CÁLCULO NUMÉRICO 1 5

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1.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
	
	
	
	
	 
	17/16
	
	
	2/16
	
	
	16/17
	
	
	- 2/16
	
	
	9/8
	
	
	
		2.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	
	 
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	 
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
		4.
		Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P-Q. Determine o valor de a + b + c + d + e:
	
	
	
	
	
	12
	
	 
	14
	
	
	16
	
	 
	15
	
	
	13
	
	
	
		5.
		
	
	
	
	
	
	3
	
	 
	-7
	
	
	-11
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	
		6.
		Funções matemáticas representam um tema recorrente no estudo da Ciência ao longo da vida acadêmica de muitos estudantes. Entre as funções mais comuns utilizadas para representar a linguagem dos fenômenos naturais, encontra-se a função f(x)=ax, onde o coeficiente "a" é um número real positivo. Com relação a esta função, NÃO PODEMOS AFIRMAR.
	
	
	
	
	
	Funções representadas genericamente por f(x)=ax não representam comportamento constante.
	
	 
	As funções do tipo f(x)=ax possuem máximo e mínimo.
	
	
	O valor do coeficiente "a" determina se a função f(x)=ax é crescente ou decrescente.
	
	 
	Funções do tipo f(x)=ax possuem o conjuntos reais como domínio a princípio.
	
	
	Funções do tipo f(x)=ax recebem estão associadas a forma geométrica linear.
	 1a Questão (Ref.: 201407448041)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
		
	 
	erro de truncamento
	 
	erro relativo
	
	erro absoluto
	
	erro de arredondamento
	
	erro booleano
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201407832336)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	 
	Erro de arredondamento: são erros referentes a aproximações dos números para uma forma infinita.
	
	Erro absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado.
	
	Erros de truncatura: são erros decorrentes da interrupção de um processo infinito.
	
	Erros de dados: representam erros relacionados aos dados coletados através de processos experimentais passíveis de erro.
	
	Erros de modelo: representam erros que se referem a simplificação que realizamos quando representamos a realidade através de modelos matemáticos.
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201407316039)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
		
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	 
	Uso de dados de tabelas
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	 
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201407821281)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
		
	
	0
	
	5
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	 
	20
	 
	Indefinido
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201407832389)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
		
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	 
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201407358054)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
		
	
	0,030 e 3,0%
	 
	3.10-2 e 3,0%
	 
	2.10-2 e 1,9%
	
	0,020 e 2,0%
	
	0,030 e 1,9%1a Questão (Ref.: 201407446460)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
		
	 
	É o valor de f(x) quando x = 0
	 
	É a raiz real da função f(x)
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	Nada pode ser afirmado
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201407832396)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Os métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável real, consistem em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa "c" a partir de processos iterativos iniciados por um valor x0. Com relação às afirmações a seguir, identifique a FALSA.
		
	 
	No método da falsa posição, utiliza-se o teorema do valor intermediário assim como este é utilizado no método da bisseção.
	 
	No método da bisseção, utilizamos o fato de que se f(a).f(b)>0, sendo "a" e "b" as extremidades de um intervalo numérico, então pode-se afirmara que f(x0)=0 para algum valor de x0 neste intervalo.
	
	No método da bisseção, utilizamos uma tolerância numérica para limitarmos o processo de sucessivas divisões do intervalo onde se considera a existência de uma raiz.
	
	No método da bisseção, utilizamos o fato de que se f(a).f(b)<0, sendo "a" e "b" as extremidades de um intervalo numérico, então existe pelo menos uma raiz neste intervalo.
	
	No método da falsa posição, existe um critério de parada para os processos reiterados adotados, semelhante ao que podemos verificar em outros métodos numéricos.
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201407316076)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
		
	 
	5 e 6
	
	2 e 3
	
	3 e 4
	
	4 e 5
	 
	1 e 2
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201407358177)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
		
	 
	0,750
	
	0,687
	 
	0,625
 
	
	0,500
	
	0,715
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201407358399)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	 
	Newton Raphson
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jordan
	
	Gauss Jacobi
	 
	Bisseção
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201407475910)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é:
		
	 
	O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x
	
	A média aritmética entre os valores a e b
	
	O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y
	
	O encontro da função f(x) com o eixo x
	
	O encontro da função f(x) com o eixo y
	
	 Gabarito Comentado
	
		.
		A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 
		
	
	
	
	 
	2,23
	
	
	2,43
	
	
	1,83
	
	
	2,03
	
	 
	2,63
	
	
	
		2.
		Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x3 + x2 - 8. A raiz desta função é um valor de x tal que x3 + x2 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma possível função equivalente é:
		
	
	
	
	
	(x) = 8/(x2 - x)
	
	 
	(x) = 8/(x2 + x)
	
	
	(x) = 8/(x3 - x2)
	
	
	(x) = x3 - 8
	
	 
	(x) = 8/(x3+ x2)
	
	
	
		3.
		A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
		
	
	
	
	 
	2,4
	
	 
	1,6
	
	
	3,2
	
	
	0,8
	
	
	0
	
	
	
		4.
		De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x2 - 3x - 5 = 0
		
	
	
	
	 
	5/(x-3)
	
	 
	-5/(x-3)
	
	
	5/(x+3)
	
	
	-5/(x+3)
	
	
	x
	
	
	
		5.
		A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se como pontos iniciais x0 = 2 e x1= 4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor:
		
	
	
	
	
	2,0
	
	 
	-2,4
	
	
	2,2
	
	
	-2,2
	
	 
	2,4
	
	
	
		6.
		O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como: f(x)=φ(x)-x=0, assim para calcular a raiz da equação x2-3x+ex=2 empregando o MPF, determine qual função abaixo NÃO corresponde a uma função de iteração.
 
 
		
	
	
	
	
	φ(x)=2+3x-ex
	
	 
	φ(x)=2-exx-3
	
	 
	φ(x)=-x2+3x+2
	
	
	φ(x)=2-x2-ex-3
	
	
	φ(x)=ln(2-x2+3x)
	 1a Questão (Ref.: 201407832439)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Um dos métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações lineares é aquele denominado Método de Gauss-Seidel. Porém, o método só nos conduz a uma solução se houver convergência dos valores encontrados para um determinado valor. Uma forma de verificar a convergência é o critério de Sassenfeld. Considerando o sistema a seguir e os valore dos "parâmetros beta" referentes ao critério de Sassenfeld, escolha a opção CORRETA.
             5x1+x2+x3=5
             3x1+4x2+x3=6
             3x1+3x2+6x3=0
		
	
	Beta 1= 0,3, beta 2=0,2 e beta 3=0,8, o que indica que o sistema converge.
	 
	Beta 1= 1,4, beta 2=0,8 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge.
	 
	Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema converge.
	
	Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge.
	
	Beta 1= 0,2, beta 2=0,9 e beta 3=0,4, o que indica que o sistema converge.
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201407832424)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
		
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	 
	Método de Decomposição LU.
	
	Método de Gauss-Jordan.
	 
	Método de Newton-Raphson.
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201407822553)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução.Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
		
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	 
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201407833025)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Ao realizarmos a modelagem matemática de um problema analisado pela pesquisa operacional, acabamos originando um sistema de equações lineares que, na maioria das vezes, devido a sua grande extensão exige bastante nos processos de resolução. Para nos auxiliar nesta árdua tarefa, existem os métodos numéricos, nos quais a representação matricial do sistema de equações é essencial.
Considerando o sistema a seguir, encontre a opção que o represente através de uma matriz aumentada ou completa.
 
x +3z=2
5y+4z=8
4x+2y=5
		
	
		1
	2
	0
	3
	4
	5
	8
	0
	1
	2
	0
	3
	 
		1
	0
	3
	2
	0
	5
	4
	8
	4
	2
	0
	5
	
		1
	3
	0
	2
	0
	4
	5
	8
	4
	0
	2
	5
	
		1
	4
	5
	3
	8
	2
	0
	1
	1
	2
	2
	3
	
		1
	2
	0
	3
	0
	8
	5
	4
	4
	5
	2
	0
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201407475914)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	 
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	 
	Sempre são convergentes.
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201407832427)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	 
	Método da falsa-posição.
	
	Método da bisseção.
	
	Método do ponto fixo.
	
	Método de Newton-Raphson.