(a) y ′′′ = 6a (b) y ′′ = −3
(3− x2)√3− x2 (c) y
′′′ = 8e2x+1 (d) y ′′ = −2
x2
23.
(a) y ′ = −3x
2 − 2xy
x2 + 2y
(b) y ′ = −
É
y
x
(c) y ′ = 1− y
3
3xy2 + 4y3 + 1
(d) y ′ = y
sec2(y) − x
24.
(a) dy
dx
=
3
2
t, t > 0
(c) dy
dx
=
3
2
t2, t ∈ R
(b) dy
dx
= − cotg(2t), t ∈ (0,π/2)
(d) dy
dx
= − tg(t), t ∈ (−π/2, 0)
25. 3x + 2y − 6√2 = 0
LISTA DE EXERCÍCIOS CALC 1 # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 6
26.
(a) ∆y = −0, 000998; dy = −0, 001 (b) ∆y = −0, 118; dy = −0, 12 (c) ∆y = −0, 078; dy = −0, 075
27.
(a) 12, 25 (b) 3, 9895 (c) 1, 906
28.
(a) dy = 6x − 4
3x2 − 4x dx (b) dy =
−x
ex
dx (c) dy = 10x cos(5x2 + 6) dx
29. 30.000 cm3
30. 3, 6π cm3
31. ±24.000m2
32.
(a) vm = (16 + 2b + h)m/s
(d) v(3) = 22m/s
(b) vm = 22, 1m/s; vm = 22, 01m/s
(e) a(t) = 2m/s2 (c) v(t) = 16 + 2t m/s
33.
(a) v(2) = −b
4
+ c (b) a(t) = 2b
t3
34.
(a) −16m (b) 3m/s; 0m/s; −9m/s; −24m/s (c) 0m/s2; −6m/s2; −12m/s2; −18m/s2
35. −4, 9m; −9, 8m/s e −19, 6m; −19, 6m/s
36.
(a) 54 g/d (b) 54, 4 g/d (c) 24, 4 g/d
37.
(a) 6 h (b) 17.500 ℓ/h (c) 10.000 ℓ/h
38.
(a) 0, 8 milhares de pessoas / ano (b) 0, 068 milhares de pessoas
39. 1/12
40. 4, 875 ℓ/h
41. 42π cm/s
Não dependa do amor de outras pessoas para ser feliz. Não espere ouvir um “eu te amo" para sentir-se
vivo(a), nada é mais importante do que você! E hoje, é um ótimo dia para se perceber isso. Amanhã
pode ser tarde demais.
Lista de Exercícios Calc 1 # Cálculo Diferencial e Integral I 7