A3_2013_Exerc2

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Universidade de Bras´ılia Depto de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas Prof. Nora´ı R. Rocco
Exerc´ıcios de A´lgebra 3 - 2o/2013 - 2a Lista
1. Escreva os polinoˆmios x10− 1, x11− 1, x12− 1, x13− 1 e x15− 1 como produtos de fatores
irredut´ıveis em QI[x].
2. (i) Mostre que os polinoˆmios x2 − 3 e x2 + 3 sa˜o irredut´ıvel sobre QI(√2);
(ii) Calcular o grau [QI(
√
2,
√
3) : QI]; Idem para [QI(
√
2, i
√
3) : QI];
(iii) Exibir uma base de QI(
√
2,
√
3) sobre QI;
(iv) Exibir um polinoˆmio de grau 4 sobre QI que tenha
√
2 +
√
3 como raiz; Idem para√
2 +
√−3;
(v) Calcular os graus dos elementos
√
2 +
√
3 e de
√
2 · √3 sobre QI.
3. Para cada um dos nu´meros complexos α dados abaixo, mostrar que α e´ alge´brico sobre QI
exibindo um polinoˆmio na˜o nulo f(x) ∈ QI[x] tal que f(α) = 0.
(i) 1 +
√
2 (ii)
√
3−√6 (iii) 3
√
1 +
√
2
(iv) 1 + i (v)
√
1 + 3
√
2 (vi)
√
3
√
2− i
4. Racionalizar as frac¸o˜es:
(i) 1
2+5
√
2
; (ii) 3
5−2 3√2 ;
(iii) 1
2−(√2+√3) ; (iv)
−3
1+
√
1+ 3
√
2
;
(v) 1+
3√4
2− 3√2 .
5. Encontrar o polinoˆmio mı´nimo µα(x) ∈ QI[x] para os nu´meros complexos α dados nos itens
(i), (ii) e (iii) do exerc´ıcio 3. Certifique-se de que o polinoˆmio encontrado e´ de fato irredut´ıvel
em QI[x].
6. Calcular o grau da extensa˜o QI( 3
√
2,
√−3) ⊃ QI e exibir uma QI-base desse corpo (visto
como espac¸o vetorial sobre QI).
7. (i) Mostrar que p(x) = x2 + x+ 1 e´ irredut´ıvel em ZZ2[x];
(ii) Seja α uma raiz de p(x) (em alguma extensa˜o F ⊃ ZZ2, cuja existeˆncia e´ garantida
pelo Teorema de Kronecker). Exibir os elementos de ZZ2(α) e construir as ta´buas de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o desse corpo;
(iii) Expressar p(x) como produto de fatores lineares em ZZ2(α)[x].
8. Responder os mesmos itens acima, agora considerando o polinoˆmio q(x) = x2 + 1 e o corpo
ZZ3.
9. (i) Mostrar que f(x) = x3 + 2x2 + 2x+ 2 e´ irredut´ıvel em ZZ3[x] (aqui ZZ3 = {0, 1, 2});
(ii) Seja α uma raiz de f(x). Exibir os 27 elementos de ZZ3(α) na forma a0 + a1α + a2α
2,
com a0, a1, a2 ∈ ZZ3 e identificar o produto (1 + α+ 2α)(2 + 2α2) entre esses elementos;
(iii) expressar α5, α−2 e α100 na forma acima.
10. Seja f(x) = x5 + 2x2 + 2x+ 2 ∈ ZZ3[x]. Encontrar:
(i) Uma extensa˜o de grau 2, E ⊃ ZZ3 na qual f(x) tem uma raiz.
(ii) Uma extensa˜o de grau 3, K ⊃ ZZ3 na qual f(x) tem uma raiz.
Sugesta˜o: Escreva f(x) como produto de irredut´ıveis em ZZ3[x].
11. Sejam E uma extensa˜o de ZZ2 e α ∈ E um elemento alge´brico de grau 3. Classificar os
grupos (ZZ(α),+) e (ZZ(α)∗, ·) de acordo com o Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos
Finitos (note que ZZ(α)∗ indica o conjunto dos elementos na˜o nulos de ZZ(α)).
12. Mostrar que o polinoˆmio f(x) = 2x + 1 ∈ ZZ4[x] na˜o tem raiz em nenhum anel A que
contenha ZZ4 como subanel. Generalizar esse exemplo para o anel ZZn, n um inteiro composto.
13. Mostrar que cos(2pi/5) satisfaz a equac¸a˜o 4x2 − 2x − 1 = 0; use isto para construir um
penta´gono regular com re´gua e compasso.
14. Seja F um corpo finito de caracter´ıstica p. Provar que σp : F → F, x 7→ xp, ∀x ∈ F, e´ um
automorfismo de F (este e´ o chamado automorfismo de Frobenius de F ).
15. Definic¸a˜o: Um corpo F e´ dito ser perfeito se F tem caracter´ıstica zero ou se F tem
caracter´ıstica p e F p := {ap | a ∈ F} = F .
Provar que se f(x) e´ um polinoˆmio irredut´ıvel sobre um corpo perfeito F , enta˜o f(x) na˜o
tem raiz mu´ltipla.
16. (i) Mostrar que x21 + 2x8 + 1 ∈ ZZ3[x] na˜o tem zero mu´ltiplo em qualquer extensa˜o do
corpo ZZ3.
(ii) Mostrar que x21 + 2x9 + 1 ∈ ZZ3[x] tem ra´ızes mu´ltiplas em alguma extensa˜o de ZZ3.
(iii) Seja F um corpo de caracter´ıstica p 6= 0. Mostrar que xpn−x ∈ F tem ra´ızes distintas.
17. Encontrar os corpos de decomposic¸a˜o dos seguintes polinoˆmios sobre QI:
(i) (x2 − 3)(x3 + 1) (ii) t2 − 2t− 2)(t2 + 1) (iii) x5 − 7
(iv) x2 + x + 1 (v) x2 + x + 1 (v) x3 + 3x2 + 3x− 4.
18. Seja f(x) = x2 + ax+ b ∈ CI[x].
(i) Mostrar que f(x) e´ um produto de fatores lineares em CI;
(ii) Calcular os zeros de f(x) em CI;
(iii) Seja F := QI(a, b). Mostrar que o corpo de decomposic¸a˜o de f(x) sobre F e´ F (
√
∆), onde
∆ = a2 − 4b e √∆ indica uma das ra´ızes de ∆ em CI.
19. Seja f(x) = x3 + ax2 + bx + c ∈ QI[x]. Mostrar que o corpo de decomposic¸a˜o de f(x)
sobre QI e´ de grau 1, 2, 3 ou 6 sobre QI.
20. Encontar o corpo de decomposic¸a˜o para f(x) = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2) sobre ZZ3[x].
Escrever f(x) como produto de fatores lineares.
21. Seja F,K e L corpos tais que L ⊃ K ⊃ F. Mostrar que se L e´ o corpo de decomposic¸a˜o de
f(x) sobre F , enta˜o L e´ o corpo de decomposic¸a˜o de f(x) sobre K.
22. Sejam F um corpo de caracter´ıstica p e f(x) = xp − a ∈ F [x]. Mostrar que, ou f(x) e´
irredut´ıvel sobre F , ou f(x) se decompo˜e linearmente em F [x].
23. Provar que QI(
√
2, 3
√
2, 4
√
2, . . .) e´ uma extensa˜o alge´brica de QI mas na˜o e´ uma extensa˜o
finita de QI.
24. Sejam E uma extensa˜o de F e a, b ∈ E. Se a e´ alge´brico de grau m sobre F e b e´ alge´brico
de grau n sobre F , onde m e n sa˜o relativamente primos, enta˜o [f(a, b) : F ] = mn.
25. Sejam K ⊃ E1, E2 ⊃ F . Mostrar que se [E1 : F ] e [E2 : F ] sa˜o ambos primos, enta˜o
E1 = E2 ou E1 ∩ E2 = F .
26. Sejam p(x) ∈ F [x], de grau n, e E ⊃ F uma extensa˜o finita. Se p(x) e´ irredut´ıvel sobre F
e [E : F ] e´ relativamente primo com n, enta˜o p(x) e´ irredut´ıvel sobre E.
2
27. Provar que uma extensa˜o de corpos E ⊃ F e´ finita se, e somente se, E = F (a1, a2, . . . , an),
onde a1, a2, . . . , an sa˜o alge´bricos sobre F .
28. Provar o Teorema de Steinitz: Se K e´ uma extensa˜o finita de um corpo de caracter´ıstica
zero F , enta˜oK ⊃ F e´ uma extensa˜o simples, i.e. existe um elemento α ∈ K tal queK = F (α).
Um tal elemento α e´ chamado de elemento primitivo de K sobre F .
29. Seja f(x) ∈ F [x] um polinoˆmio na˜o constante. Se α e´ um elemento de alguma extensa˜o de
F e se f(α) e´ alge´brico sobre F , provar que α e´ alge´brico sobre F .
30. Provar que se F e´ um corpo cujo grupo multiplicativo de seus elementos na˜o nulos e´ c´ıclico,
enta˜o F e´ finito.
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